点、直线、平面的投影及直线上的点及直线的相对位置关系、平面上取点线完整版

1、 B1 B2 B3 一、点的投影 1.1.点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影 A P a P b 点在一个投影面上点在一个投影面上 的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空 间位置。间位置。 点是形体最基本的元素，点的投影是线面体投影的基础。点是形体最基本的元素，点的投影是线面体投影的基础。 2.2.点的正投影规律点的正投影规律 点的第一条正投影规律点的第一条正投影规律 一点在两个投影面上的投影，在投影图上的连线，一 定垂直于该两投影面的交线，即垂直于投影轴。 点的第二条正投影规律点的第二条正投影规律 空间一点到某 一投影面的距离， 等于该点在任意 一个与该投影面 垂直的投影面上 的

2、投影到其投影 轴的距离。 3.3. 点的三面投影点的三面投影 W H V O X 空间点空间点A A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影 a 点A的正面投影 a 点A的水平投影 a 点A的侧面投影 空间点用大写字母空间点用大写字母 表示，点的投影用表示，点的投影用 小写字母表示。小写字母表示。 a a a A Z Y WV H X Y Z O V H W A a a a X a aZ a Y 向右翻向右翻 转转90 向下翻转向下翻转 90 不动不动 投影面展投影面展 开开 ay a a az xa a ay Z X Y Y O X Y Z O V H W A a a a 点的投影规律点的投

3、影规律 a aOX轴 aax= a az= y = A到V面的距离 a ax= a ay= z = A到H面的距离 aay= a az= x = A到W面的距离 aX aZ aY Y Z aZ a X Y aY O a aX aY a a a OZ轴 点的投影与点的坐标的关系点的投影与点的坐标的关系 a a aX 例例1 1 已知点已知点A A的两个投影，求第三投影。的两个投影，求第三投影。 a a a aX az aZ 解法一解法一: : 通过作通过作4545线线 使使a aZ=aaX 解法二解法二: : 用圆规直接量用圆规直接量 取取a aZ=aaX a 例例2 2 已知点的两个投影，求第

4、三投影。已知点的两个投影，求第三投影。 a b 空间点A在OX轴上 空间点B在OZ轴上 b b Z OXY a a Z O X Y 在哪里？ a 在哪里？ b 空间点A在哪里？ 空间点B在哪里？ 点的直观图的做法 两点的相对位置两点的相对位置 两点的相对位置指两 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。 判断方法 x 坐标大的在左 y 坐标大的在前 z 坐标大的在上 b a a a b b B点在点在A点之前、点之前、 之右、之下。之右、之下。 X YH YW Z 重影点重影点 空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。 A、C为为H面的重影点面的重影点 a

5、a c c 被挡住的投被挡住的投 影加影加( ) ( ) A A、C C为哪个投为哪个投 影面的重影点影面的重影点 呢呢 a c ？ 直线的投影一般仍为直线。画直线段的投影时，一般先画出两个直线的投影一般仍为直线。画直线段的投影时，一般先画出两个 端点的投影，然后分别将两端点的同面投影连成直线。端点的投影，然后分别将两端点的同面投影连成直线。 直线对直线对一个投影面一个投影面的投影的投影特性：特性： A M B a(m)(b) A B a b 直线垂直于投影面直线垂直于投影面 投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性 直线平行于投影面直线平行于投影面 投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=

6、AB 直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面 投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcos A B a b 直线的投影一般仍为直线。画直线段的投影时，一般先画出两个直线的投影一般仍为直线。画直线段的投影时，一般先画出两个 端点的投影，然后分别将两端点的同面投影连成直线。端点的投影，然后分别将两端点的同面投影连成直线。 在三投影面体系中，直线有三种位置：在三投影面体系中，直线有三种位置： 投影面平行线投影面平行线 投影面垂直线投影面垂直线 一般位置直线一般位置直线 平行于某一个投影面而对另外两个投影面倾斜的直线。平行于某一个投影面而对另外两个投影面倾斜的直线。 垂直于某一个投影面的直线。垂直于某

