直线与圆的位置关系(第二课时)汇编

1、 点和圆的位置关系有几种？点和圆的位置关系有几种？ 点到圆心的距离为点到圆心的距离为d d， 圆的半径为圆的半径为r r，则：，则： 点在圆外 dr; 点在圆上 d=r； 点在圆内 dr. A B C 位置关系位置关系数形结合：数形结合： 数量关系数量关系 同学们，在我们的生活中到处都蕴含 着数学知识，下面老师请同学们欣赏 美丽的 海上日出 从海上日出这种自然现象中可以抽象出从海上日出这种自然现象中可以抽象出 哪些基本的几何图形呢？哪些基本的几何图形呢？ 今天老师和同学们一起来探究 请同学们利用手中的工具再现海上请同学们利用手中的工具再现海上 日出的整个情景。日出的整个情景。 在在再现再现过程

2、中，你认为直线与圆的过程中，你认为直线与圆的 位置关系可以分为哪几类？位置关系可以分为哪几类？ 你分类的依据是什么？你分类的依据是什么？ (地平线) a(地平线) O O O (2)直线和圆有直线和圆有唯一个唯一个公共点公共点, 叫做直线和圆叫做直线和圆相切相切, 这条直线叫这条直线叫圆的切线圆的切线， 这个公共点叫这个公共点叫切点。切点。 (1)直线和圆有直线和圆有两个两个公共点公共点, 叫做直线和圆叫做直线和圆相交相交， 这条直线叫这条直线叫圆的割线，圆的割线， 这两个公共点叫这两个公共点叫交点。交点。 (3)直线和圆直线和圆没有没有公共点时公共点时, 叫做直线和圆叫做直线和圆相离。相离。

3、 一、直线与圆的位置关系（用公 共点的个数来区分） l l O l A O l l O 相交相交 相切相切 相离相离 上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化， 还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线 与圆的位置关系？与圆的位置关系？ 2、连结直线外一点与直线所连结直线外一点与直线所 有点的线段中有点的线段中, ,最短的是最短的是_？ 1.直线外一点到这条直线直线外一点到这条直线 的垂线段的长度叫的垂线段的长度叫点到直线点到直线 的距离的距离。 垂线垂线 段段 a .A D 相关知识点回忆相关知识点

4、回忆 直线和圆相交直线和圆相交d r r d r d r d 数形结合：数形结合：位置关系位置关系数量关系数量关系 二、直线和圆的位置关系（用圆心二、直线和圆的位置关系（用圆心o o到直线到直线l l的的 距离距离d d与圆的半径与圆的半径r r的关系来区分）的关系来区分） 总结：总结： 判定直线判定直线 与圆的位置关系的方法有与圆的位置关系的方法有_种：种： （1 1）根据定义，由）根据定义，由_ 的个数来判断；的个数来判断； （2 2）根据性质，由）根据性质，由_ 的关系来判断。的关系来判断。 在实际应用中，常采用第二种方法判定。在实际应用中，常采用第二种方法判定。 两两 直线与圆的公共点

5、直线与圆的公共点 圆心到直线的距离圆心到直线的距离d d与半径与半径r r 观察太阳落山的照片观察太阳落山的照片, ,在太阳落山的过程中在太阳落山的过程中, ,太阳与太阳与 地平线地平线( (直线直线a)a)经历了哪些位置关系的变化经历了哪些位置关系的变化? ? a(地平线) 小试牛刀小试牛刀 1 1、已知圆的直径为、已知圆的直径为13cm13cm，设直线和圆心的距离为，设直线和圆心的距离为d d ： 3)3)若若d= 8 cm ,d= 8 cm ,则直线与圆则直线与圆_, 直线与圆有直线与圆有_个公共点个公共点. . 2)2)若若d=6.5cm ,d=6.5cm ,则直线与圆则直线与圆_,

