安徽工业大学硕士研究生学位课程2012

1、安徽工业大学硕士研究生学位课程随机过程试卷答案一填空题（每空2分，共34分）1设随机变量服从参数为的泊松分布，则的特征函数为。2设随机过程其中为正常数， 和是相互独立的随机变量，且和服从在区间上的均匀分布，则的数学期望为 ；。3计数过程称为参数为的Poisson过程，如果（1）；（2）过程有独立增量；（3）， ；，4强度为的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布。5保险公司接到的索赔次数是一个泊松过程, 每次的赔付金额是一族独立随机变量序列，且有相同分布，索赔数额与它发生的时刻无关则在时间内保险公司赔付的总金额可表示为；若保险公司以平均每月两次的速率接到索赔要求,每

2、次赔付为均值是2000元的正态分布,则它的年平均赔付金额为48000元6袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的，对应随机变量，则这个随机过程的状态空间。 7设马氏链的一步转移概率矩阵，步转移矩阵，二者之间的关系为。8设为马氏链，状态空间，初始概率，绝对概率， 步转移概率，三者之间的关系为。9在马氏链中，记 ， ，若，则称状态为非常返的。10非周期的正常返状态称为遍历态。 11状态常返的充要条件为。12以表示泊松过程中事件首次发生的时刻，则对于，求条件概率=二解答题（每题6分，共66分） 1.设是独立增量过程, 且, 证明是一个马尔科夫(Markov)过

3、程。证明：当时，又因为故 2. 设为马尔科夫(Markov)链，状态空间为，则对任意整数,和， 步转移概率 ，称此式为切普曼科尔莫哥洛夫(ChapmanKolmogorov)方程，证明并说明其意义。证明：其意义为步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。3.就泊松(Poisson)过程，证明： 。证明： 4.设二维随机变量的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。解： 当时， 于是 5.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：，设，求（1）的样本函数集合；（2）一维分布函数，解：（1）样本函数集合为； （2）当时， 故； 同理6.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不

4、超过3人的概率。解：设是顾客到达数的泊松过程，故，则7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设，求今天有雨且第四天无雨的概率。解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为，于是，四步转移概率矩阵为，从而得到今天有雨且第四天无雨的概率为。8.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。解：一步转移概率矩阵， 由知，此链具有遍历性；设极限分布为，解方程组得9.

5、 已知齐次马氏链的状态空间为，状态转移矩阵为 （1）画出概率转移图； （2）求二步转移矩阵及转移概率； （3）此链是否为遍历的，试求其平稳分布。 解 （1） 1/41/41/21/31/33/41/41/3123 （2）因齐次马氏链，有，故 =0.4568 （3）因对任意i，jE，有，P是正则阵，根据遍历性定理此马氏链是遍历的，且正则(遍历)马氏链的极限分布是平稳分布，需求P的不动点概率向量，即满足和 解得 平稳分布为10.假定某天文台观测到的流星流是一个泊松过程，据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星. 试求（1）在上午8点到12点期间，该天文台没有观察到流星的概率.（2）下午（12点以后

6、）该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数.解：（1）设早晨8时为0时刻，以N(t)表示0时到t时观测到的流星数，则N(t)是强度为3（颗/小时）的泊松过程 ； （2）记下午（12点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间为，则其密度函数为 相应的分布函数为 11某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客到达商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。(1) 试计算时间内到达商场顾客的总人数服从的分布；(2) 在已知时刻已有50人到达的前提下，问其中有30位女性顾客的概率有多大，平均有多少位女性顾客？解：(1)分别以,记时间内到达商场的男女顾客人数，则与分别是速率(单位：均为人/分钟)的泊松过程从而在时间内到达商场的顾客总人数为,它服从参数为的泊松分布： ， (2)