常微分方程复习资料PPT学习教案

1、会计学1 常微分方程复习资料常微分方程复习资料 第一章第一章 绪绪 论论 微分方程概述微分方程概述 /Sketch of ODE/ 基本概念基本概念 /Basic Conception/ 第1页/共29页 1. 常微分方程和偏微分方程常微分方程和偏微分方程 2. 一阶与高阶微分方程一阶与高阶微分方程 3. 线性和非线性微分方程线性和非线性微分方程 4. 解和隐式解解和隐式解 5. 通解和特解通解和特解 6. 积分曲线和积分曲线族积分曲线和积分曲线族 7. 微分方程的几何解释微分方程的几何解释-方向场方向场 第2页/共29页 定义定义：一个或几个包含自变量，未知函数以及未知函数的某一个或几个包含

2、自变量，未知函数以及未知函数的某 些阶导数（或微商）的关系式，称之为些阶导数（或微商）的关系式，称之为微分方程微分方程 。 常微分方程常微分方程/ODE / 在微分方程中，自变量的个数只有在微分方程中，自变量的个数只有一个一个的微分方程的微分方程 称为称为常微分方程常微分方程。 偏微分方程偏微分方程/ PDE/ 自变量的个数有两个或两个以上的微分方程自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为称为偏偏 微分方程微分方程。 第3页/共29页 微分方程的微分方程的阶阶/ /Order/ 在一个微分方程中所出现的未知函数的导数在一个微分方程中所出现的未知函数的导数 的最高阶数的最高阶数n n称为该方程

3、的阶称为该方程的阶。 当当n=1时，称为时，称为一阶微分方程一阶微分方程； 当当n1时，称为时，称为高阶微分方程高阶微分方程。 的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为 线性微分方程，否则，称它为非线性微分方程。线性微分方程，否则，称它为非线性微分方程。 如果方如果方 程程 0),( )( n yyyxF 第4页/共29页 若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程 的的隐式解隐式解。把方程解和隐式解统称为。把方程解和隐式解统称为方程的解。方程的解。 常微分方程的解的表达式

4、中，可能包含一个或者几意常常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几意常 数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程 的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的通解通解。 常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的特解特解。 第5页/共29页 初值条件初值条件/Initial Value Conditions/ 对于对于 n 阶方程阶方程),( ) 1()( nn yyyxfy 初值条件可表示为初值条件可表示为 ) 1( 00 ) 1( 000000 )(

5、 ,)( ,)( ,)( nn yxyyxyyxyyxy n阶方程初值问题（阶方程初值问题（Cauchy Problem）的表示）的表示 ) 1( 00 ) 1( 000000 ) 1()( )( ,)( ,)(,)( ),( nn nn yxyyxyyxyyxy yyyxfy 一阶和二阶方程初值问题（一阶和二阶方程初值问题（Cauchy Problem）的表示）的表示 00) ( ),( yxy yxfy 0000 )(,)( ),( yxyyxy yyxfy 第6页/共29页 ),(yxf dx dy )(xy ),(cxy 一阶微分方程一阶微分方程的的 解解 yx,平面的一条平面的一条

6、曲线，我们称它为微分方程的积分曲线，而微分方程的通曲线，我们称它为微分方程的积分曲线，而微分方程的通 解解 表示表示 表示表示 yx, 平面的一族曲线，称它们为微分方程平面的一族曲线，称它们为微分方程 的积分曲线族。的积分曲线族。 第7页/共29页 编号编号微分方程微分方程自变量自变量 未知未知 函数函数 常或偏常或偏 阶阶 数数 是否是否 线性线性 1 2 3 4 3 4 4 ss d sd 4否 2 )(1yyxyxy 常 常 s 1否 2 否 常 x x y y 1 是偏u 2 2 2 2 y u x u t u 02cosxy dx dy t 第8页/共29页 编编 号号 函数函数微分

7、方程微分方程初始条件初始条件 1 2 3 4 x tx dteey 0 )1 ( 22 12xyy1)0(y 是实数） ( x ey 3 0yy 1)0( y 1)0(y 1)0( y 例外1 )cos(1txu xxtt uu xxucos1), 0( (0, )sinuxx xysin 0yy 0)(y( )1y 例外1 第9页/共29页 2.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换 2.2 线性微分方程与常数变易法线性微分方程与常数变易法 2.3 恰当微分方程与积分因子恰当微分方程与积分因子 2.4 一阶隐式微分方程与参数表示一阶隐式微分方程与参数表示 第二章第二章 一阶微分方程

8、的初等解法一阶微分方程的初等解法 第10页/共29页 变量分离方程的求解变量分离方程的求解 dy f ( x ) ( y ) dx 1、形式、形式: 2、求解方法：、求解方法： 分离变量、分离变量、 两边积分、两边积分、 考虑特殊情况考虑特殊情况 3、方程、方程 的解为：的解为： dy p( x )y dx ., )( 为任常数ccey dxxp 第11页/共29页 可化为变量分离方程类型的求解可化为变量分离方程类型的求解 dyy g() dxx I. 齐次微分方程齐次微分方程 1、形式：、形式： 2、求解方法：、求解方法： 作变量代换化其为变量分离方程、作变量代换化其为变量分离方程、方程求解

