正弦定理与余弦定理完整版

1、 1.问题的引入问题的引入: . (1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月明月 高悬高悬,我们仰望夜空我们仰望夜空,会有无限遐想会有无限遐想,不禁会问不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样科学家们是怎样 测出来的呢？测出来的呢？ (2)设设A,B两点在河的两岸两点在河的两岸, 只给你米尺和量角只给你米尺和量角 设备设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗不过河你可以测出它们之间的距离吗? A B 我们这一节所学习的内容就是解决这些问题我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具的有力工具. 正弦定理 回忆一下直角三角形的

2、边角关系回忆一下直角三角形的边角关系? A B C cb a sinacA 两等式间有联系吗？两等式间有联系吗？ sinsin ab c AB sin1C sinsinsin abc ABC 思考思考: 对一般的三角形对一般的三角形,这个结论还能成立吗这个结论还能成立吗? 2.定理的推导定理的推导 1.1.1 正弦定理正弦定理 sinbcB (1)当当 是锐角三角形时是锐角三角形时,结论是否还成立呢结论是否还成立呢? ABC D 如图如图:作作AB上的高是上的高是CD,根椐根椐 三角形的定义三角形的定义,得到得到 . sinsin bc AEBC BC 同同理理, , 作作有有 sinsins

3、in abc ABC 1.1.1 正弦定理正弦定理 sin ,sinCDaB CDbA sinsinaB bA 所所以以 sinsin ab AB 得得到到 B A C ab c E (2)当当 是钝角三角形时是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立以上等式是否仍然成立?ABC B A C b c a 1.1.1 正弦定理正弦定理 D C c B b A a sinsinsin 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即对角的正弦的比相等，即 1.1.1 正弦定理正弦定理 解三角形解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程已知三角形的几个元素

4、求其他元素的过程 含三角形的三边及三内角含三角形的三边及三内角,由己知二角一边由己知二角一边 或二边一角可表示其它的边和角或二边一角可表示其它的边和角 定理结构特征定理结构特征: 二、外接三角形中二、外接三角形中 O B/ c b a C B A R C c R c BC BCBAB 2 sin 2 sinsin ,90 R C c B b A a R B b R A a 2 sinsinsin 2 sin ,2 sin 同理 1、正弦定理、正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的在一个三角形中，各边和它所对角的 正正 弦的比相等，即弦的比相等，即 C c B b A a sinsinsin

5、 能否用向量法来证明正弦定理？能否用向量法来证明正弦定理？ 我们选择单位向量 j 并让 与 垂直. jAC j 与 AB ACCB 的夹角分别为 即: j AB j (AC+ CB) C) cos(90 cos90 AC )A cos(90ABCB A B C A90 90C 90 = b ac c sinA = a sinC 同理: a sinB = b sinA C c B b A a sinsinsin C) cos(90 cos90 AC )A cos(90ABCB B C b a c A C c A a sinsin B b A a sinsin 即 即 正弦定理: 在一个三角形中,

6、各边和它所对角的 正弦的比相等. C c B b A a sinsinsin 即 （四）定理的应用 例 1 在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。 求 b (保留两位有效数字）。 解： C c B b sinsin 且 105C)(A180 B b = C Bc sin sin 19 = 30sin 105sin10 已知两角和任意边，已知两角和任意边， 求其他两边和一角求其他两边和一角 变式训练： （1）在ABC中，已知b= ，A= ，B= ，求a。 3 4560 （2）在ABC中，已知c= ，A= ，B= ，求b。37560 解： B b A a sinsin a

7、 B Ab sin sin = 60sin 45sin3 = 2 解： =45)6075(180 又 C c B b sinsin C Bc b sin sin 45sin 60sin3 2 23 0 180()CAB 例2 证明： 用正弦定理证明三角形面积 BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 B A CD a b c aABC ahS 2 1 而 BCADhasin BacS ABC sin 2 1 又CbBcsinsinAcCasinsin BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 例例3、在在ABCABC中，已

8、知中，已知 a=28a=28，b=20b=20， A=120A=120，求，求B B（精确到（精确到11）和）和c c（保留保留 两个有效数字）。两个有效数字）。 b a C BA 120 小结：小结：2、已知两边和其中一边的对角、已知两边和其中一边的对角 解三角形，有两解或一解。解三角形，有两解或一解。如图如图 （1）A为锐角为锐角 a=bsin A(一解）一解） A b a B C A B2 b a B1 C a bsinAab(一解）一解） b a A B C b a C B A ab(一解）一解） （五）总结提炼 （1）三角形常用公式： （2）正弦定理应用范围： 已知两角和任意边，求其

9、他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。 正弦定理： ABC 111 sinsinsin 222 ABC SabCbcAacB sinsinsin abc ABC 基础练习题基础练习题 1.1.1 正弦定理正弦定理 BbaAABC BbaAABC 求中，已知在 求中，已知在 , 3 310 , 4,60) 2( , 2, 2,45) 1 ( 0 0 B=300 无解无解 （3）在ABC中，B=30，AB= ，AC=2，则 ABC的面积是 32 解： 根据正弦定理，有 B AC C AB sinsin 所以 2 3sin sin AC BAB C 则C有两解： 1)当C为锐角时