7、一个投影面的直线。 对三个投影面都是倾斜的直线。对三个投影面都是倾斜的直线。 各种位置直线的投影，都应符合各种位置直线的投影，都应符合“长对正长对正、高平齐高平齐、宽相等宽相等”的投影规律。的投影规律。 平行于水平面的直线称为水平线。平行于水平面的直线称为水平线。 平行于正面的直线称为正平线平行于正面的直线称为正平线 。 平行于侧面的直线称为侧平线。平行于侧面的直线称为侧平线。 平行于水平面的直线称为水平线。平行于水平面的直线称为水平线。 平行于正面的直线称为正平线平行于正面的直线称为正平线 。 平行于侧面的直线称为侧平线。平行于侧面的直线称为侧平线。 正平线的投影特点正平线的投影特点: :

8、正面投影ab为倾斜线段，且反映实长及夹角； 水平投影ab平行于OX轴，小于实长； 侧面投影ab平行于OZ轴，小于实长。 投影面平行线读图问题投影面平行线读图问题- -举例举例 垂直于水平面的直线称为铅垂线。垂直于水平面的直线称为铅垂线。 垂直于正面的直线称为正垂线垂直于正面的直线称为正垂线 。 垂直于侧面的直线称为侧垂线。垂直于侧面的直线称为侧垂线。 垂直于水平面的直线称为水平线。垂直于水平面的直线称为水平线。 垂直于正面的直线称为正垂线垂直于正面的直线称为正垂线 。 垂直于侧面的直线称为侧垂线。垂直于侧面的直线称为侧垂线。 正垂线的投影特点正垂线的投影特点: : 正面投影ab成为一个点，有积

9、聚性； 水平投影ab垂直于OX轴，且反映实长； 侧面投影ab垂直于OZ轴，也反映实长。 投影面垂直线读图问题投影面垂直线读图问题- -举例举例 对三个投影面都是倾斜的直线称为对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线一般位置直线。 对三个投影面都是倾斜的直线称为对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线一般位置直线。 一般位置直线的投影特性是：一般位置直线的投影特性是：三个投影都是倾斜线段，且都小于实长。 直线上点的投影特性：直线上点的投影特性：直线上点的投影必定在该直线的同面投影上。 同一直线上两线段实长之比等于其投影长度之比。 由直线上点的投影特性可知：如果点在已知直线上，则可根据该点的

10、一个投影(投影面垂直线积聚的投影除外)，求出它的另外两个投影。 例例 判断点判断点K K是否在线段是否在线段ABAB上。上。 a b k 因因k 不在不在a b 上故上故 点点K不在不在AB上。上。 a b k a b k 另一判断法另一判断法? ? 方法一：方法一： 方法二：方法二： 应用定比性：应用定比性： 因因 ak/kb a k / k b 所以点所以点K不在不在AB上上。 例例 习题集习题集P12 3-9P12 3-9。 三、平面的投影 平面在三投影面体系中的投影，由围成该平面的点和线的平面在三投影面体系中的投影，由围成该平面的点和线的 同面投影确定。同面投影确定。 平面对于三投影面

11、的位置可分为平面对于三投影面的位置可分为三类三类 垂直面垂直面 垂直于某一投影面，倾垂直于某一投影面，倾 斜于另两个投影面斜于另两个投影面 特殊位置平面特殊位置平面 平行面平行面 平行于某一投影面，平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面 与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜一般位置平面一般位置平面 投影面投影面垂直面垂直面投影面投影面平行面平行面一般位置平面一般位置平面 1. 1. 投影面垂直面投影面垂直面 1. 1. 投影面垂直面投影面垂直面 c a c a b b c b a 正垂面正垂面、铅垂面铅垂面、侧垂面、侧垂面 只垂直正面投影面只垂直正面投影面正垂面正垂面 只垂直

12、水平投影面只垂直水平投影面铅垂面铅垂面 只垂直侧面投影面只垂直侧面投影面侧垂面侧垂面 ABCABC是什是什 么平面么平面？ 积聚性 ABCABC是铅是铅 垂面。垂面。 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与 投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 垂直面的投影特性：垂直面的投影特性： 另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。 投影面垂直面读图问题投影面垂直面读图问题 - -举例（面内有垂线）举例（面内有垂线） 2. 2. 投影面平行面投影面平行面 a b c

