第一章弹塑性力学基础_材料的宏微观力学性能

1、 本章内容本章内容 1.1 1.1 预备知识预备知识 1.2 1.2 应力应力 1.3 1.3 应变应变 1.4 1.4 应力应变关系应力应变关系 1.1 预备知识预备知识 1.1.1 弹塑性力学的研究对象和任务弹塑性力学的研究对象和任务 1.1.2 弹塑性力学中的基本假设弹塑性力学中的基本假设 1.1.3 弹性与塑性弹性与塑性 1.1.4 张量概念和求和约定张量概念和求和约定 1.1.1 弹塑性力学的研究对象和任务弹塑性力学的研究对象和任务 研究对象：研究对象：可变形固体可变形固体 Deformation rigid 受到外载荷、温度变化及边界受到外载荷、温度变化及边界 约束变动等作用时，可

2、变形固体约束变动等作用时，可变形固体 的的弹塑性变形弹塑性变形和和应力状态应力状态 研究任务研究任务 1.1.2 弹塑性力学中的基本假设弹塑性力学中的基本假设 连续性假设？连续性假设？ 均匀性假设？均匀性假设？ 各向同性假设？各向同性假设？ 小变形假设？小变形假设？ 请回忆请回忆材材 料力学料力学课课 程的假设程的假设 1.1.3 弹性与塑性弹性与塑性 物体卸载以后，就完全消物体卸载以后，就完全消 失的那种变形。失的那种变形。 卸载后不能消失而残留下来卸载后不能消失而残留下来 的那部分变形。的那部分变形。 弹性弹性 变形变形 塑性塑性 变形变形 弹性与塑性弹性与塑性 低碳钢试件简单拉伸试验应力

3、应变曲线低碳钢试件简单拉伸试验应力应变曲线 :比例极限 ； :弹性极限； :屈服应力 ； :线弹性阶段； :非线性弹性阶段； :塑性流动阶段; :塑性应变； :弹性应变； A 0 0 P e OA AB BC 特别注特别注 意卸载意卸载 的路径的路径 强化：应力超出了弹性极限，强化：应力超出了弹性极限， 就相当于增加了材料内部对就相当于增加了材料内部对 变形的抵抗能力的性质。变形的抵抗能力的性质。 应力应变曲线理想化模型应力应变曲线理想化模型 四种简化的应力应变理想模型四种简化的应力应变理想模型 (a)理想弹塑性模型；理想弹塑性模型；(b)理想刚理想刚 塑性模型；塑性模型；(c) 理想弹塑性线

4、性强化模型；理想弹塑性线性强化模型；(d)理想刚塑性线性强理想刚塑性线性强 化模型化模型 理想化模型的应用实例：如，受内压作用的厚壁筒取理想化模型的应用实例：如，受内压作用的厚壁筒取(a)(a)理理 想弹塑性模型；形成塑性铰的梁取想弹塑性模型；形成塑性铰的梁取(b)(b)理想刚塑性模型理想刚塑性模型 (a)(b)(c)(d) 1.1.4 张量概念和求和约定 标量标量：不依赖于坐标系，只有大小没有：不依赖于坐标系，只有大小没有 方向的物理量。如物体的质量、密度、方向的物理量。如物体的质量、密度、 体积及动能、应变能等。体积及动能、应变能等。 张量张量：建立在选定的坐标系中，用若干个独建立在选定的

5、坐标系中，用若干个独 立的分量才能表达出来的物理量。立的分量才能表达出来的物理量。 nn 二阶张量，与对称的二阶张量，与对称的 阶矩阵相对应。阶矩阵相对应。 张量的阶 一阶张量一阶张量：由由3 3个独立的量组成的集个独立的量组成的集 合称为一阶张量，又称为矢量或向量，合称为一阶张量，又称为矢量或向量， 即既有大小又有方向的物理量，如空即既有大小又有方向的物理量，如空 间中某点的几何位置和位移。间中某点的几何位置和位移。 二阶张量二阶张量：由：由9 9个独立的物理量组成个独立的物理量组成 的集合，如空间中某点的应力、应的集合，如空间中某点的应力、应 变等。变等。 张量的表示张量的表示(下标记法下

6、标记法) 点的坐标：点的坐标：(x,y,z) x(x,y,z) xi i(i(i=1,2,3)=1,2,3) 应力张量应力张量： 3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1 333231 232221 131211 ji ij 物理物理 意义？意义？ 且听下 回分解！ EinsteinEinstein求和约定求和约定 求和约定求和约定：在用下标记号法表示张量的：在用下标记号法表示张量的某某 一项一项时，如有两个下标相同，则表示对此时，如有两个下标相同，则表示对此 下标从下标从1 1至至3 3求和求和, ,而重复出现的下标称为而重复出现的下标称为求求 和标号和标号，不重复出现的下标称为自由标号，不