6、直线与圆有直线与圆有_个公共点个公共点. . 1)1)若若d=4.5cm ,d=4.5cm ,则直线与圆则直线与圆, 直线与圆有直线与圆有_个公共点个公共点. . 3)若若AB和和 O相交相交,则则 . 2、已知、已知O O的半径为的半径为5cm, 5cm, 圆心圆心O O与直线与直线ABAB的距离为的距离为d, d, 根据根据 条件填写条件填写d d的范围的范围: : 1)1)若若ABAB和和O O相离相离, , 则则 ; ; 2)2)若若ABAB和和O O相切相切, , 则则 ; 相交相交 相切相切 相离相离 d 5cm d = 5cm d r, 因此 C和AB相离。 B C A 4 3

7、D d （2）当r=2.4cm时,有d=r, 因此C和AB相切。 （3）当r=3cm时， 有drdr 1 1 d=rd=r 切点切点 切线切线 2 2 drdr 交点交点 割线割线 ld r l d r O l d r 图形图形 直线与圆的直线与圆的 位置关系位置关系 公共点的个数公共点的个数 圆心到直线的距离圆心到直线的距离 d 与半径与半径 r 的关系的关系 公共点的名称公共点的名称 直线名称直线名称 . . A AC C B B . . . 相离相离 相切相切 相交相交 2、判定直线、判定直线 与圆的位置关系的方法有与圆的位置关系的方法有_种：种： （1）根据定义，由）根据定义，由_的的

8、 个数来判断；个数来判断； （2）根据性质，由）根据性质，由_ _的关系来判断。的关系来判断。 在实际应用中，常采用第在实际应用中，常采用第二二种方法判定。种方法判定。 两两 直线直线 与圆的公共点与圆的公共点 圆心到直线的距离圆心到直线的距离d 与半径与半径r 直线和圆的位置关系2 过点过点A能作圆能作圆O的切线吗的切线吗?如果能如何作如果能如何作? (1)若若A在圆在圆O内内. (2)若若A在圆在圆O上上. (3)若若A在圆在圆O外外. O A 直线与圆相切的判定定理直线与圆相切的判定定理: 且且OA为圆为圆O的半径的半径 这个定理实际上就是这个定理实际上就是: :d=d=r r 直线和直

9、线和 圆相切的另一种说法。圆相切的另一种说法。 O A O AA O 经过半径外端并且垂直于这条半径经过半径外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线的直线是圆的切线。 判断下图中的判断下图中的L L是否为是否为O O的切线的切线? ? 半径半径外端外端垂直垂直 证明一条直线为圆的切线时，必须证明一条直线为圆的切线时，必须 两个条件缺一不可：过半径外端两个条件缺一不可：过半径外端 垂直于这条半径。垂直于这条半径。 做一做：做一做： 如图是如图是 的直径，请分别过，作的直径，请分别过，作 的切线的切线 O O B 问问：如何过圆上一个已知点做圆的切线呢？：如何过圆上一个已知点做圆的切线呢？ 巩固练

10、习巩固练习 1、如图，已知点、如图，已知点B在在 O 上。根据下列条件，能否判上。根据下列条件，能否判 定直线定直线AB和和 O相切？相切？ OB=7,AO=12,AB=6 O=68.5,A=2130 B AO 2、如图，如图，AB是是 O的直径，的直径， AT=AB，ABT=45。 求证：求证：AT是是 O的切线的切线 B O T A 巩固练习巩固练习 例例1.已知已知:如图如图A是是 O外一点外一点,AO的延长线交的延长线交 O于点于点C,点点B在圆上在圆上,且且 AB=BC,A=30.求证求证:直线直线AB是是 O的切线的切线 B C A O 证明：连结证明：连结OB OB=OC，AB=

11、BC，A=30 OBC=C=A=30 AOB=C+ OBC =60 ABO=180-（AOB+A） =180-（60+30） =90 ABOB AB为为 O的切线的切线 一般情况下，要证明一条直线为圆一般情况下，要证明一条直线为圆 的切线，它过半径外端（即一点已的切线，它过半径外端（即一点已 在圆上）是已知给出时，只需证明在圆上）是已知给出时，只需证明 直线垂直于这条半径。直线垂直于这条半径。 驶向胜利 的彼岸 已知已知: :ABCABC内接于内接于O O，ABAB是是O O的的 直径，直径，CAD=ABCCAD=ABC，判断直线，判断直线D D 与与O O的位置关系，并说明理由的位置关系，并