10、，C=60A=90 S=32sin 2 1 AACAB 当C为钝角时，C=120A=30 2) S= 3sin 2 1 AACAB A B C C 千岛湖千岛湖 A B C 110.8 700m 1338m 千岛湖千岛湖 A B C 110.8 700m 1338m 用用正弦定理正弦定理能否能否直接直接求出求出A , B两处的距离？两处的距离？ 这是一个已知三角形两边这是一个已知三角形两边a和和 b,和两边的夹角和两边的夹角C，求出第三边求出第三边c 的问题的问题. ? 角边角角边角 角角边角角边 边边角边边角 边角边边角边 边边边边边边 正弦定理正弦定理 222 bac A BC c b a

11、 已知三角形两边分别为已知三角形两边分别为a和和b, 这两边的夹角为这两边的夹角为C，角角C满足满足什么什么 条件条件时较易求出第三边时较易求出第三边c？ 勾股定理勾股定理 你能用你能用向量向量证明勾股定理吗？证明勾股定理吗？ 222 CBACAB 即证即证 CBACAB CB A b c a CBACAB 2 2 )(CBACAB 22 2CBCBACAC 22 CBCcosCBAC2AC 22 bCcosab2a CB A b c a CBACAB 2 2 )(CBACAB 22 2CBCBACAC 22 CB)C180cos(CBAC2AC 22 bCcosab2a CB A b c a

12、 CBACAB 2 2 )(CBACAB 22 2CBCBACAC 22 CB)C180cos(CBAC2AC 22 bCcosab2a Cabbaccos2 222 Cabbaccos2 222 Bcaacbcos2 222 Abccbacos2 222 余弦定理余弦定理 三角形任何三角形任何一边一边的平方等于其他两边的平方的平方等于其他两边的平方 和和减去减去这两边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积积的两倍。的两倍。 222 bac 勾股定理勾股定理 令令C900 勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？ 适用于任何适用于任何 三角形三角形 A C B b a c

13、x y DC ( bcosA , bsinA ) 22 2 0AsinbcAcosba 2 2 2 AsinbcAcosbc2Acosb 22 cAcosbc2b 能不能用坐标方法来证能不能用坐标方法来证 明余弦定理呢？明余弦定理呢？ B ( c , 0 ) A C B ba c x y DC ( bcosA , bsinA ) 22 2 0AsinbcAcosba 2 2 2 AsinbcAcosbc2Acosb 22 cAcosbc2b 能不能用坐标方法来证能不能用坐标方法来证 明余弦定理呢？明余弦定理呢？ B ( c , 0 ) Cabbaccos2 222 Bcaacbcos2 222

14、 Abccbacos2 222 余弦定理余弦定理 三角形任何三角形任何一边一边的平方等于其他两边的平方的平方等于其他两边的平方 和和减去减去这两边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积积的两倍。的两倍。 222 bac 勾股定理勾股定理 令令C900 勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？ 这个定理有什么作用？这个定理有什么作用？ 若已知若已知b=8,c=3,A= ,能求能求a吗？吗？60 适用于任何适用于任何 三角形三角形 它还有别的用途吗它还有别的用途吗？ 若已知若已知a,b,c,可以求什么？可以求什么？ Cabbaccos2 222 Bcaacbcos2 222

15、Abccbacos2 222 ab cba C 2 cos 222 bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角）已知三边，求三个角 ; （2）已知两边和它们的）已知两边和它们的夹角夹角，求第三边，进而，求第三边，进而 还可求其它两个角。还可求其它两个角。 归纳：归纳： 角边角角边角 角角边角角边 边边角边边角 边角边边角边 边边边边边边 正弦定理正弦定理 余弦定理余弦定理 千岛湖千岛湖 A B C 110.8 700m 1338m ? CCBCA

16、CBCAABcos2 222 8 .110cos700133827001338 22 35511. 018732004900001790244 6651922280244 2945436 1716AB 答：答：A , B两处的距离约为两处的距离约为1716米。米。 引题（精确到引题（精确到1米）米） 例例3 3、在在ABCABC中，已知中，已知b=60cm,c=34cm, A=41b=60cm,c=34cm, A=41 ， 解三角形（角度精确到解三角形（角度精确到1 1，边长精确到，边长精确到1 1cmcm） 解：根据余弦定理解：根据余弦定理 82.1676 7547. 04080115636

17、00 41cos346023460 Acosbc2cba 22 222 所以所以 cm41a 5440. 0 a Asinc Csin 例例4 4、在在ABCABC中，已知中，已知 a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm, a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm, 解三角形解三角形 （角度精确到（角度精确到1 1 ） 解：由余弦定理的推论得解：由余弦定理的推论得 7 .1618 .872 6 .1347 .1618 .87 bc2 acb Acos 222222 ,5543. 0 0256A 7 .1616 .1342 8 .877 .1616 .134 a

18、c2 bca Bcos 222222 ,8398. 0 3532B 749035320256180BA180C 解：由余弦定理可知解：由余弦定理可知 BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9 - 223 =7 BC= 在在ABCABC中，已知中，已知AB=2AB=2，AC=3AC=3，A= A= ，求求BCBC的长的长 3 例例5：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三 边长为（边长为（ ） 分析：分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的 余弦值小于

19、余弦值小于0。 B中：中： ，所以，所以C是钝角是钝角 222 13 24 42 2 3 cosC D中：中： ，所以，所以C是锐角，是锐角， 因此以因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形为三边长的三角形是锐角三角形 222 156 4 82 4 5 cosC A、C显然不满足显然不满足 B A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6 例例6 6：在在 ABCABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC= ,a=7,b=8,cosC= ,求求 最大角的余弦值最大角的余弦值 13 14 分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪 个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求 出第三边出第三边,找