7、重复出现的下标称为自由标号, , 可取从可取从1 1至至3 3的任意值的任意值 例如：例如： 332211332211 ;babababa iiii 柯氏符号与排列符号柯氏符号与排列符号( (或置换符号或置换符号) ) 柯氏符号柯氏符号： 上式表示了九个量，但只有上式表示了九个量，但只有 三个量三个量 不等于零。不等于零。 可用于换标，如可用于换标，如 ji ji ij ,0 ,1 332211 , 321332211 ,aaaaaaaa jjjjiji 或即 中任意两个指标相同时当 或或 或或 tsr tsr tsr ,0 2,3, 13, 1,21,2,3, 1 2, 1,31,3,23,

8、2, 1, 1 e rst 3, 2, 1, 2 1 tsrrttssrerst 排列符号排列符号： 或或 排列符号含有排列符号含有2727个元素。其中指标按正序排列的个元素。其中指标按正序排列的 三个元素为三个元素为1 1，按逆序排列的三个元素为，按逆序排列的三个元素为1 1，其，其 它带有重指标的元素都是它带有重指标的元素都是0 0。 张量导数张量导数 张量导数张量导数：把张量的每个分量对坐标参数：把张量的每个分量对坐标参数 求导数。求导数。 在笛卡儿直角坐标系中，张量的导数仍然在笛卡儿直角坐标系中，张量的导数仍然 是张量，张量导数的阶数比原张量高一阶。是张量，张量导数的阶数比原张量高一阶

9、。 如一阶张量，矢量如一阶张量，矢量 的导数是二阶张量。的导数是二阶张量。V 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 11 1 x V x V x V x V x V x V x V x V x V x V j i 1.2 应力应力 1.2.1 外力和应力外力和应力 1.2.2 平衡方程和边界条件平衡方程和边界条件 1.2.3 主应力和主方向主应力和主方向 1.2.4 球形应力张量和应力偏量张量球形应力张量和应力偏量张量 1.2.1 外力和应力外力和应力 外力的表示外力的表示 1. 1. 体力体力：分布在物体体积内的力，其大小与物体：分布在物体体积内的力，其大小与物体 的质

10、量成正比的质量成正比 例如重力、磁力及运动物体的惯性例如重力、磁力及运动物体的惯性 力等。力等。 物体在点物体在点P所受体力的集度：所受体力的集度： 矢量矢量F在坐标轴上的投影称为该物体在点在坐标轴上的投影称为该物体在点P的体力的体力 分量，以沿坐标轴正方向时为正，沿坐标轴负方分量，以沿坐标轴正方向时为正，沿坐标轴负方 向时为负，量纲为向时为负，量纲为力力长度长度-3。 VV Q F lim 0 外力的表示外力的表示 2. 2. 面力面力：分布在物体表面上的力，例如流：分布在物体表面上的力，例如流 体压力和接触力。体压力和接触力。 物体在点物体在点P所受面力的集度：所受面力的集度： 矢量矢量T

11、在坐标轴上的投影称为该物体在点在坐标轴上的投影称为该物体在点P 的体力分量的体力分量,以沿坐标轴正方向时为正，沿以沿坐标轴正方向时为正，沿 坐标轴负方向时为负，量纲为坐标轴负方向时为负，量纲为力力长度长度-2 SS Q T 0 lim 外力的表示外力的表示 (a) 体力体力; (b)面力面力 (a)(b) 应力应力 用一个假想的闭合曲面把用一个假想的闭合曲面把 物体分成内、外两部分，物体分成内、外两部分， 简称内域和外域。简称内域和外域。假设当假设当 面元趋于面元趋于P P点，点， 时，时， 比值比值 的极限存在，且的极限存在，且 面元上作用力的合力矩与面元上作用力的合力矩与 的比值趋于零，则

12、可定义的比值趋于零，则可定义 是作用在点是作用在点P P处法线为处法线为 的面元上的的面元上的应力矢量应力矢量。 0S S F S S lim 0 F v v 应力矢量应力矢量 应力矢量的特点应力矢量的特点 与面力矢量的联系和区别：数学定义和物理量纲与面力矢量的联系和区别：数学定义和物理量纲 相同，但应力是作用在物体内截面上的相同，但应力是作用在物体内截面上的未知内力未知内力， 而面力是作用在物体外表面上的而面力是作用在物体外表面上的已知外力已知外力。当内。当内 截面无限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面截面无限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面 力的值。力的值。 vr, vv v v 应力矢