12、说明理由. . 2 1 D B O A C 已知已知: :ABCABC内接于内接于 O O，ABAB是是O O的弦，的弦， CAD=ABCCAD=ABC，判，判 断直线断直线ADAD与与O O的的 位置关系，并说明位置关系，并说明 理由理由. . 1 D O A C B E 2 变式变式 : : 如图：点如图：点O为为ABC平分线上一点，平分线上一点， ODAB于于D，以以O为圆心，为圆心，OD为半径作圆。为半径作圆。 求证：求证：BC是是 O 的切线。的切线。 C A B D E 证明：证明： 作作OEBC于于E 点点O为为ABC平分线上一点平分线上一点 ODAB于于D OEOD 又又OD为

13、为 O半径半径 圆心到直线圆心到直线BC的距离等于半径，的距离等于半径， 所以所以BC与与 O相切相切 证明直线与圆相切，但无切证明直线与圆相切，但无切 点时，往往过圆心作切线的点时，往往过圆心作切线的 垂线，再证明垂线，再证明d=rd=r即可即可 切线的判定方法有：切线的判定方法有： 、切线的判定定理。、切线的判定定理。 、直线到圆心的距离等于圆的半径。、直线到圆心的距离等于圆的半径。 、直线与圆有唯一个公共点。、直线与圆有唯一个公共点。 经过半径外端经过半径外端, ,并且垂直于这条半并且垂直于这条半 径的直线是圆的切线径的直线是圆的切线。 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是经过半径的外

14、端并且垂直这条半径的直线是 圆的切线圆的切线 切线的判定定理切线的判定定理: 这个定理不仅可以用来这个定理不仅可以用来判定圆的切线判定圆的切线,还可以还可以 依据它来依据它来画切线画切线. 在判定切线的时候在判定切线的时候,如果如果已知点在圆上已知点在圆上,则则连半连半 径径是常用的辅助线是常用的辅助线.若若无切点时，往往过圆心无切点时，往往过圆心 作切线的垂线，再证明作切线的垂线，再证明d=rd=r即可即可 3.1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(3) 1.1.如图如图, ,直线直线ATAT与与O O相切于点相切于点A,A,连结连结OA.OATOA.OAT等于多等于多 少度少度? ?在在

15、O O上再任意取一些点上再任意取一些点, ,过这些点作过这些点作O O的切线的切线, , 连结圆心与切点连结圆心与切点, ,半径与切线所成的角为多少度半径与切线所成的角为多少度? ?由此由此 你发现了什么你发现了什么? ? 2.2.任意画一个圆任意画一个圆, ,作这个圆的一作这个圆的一 条切线条切线, ,过切点作切线的垂线过切点作切线的垂线, ,你你 发现了什么发现了什么? ?你的发现与你同伴你的发现与你同伴 发现相同吗发现相同吗? ? 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心经过切点垂直于切线的直线必经过圆心. 经过切点的半径垂直于圆的切线经过切点的半径垂直于圆的切线. T A O 切线的性质切线

16、的性质 知识要点 一般地一般地, ,圆的切线有如下的性质圆的切线有如下的性质: : 经过切点的半径垂直于圆的切线经过切点的半径垂直于圆的切线 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 （判定垂直）（判定垂直） （判定半径或（判定半径或 直径）直径） O O与与ATAT相切于点相切于点A A OAATOAAT 圆与圆与ATAT相切于点相切于点A,PAAT,A,PAAT,交圆于交圆于P P点点 APAP是圆的直径是圆的直径 A A T T O O P 几何语言几何语言 例例1 1 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径. .如图如图