13、a b c a b c 2. 2. 投影面平行面投影面平行面 在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投 影轴平行的直线。影轴平行的直线。 正平面正平面、水平面水平面、侧平面、侧平面 平行于正面投影面平行于正面投影面正平面正平面 平行于水平投影面平行于水平投影面水平面水平面 平行于侧面投影面平行于侧面投影面侧垂面侧垂面 ABCABC是什是什 么平面？么平面？ 平行面的投影特性：平行面的投影特性： 水平投影是水平投影是 实形，所以实形，所以 ABCABC是水平面是水平面 实形实形 投影

14、面平行面读图问题投影面平行面读图问题- -举例举例 P为正垂面为正垂面S为铅垂面为铅垂面R为正平面为正平面 例例 参照立体图，说明立体上每个平面相对于投影面的位置。参照立体图，说明立体上每个平面相对于投影面的位置。 a b c a c b a b c 3. 3. 一般位置平面一般位置平面 三个投影都是类似形。三个投影都是类似形。 投影特性：投影特性： 4. 平面上的直线和点平面上的直线和点 (1)(1)平面上取任意直线平面上取任意直线 若一直线通过平面上的两点， 则此直线必在该平面内。 若一直线通过平面上的一点，且 平行于该平面上的另一直线， 则此直 线在该平面内。 方法一：方法一： 方法二：

15、方法二： 如何判断直线在平面内如何判断直线在平面内？ a b c b c a a b c b c a d m n n m d 例例1 1 已知平面由相交的两直线已知平面由相交的两直线ABAB、AC AC 所确定，所确定， 试在试在平面内平面内任作一条直线。任作一条直线。 解法一解法一解法二解法二（利用方法一）（利用方法一） （利用方法二）（利用方法二） 有无数个解。有无数个解。 例例2 2 在平面在平面ABC ABC 内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H H 面的距离为面的距离为20mm20mm。 n m n m 20 c a b c a b 结论：结论：唯一解！唯一解！ 问题：问

16、题：本题有几个解？本题有几个解？ (2)(2)平面上取点平面上取点 即：即：找出过此点而又在平面内的一条直线作为找出过此点而又在平面内的一条直线作为 辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 例例1 1 面上取点的方法面上取点的方法定点先定线定点先定线 利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解 k b a c c a b 已知已知K K点在平面点在平面ABCABC上，求上，求K K点的水平投影。点的水平投影。 k 例例2 2 e f g e f m g h m h 通过在面内作通过在面内作 辅助线求解辅助线求解 已知已知M M点在平面点在平面EFGEFG上，

17、求上，求M M点的水平投影。点的水平投影。 k k 例例3 3 如图所示，已知一般位置平面如图所示，已知一般位置平面ABCDABCD的正面投影和的正面投影和 ABAB、 ADAD两条边的水平投影两条边的水平投影ab和和ad，补全该面的水平投影。，补全该面的水平投影。 a b d c a b d 分析：分析：ABCD ABCD 既然是平面，既然是平面， 则它的对角线必相交。则它的对角线必相交。 作图：作图： 1 1）连接）连接a、c和和b、d，得交点得交点k； 2 2）连接）连接b b、d d，在，在bd上求出上求出 k，并连接，并连接a、k； 3 3）在）在ak上求出上求出c，连接，连接b、c

18、 和和d、c，即得该平面的水平，即得该平面的水平 投影；投影； c 四四. .两直线的相对位置两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉交叉。 (1)两直线平行 投影特性 空间两直线平空间两直线平 行，则其各行，则其各同面投同面投 影影必相互平行，反必相互平行，反 之亦然。之亦然。 a V H c b c d A B C D b d a a b c d c a b d 例例1 1 判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。 分析：分析： 结论：结论： AB/CD 对于一般位置直线， 只要有两个同名投影 互相平行，空间两直 线就平行。

19、 b d c a c b a d d b a c 分析：分析： 求出侧面投影后可知： ABAB与与CDCD不平行。不平行。 例例2 2 判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。 方法：方法：求出侧面投影求出侧面投影 如何判断？如何判断？ 对于特殊位置直线， 只有两个同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。 H V A BC DK b c d k a b c k d a a bc d b a c d k k 若空间两直线相交，则其同面投影必相交，若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。且交点的投影必符合空间一点的投影规律。 交点符合点交点符合点 的投影规律的投影规律 (2)两直线相交 投影特性投影特性 c a b b a c d k k d 例例 过过C C点作点作水平线水平线CDCD与与AB AB 相交。相交