2011上海数学高考试题及答案

1、2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(上海卷)本试卷共有23道试题，满分150分考试时间120分钟一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题填对得4分，否则一律得零分1函数的反函数为f1(x)_.2若全集UR，集合Ax|x1x|x0，则UA_.3设m是常数，若点F(0,5)是双曲线的一个焦点，则m_.4不等式的解为_5在极坐标系中，直线(2cossin)2与直线cos1的夹角大小为_(结果用反三角函数值表示)6在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A、C两点之间的距离为_千米7若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为_8函数的最大值为_

2、9马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表：x123P(x)？！？请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E_.10行列式 (a，b，c，d1,1,2)所有可能的值中，最大的是_11在正三角形ABC中，D是BC上的点若AB3，BD1，则_.12随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是_(默认每个月的天数相同，)13设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数若函数f(x)xg(x)在区间3,4上的值域2,5，则f(x)在区间10,10上的值域为_14已知点O(0,0)、Q0(0,1

3、)和点R0(3,1)，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足(|OQ1|2)(|OR1|2)0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足(|OQ2|2)(|OR2|2)0，依次下去，得到P1，P2，Pn，则_.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15若a，bR，且ab，恒成立的是()Aa2b22ab BC. D16下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，)上单调递减的函数是()A Byx3 Cy2|x| Dycosx17设A1，A2，A3，A4

4、，A5是空间中给定的5个不同点，则使成立的点M的个数为()A0 B1 C5 D1018设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai1的矩形的面积(i1，2，)，则An为等比数列的充要条件是()Aan是等比数列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤19已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.20已知函数f(x

5、)a2xb3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab0，求f(x1)f(x)时的x的取值范围21已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，二面角AB1D1A1的大小为.求证：；(2)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高22已知数列an和bn的通项公式分别为an3n6，bn2n7(nN*)将集合x|xan，nN*x|xbn，nN*中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，cn，.(1)写出c1，c2，c3，c4；(2

6、)求证：在数列cn中，但不在数列bn中的项恰为a2，a4，a2n；(3)求数列cn的通项公式23已知平面上的线段l及点P.任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P，l)(1)求点P(1,1)到线段l：xy30(3x5)的距离d(P，l)；(2)设l是长为2的线段，求点的集合DP|d(P，l)1所表示的图形面积；(3)写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合P|d(P，l1)d(P，l2)，其中l1AB，l2CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分A(1,3

7、)，B(1,0)，C(1,3)，D(1,0)A(1,3)，B(1,0)，C(1,3)，D(1，2)A(0,1)，B(0,0)，C(0,0)，D(2,0)参考答案1答案：2答案：x|0x13答案：164答案：x0或5答案：6答案：7答案：8答案：9答案：210答案：611答案：12答案：13答案：15,1114答案：15 D 16A 17B 18D 19解：(z12)(1i)1i，z12i.设z2a2i，aR.z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R，a4，z242i.20解：(1)当a0，b0时，因为a2x、b3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a0，b0时，因为a2

8、x、b3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减(2)f(x1)f(x)a2x2b3x0.()当a0，b0时，解得；()当a0，b0时，解得21解：设正四棱柱的高为h.(1)证明：连AO1，AA1底面A1B1C1D1，AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成角，AB1A1.在等腰AB1D1中，AO1B1D1.又A1C1B1D1，AO1A1是二面角AB1D1A1的一个平面角，AO1A1.在RtAB1A1中，；在RtAO1A1中，.(2)解法一：如图建立空间直角坐标系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，则，设平面AB1D1的法向量为n(u，v，w)，.

9、由，得uhw，vhw，n(hw，hw，w)令w1，得n(h，h,1)由点C到平面AB1D1的距离为，解得高h2. 解法二：连AC，CB1，CD1.一方面， 则四面体AB1D1C的体积.另一方面，设正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为V1，三棱锥CB1C1D1的体积为V2，则.据此，得，解得高h2.22解：(1)它们是9,11,12,13. (2)证明：数列cn由an、bn的项构成，只需讨论数列an的项是否为数列bn的项对于任意nN*，a2n13(2n1)66n32(3n2)7b3n2，a2n1是bn的项下面用反证法证明：a2n不是bn的项假设a2n是数列bn的项，设a2nbm，则32n62m7，与mN*矛盾结论得证 (3)b3k22(3k2)76k3，a2k16k3，b3k16k5，a2k6k6，b3k6k7，b3k2a2k1b3k1a2kb3k，k1,2,3，.所以，kN*.综上，kN*.23解：(1)设Q(x，x3)是l上任一点(3x5)，则，3x5.当x3时，.(2)不妨设A(1,0)、B(1,0)为l的两个端点，则D为线段l1：y1(|x|1)、线段l2：y1(|x|1)、半圆C1：(x1)2y21(x1)、半圆C2：(x1)2y21(x1)所围成的区域这是因为对P(x，y)