17、, , 用角尺的较短边紧靠用角尺的较短边紧靠O O于点于点A,A,并使较长边与并使较长边与O O相切相切于于 点点C,C,记角尺的记角尺的直角顶点为直角顶点为B B, ,量得量得AB=8cmAB=8cm, ,BC=16cmBC=16cm. .求求O O 的的半径半径. . O O A A B B C C D D 解：连结解：连结OA,OC,OA,OC,过点过点A A作作ADOCADOC于于D.D. O O与与BCBC相切于点相切于点C.C. OCBCOCBC ABBC,ADOCABBC,ADOC 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形 AD=BC,OD=OC-CD=OC-ABAD=BC,OD

18、=OC-CD=OC-AB 222 OAODAD 在在RtRtADOADO中中, , 222 16)8( rr 即即 解得解得:r=20:r=20 答答: O: O的半径为的半径为20cm20cm 连结过切点的半径是常用的辅助线连结过切点的半径是常用的辅助线 2 2、如图，、如图，ATAT切切O O于点于点A A，ABATABAT，交，交O O于点于点B B，BTBT 交交O O于点于点C C。已知。已知B=30B=300 0，AT= AT= 。求。求O O的直径的直径 和弦和弦BCBC的长。的长。 3 T C AB O 1 1、如图，直线、如图，直线l l切切O O于点于点P P，弦，弦ABA

19、Bl l，请说明，请说明 的理由的理由 AP=PB l O P BA 圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 练一练练一练 本题也可用代数法证本题也可用代数法证 例例2 2 如图如图, ,直线直线ABAB与与O O相切于点相切于点C,AOC,AO与与O O交于点交于点D,D,连连 结结CD.CD.求证求证: : CODACD 2 1 C C B B A A O O D D E E 证明证明: :作作OEDCOEDC于点于点E,E, ODCODC是等腰三角形是等腰三角形 CODCOE 2 1 O O与与ABA

20、B相切于点相切于点C C OCABOCAB ACD=COE=90ACD=COE=900 0-OCE-OCE CODACD 2 1 补充知识：切线与弦所夹的角叫补充知识：切线与弦所夹的角叫弦切角弦切角，它的度数等于，它的度数等于 所夹弧的度数，等于所夹弧所对圆心角度数的一半，等所夹弧的度数，等于所夹弧所对圆心角度数的一半，等 于所夹弧所对的圆周角的度数于所夹弧所对的圆周角的度数(选择填空可直接用选择填空可直接用) 1 1、如图：、如图：PA,PCPA,PC分别切圆分别切圆O O于点于点A,CA,C两点两点,B,B为圆为圆O O上与上与 A,CA,C不重合的点不重合的点, ,若若P=50P=50,

21、 ,求求ABCABC的度数。的度数。 O C P A B 练一练练一练 变式：如图，变式：如图，APAP=50=50，PAPA、PCPC、DEDE都为都为O O的切的切 线，则线，则DOEDOE为为 。 O C P A D E 6565 2 2、如图，已知：、如图，已知：ABAB与与O O相切于点相切于点C C ，OA=OBOA=OB，O O的的 直径为直径为6cm ,AB=8cm,6cm ,AB=8cm,则则OA=_cm. OA=_cm. O B AC C 若若ABAB等于等于6cm6cm，则，则AOB=_. AOB=_. 5 5 9090 练一练练一练 3.3.如图如图,AB,AB切切O

22、O于点于点B,B,割线割线ACDACD经过圆心经过圆心O,O,若若BCD=70BCD=700 0, , 则则A A的度数为的度数为( )( ) A.20A.20 B.50 B.50 C.40 C.40 D.80 D.80 A A B B O O C C D D B B 练一练练一练 如图，在直角梯形如图，在直角梯形ABCDABCD中，中，B=90B=90，ADBC, ADBC, C= 30C= 30，AD=1AD=1，AB=2.AB=2. 试猜想在试猜想在BCBC是否存在一点是否存在一点P P，使得，使得P P与线段与线段CDCD、 ABAB都相切，如存在，请确定都相切，如存在，请确定P P的半径的半径. . 30 D CB A 做一做做一做 2 2、如图、如图, ,直线直线ABAB与与O O相切于点相切于点C,C,射线射线AOAO交交O O于点于点 D D，E,E,连结连结CDCD，CE