竖直平面内的圆周运动与临界问题精编版

1、 学习目标 1.了解竖直面上圆周运动的两种基本模型。 2.掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的 相关分析。 3.学会分析圆周运动问题的一般方法。 问题问题1：绳球模型：绳球模型 长为长为L的细绳拴着质量为的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面的小球在竖直平面 内做圆周运动。内做圆周运动。 o A L v1 B v2 试分析：试分析： （1）当小球在最低点）当小球在最低点A的速度的速度 为为v1时，绳的拉力与速度的关时，绳的拉力与速度的关 系如何？系如何？ （2）当小球在最高点）当小球在最高点B的速度的速度 为为v2 时，绳的拉力与速度的关时，绳的拉力与速度的关 系又如何？系又如何？ v1 o mg

2、 T1 思考：思考：小球小球过最高点的最小速过最高点的最小速 度是多少度是多少? ? 最低点：最低点： 最高点：最高点： L v mmgT 2 1 1 L v mmgT 2 2 2 gLvT 02 , 0 v2 当当v=v0，小球刚好能够通过最高点；，小球刚好能够通过最高点； 当当vv0，小球能够通过最高点。，小球能够通过最高点。 mg T2 在在“水流星水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周表演中，杯子在竖直平面做圆周 运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不 会流下来，为什么？会流下来，为什么？ 对杯中水：对杯中水： G FN r v mFmg 2 N

3、 时，当grv FN = 0 水恰好不流出水恰好不流出 表演表演“水流星水流星” ，需要保证杯，需要保证杯 子在圆周运动最高点的线速度不子在圆周运动最高点的线速度不 得小于得小于 grv 即：即：grv 实例一：水流星实例一：水流星 思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？ 实例二：过山车实例二：过山车 拓展：物体沿竖直内轨运动拓展：物体沿竖直内轨运动 有一竖直放置、内壁有一竖直放置、内壁光滑光滑圆环，其半径为圆环，其半径为r， 质量为质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动，分的小球沿它的内表面做圆周运动，分 析析小球在最高点小球在最高点A的速度应满足什么

4、条件？的速度应满足什么条件？ A r v mFg N 2 m 思考：思考：小球小球过最高点的最小速度过最高点的最小速度 是多少是多少? ? r, 0 0 gvFN 当当v=v0，小球刚好能够通过最高点；，小球刚好能够通过最高点； 当当vv0，小球能够通过最高点。，小球能够通过最高点。 mg FN 要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度 必须满足：必须满足： grv 问题问题2：杆球模型：杆球模型： 长为长为L的轻杆一端固定着一质量为的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使的小球，使 小球在竖直平面内做圆周运动。小球在竖直平面内做圆周运动。 试分析：试分析：

5、 （1）当小球在最低点）当小球在最低点A的速度的速度 为为v2时，杆的受力与速度的关时，杆的受力与速度的关 系怎样？系怎样？ （2）当小球在最高点）当小球在最高点B的速度的速度 为为v1时，杆的受力与速度的关时，杆的受力与速度的关 系怎样？系怎样？A B v1 o 思考思考: :最高点的最小速度是多少最高点的最小速度是多少? ? 问题问题2：杆球模型：杆球模型： A B L v mF 2 1 1 mg 最低点：最低点： L v mF 2 2 2 mg 最高点：最高点：拉力拉力 L v m 2 2 3 F-mg支持力支持力 最小速度最小速度v=0，此时，此时mg=F3 v2 mg F2 F3 m

6、g F1 F3 mg F2 v2 v1 o 思考思考: :在最高点时，在最高点时，何时杆表现为何时杆表现为 拉力？何时表现为支持力？试求拉力？何时表现为支持力？试求 其临界速度。其临界速度。 问题问题2：杆球模型：杆球模型： A B L v mF 2 2 2 mg 最高点：最高点：拉力拉力 L v m 2 2 3 F-mg支持力支持力 临界速度：临界速度：L, 0 0 gvF 当当vv0，杆对球有向下的拉力。，杆对球有向下的拉力。 mg F1 拓展：物体在管型轨道内的运动拓展：物体在管型轨道内的运动 如图，有一内壁光滑、如图，有一内壁光滑、竖直竖直放放 置的管型轨道，其半径为置的管型轨道，其半

7、径为R， 管内有一质量为管内有一质量为m的小球有做的小球有做 圆周运动圆周运动，小球的直径刚好略，小球的直径刚好略 小于管的内径。问：小于管的内径。问： （1 1）小球运动到）小球运动到最高点最高点时，时，速度与受力速度与受力的关系的关系 如何？如何？ （2 2）小球运动到）小球运动到最低点最低点时，时，速度与受力速度与受力的关系的关系 又是如何？又是如何？ G V2 G F1 V1 F2 F3 R v mFmg 2 2 2 R v mFmg 2 2 3 最高点最高点: ; 最低点：最低点： R v mmg 2 1 1 F 思考：思考：小球在最高点的最小速小球在最高点的最小速 度可以是多少？度

8、可以是多少？ 最小速度最小速度v=0，此时，此时mg=F3 R v mFmg 2 2 2 R v mFmg 2 2 3 最高点最高点: ; 思考：在最高点时，什么时候思考：在最高点时，什么时候 外管壁对小球有压力，什么时外管壁对小球有压力，什么时 候内管壁对小球有支持力候内管壁对小球有支持力? ?什么什么 时候内外管壁都没有压力？时候内外管壁都没有压力？ 临界速度：临界速度：gRvF 0 , 0 当当vv0，外壁对球有向下的压力。，外壁对球有向下的压力。 G V2 G F1 V1 F2 F3 mg O mg O N 临界问题：临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动由于物体在竖直平面内做圆周运

9、动 的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同，的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同， 所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。 mg O N 绳杆 mg O 轨道 管道 物体在最高点的最小速度取决于该点所受的物体在最高点的最小速度取决于该点所受的 最小合外力最小合外力。 竖直平面内圆周运动的临界问题 r v mmg 2 grv r v mmg 2 grv gr gr 作业：作业：如图所示，质量如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在的小球固定在 长为长为0.9m的轻杆的一端，杆可绕点的水的轻杆的一端，杆可绕点的水 平轴在竖直平面内转动，平轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求：，求： （）当小球在最高点的速度（）当小球在最高点的速度 为多