9、、方程求解、变量还原变量还原 第12页/共29页 II. 形如形如 , 222 111 cybxa cybxa dx dy ., 222111 为常数这里cbacba 的方程的方程可经过变量变换化为变量分离方程可经过变量变换化为变量分离方程. 分三种情况讨论分三种情况讨论 . cc 12 10 )( 22 11 x y g x y ba x y ba ybxa ybxa dx dy 22 11 为齐次方程为齐次方程,由由 I 可化为变量分离方程可化为变量分离方程. 的情形的情形 第13页/共29页 aa . bb 12 12 20 则方程可改写成设, 2 1 2 1 k b b a a 222

10、 111 cybxa cybxa dx dy 222 122 )( cybxa cybxak )( 22 ybxaf aa ., bb 12 12 30 且且C1、C2不同时为零的情形不同时为零的情形 a xb yc a xb yc 111 222 0 0 , yY xX 第14页/共29页 YbXa YbXa dX dY 22 11 )( X Y g , Y u X 再经变换将以上方程化为变量分离方程 2.2 线性微分方程与常数变易法线性微分方程与常数变易法 ) 1 ()()(xQyxP dx dy )2()(yxP dx dy 第15页/共29页 ( ) , p x dx yce 则的解为

11、令,) 1 ()( )( dxxp excy )( )()(cdxexQxc dxxp )3()( )()( cdxexQey dxxpdxxp 第16页/共29页 方程伯努利二)(Bernoulli 形如形如 n yxQyxp dx dy )()(伯努利方程：伯努利方程： 。xxQxP的连续函数为这里)(),( 解法解法: 方程变为引入变量变换,1 10n yz )()1 ()()1 (xQnzxPn dx dz 求以上线性方程的通解 0 2 变量还原 0 3 的方程，的方程， 关于关于z, x的线性微分方程的线性微分方程 第17页/共29页 称称微分方程微分方程) 1 (, 0),(),(

12、dyyxNdxyxM 是是恰当方程恰当方程. .),() 1 (cyxu的通解为此时 1. 定义定义 恰当方程恰当方程 使得若有函数),(yxudyyxNdxyxMyxdu),(),(),( 2. (1)是是 恰当方程的充要条件恰当方程的充要条件 ).2(, ),(),( x yxN y yxM 第18页/共29页 3、恰当方程的求解、恰当方程的求解 1). 不定积分法不定积分法 . ,0),(),(10 若是进入下一步 是否为恰当方程判断dyyxNdxyxM ，ydxyxMyxu)(),(),(20求 ).(),(30yyxN y u 求由 （ ？）？） M( x, y )N( x, y )

13、 yx 第19页/共29页 2. 分组凑微法分组凑微法 采用采用“分项组合分项组合”的方法的方法, 把微分方程中本身已构成全微把微分方程中本身已构成全微 分的项分出来分的项分出来, 再把余项凑成全微分再把余项凑成全微分. - 应熟记一些简单二元函数的全微分应熟记一些简单二元函数的全微分. 如如 xdyydx 2 y xdyydx 2 x xdyydx ),(xyd ),( y x d ),( x y d 第20页/共29页 22 yx xdyydx xy xdyydx 22 yx xdyydx |),|(ln y x d ),(arctan y x d ).(ln 2 1 yx yx d 第2

14、1页/共29页 非恰当方程如何求解非恰当方程如何求解? 对一些非恰当方程对一些非恰当方程, 方程两边乘上一个因子后方程两边乘上一个因子后, 可变为恰当方程可变为恰当方程. I. 积分因子的积分因子的定义定义 II. 积分因子的确定积分因子的确定 积分因子积分因子 第22页/共29页 积分因子的确定积分因子的确定 微分方程微分方程M( x, y )dxN( x, y )dy, ( )01 是的积分因子的充要条件有一个仅依赖于x MN yx N 的积分因子为这时有关仅与) 1 (,x ,)( )( dxx ex MN yx ( x ) N 这里这里 第23页/共29页 充要条件是 的积分因子的有一

15、个仅依赖于微分方程同理y) 1 (, MN yx M 的积分因子为这时有关仅与) 1 (,y ,)( )( dyy ey MN yx ( y ). M 这里这里 第24页/共29页 )( 未能解出或相当复杂 y一阶隐式方程一阶隐式方程 ) 1 (, 0),( yyxF 求解求解 采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型. 主要研究以下四种类型主要研究以下四种类型 ),() 1 ( yxfy ),()2( yyfx , 0),()3( yxF, 0),()4( yyF 第25页/共29页 第三章一阶微分方程的解的存在定理第三章一阶微分方程的解的存在定理 利普希茨利普希茨（Lipschitz）条件条件 皮卡逐步逼近函数序列皮卡逐步逼近函数序列 第26页/共29页 第四章第四章 高阶微分方程高阶微分方程 一、两类二阶微分方