13、量应力矢量 的大小和方向不仅和点的位置有的大小和方向不仅和点的位置有 关，而且和面元法线方向关，而且和面元法线方向 有关。如何描述一有关。如何描述一 点的应力状态？点的应力状态？ 一点的应力状态一点的应力状态 九个应力分量九个应力分量 ： 第一个指标第一个指标 表示面元的法线方表示面元的法线方 向，称面元指标。第二指标向，称面元指标。第二指标 表表 示应力的分解方向，称方向指标。示应力的分解方向，称方向指标。 当当 时，应力分量垂直于面时，应力分量垂直于面 元元, ,称为正应力。当称为正应力。当 时，应时，应 力分量作用在面元平面内，称为力分量作用在面元平面内，称为 剪应力剪应力 。 zzyz

14、x yzyyx xzxyx ijij 或 333231 232221 131211 ji ji i j 直角坐标系中的应力分量直角坐标系中的应力分量 1 x 一点处应力分量正负的规定一点处应力分量正负的规定 外法线与坐标轴同向的面元称为正面，外法线与坐标轴同向的面元称为正面， 反之为负面。反之为负面。 ij 九个应力分量九个应力分量 的正向规定的正向规定; ;正面上与坐标轴同向正面上与坐标轴同向 为正；负面上与坐标轴反向为正为正；负面上与坐标轴反向为正 上述规定正确地反映了作用与反作用原理和上述规定正确地反映了作用与反作用原理和 “受拉为正、受压为负受拉为正、受压为负”的传统观念，数学处理也的

15、传统观念，数学处理也 比较统一。但剪应力正向和材料力学规定不同。比较统一。但剪应力正向和材料力学规定不同。 1.2.21.2.2平衡方程平衡方程和边界条件和边界条件 考虑单元体沿三个坐标轴方向的力考虑单元体沿三个坐标轴方向的力 的平衡条件，按泰勒级数展开并的平衡条件，按泰勒级数展开并略略 去高阶小量后，分别得到去高阶小量后，分别得到微元体沿微元体沿 x x1 1方向、方向、x x2 2方向、方向、x x3 3方向的力的平方向的力的平 衡条件，如右式：衡条件，如右式： 即 运动微分方程 ： 0 1 3 31 2 21 1 11 F xxx 0 2 3 32 2 22 1 12 F xxx 0 3

16、 3 33 2 23 1 13 F xxx 0 , ijji F 2 2 , t u F i ijji 剪应力互等定律剪应力互等定律 考虑微元体的力矩平 衡。分别对通过形心 C，沿x1，x2，x3方 向的轴取矩，则得到 剪应力互等定律： 即： ; ; ; 1331 3223 2112 jiij 斜面应力公式斜面应力公式 由四面体微元的平衡条由四面体微元的平衡条 件，可以得到任意斜面件，可以得到任意斜面 上的应力公式，上的应力公式，又称又称 Cauchy(Cauchy(哥西哥西) )公式：公式： 其中, v v jie e v ij , 应力张量 是斜面的法向矢量 3332321313 3232

17、221212 3132121111 vvv vvv vvv v v v 任意斜面上的应力任意斜面上的应力 斜面应力公式的应用斜面应力公式的应用 1. 1. 求斜面上的各种应力求斜面上的各种应力 ( (已知正截面上的应力已知正截面上的应力 张量和斜面的法向矢量张量和斜面的法向矢量) ) 22 3 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 , , cos,cos,cos nv jiijnn nn v v v v v v 1 vvvv vv vv v x,x,x, nv vvv v 其大小为 斜面剪应力： 其大小为 斜面正应力： 斜面应力的方向： 斜面应力的大小： 斜面应力公式的应用斜面应力公式的应用

18、 2. 2. 给定力边界条件给定力边界条件 若斜面是物体的边界面，且给定面力若斜面是物体的边界面，且给定面力 ，则，则未未 知应力场的力边界条件知应力场的力边界条件 ijij vT即, vT v T 的方向余弦 为边界面外法线其中nml nmlT nmlT nmlT zyzxzz zyyxyy zxyxxx , ; ; ; 你会写你会写 出分量出分量 形式吗？形式吗？ 1.2.3 1.2.3 主应力和主方向主应力和主方向 概念概念: :当面元上只有正应力，剪应力等于零，此时当面元上只有正应力，剪应力等于零，此时 的面元法线方向称为的面元法线方向称为主方向主方向，相应的正应力称为，相应的正应力称

19、为主主 应力应力，所在的面为，所在的面为主平面主平面。 3, 2, 1; 3, 2, 10ijv ijviji v jjvjijiv vevevv v 0 jviji vv i v 求某个法线方向求某个法线方向 ，使满足方程，使满足方程 即即 , , 换标后换标后, ,即求对即求对 的线性代数的线性代数 方程组方程组 你会用数学的你会用数学的 语言表示吗？语言表示吗？ 求解主应力和主方向求解主应力和主方向 线性代数方程组线性代数方程组 存在非零解的存在非零解的 必要条件是系数行列式等于零，即必要条件是系数行列式等于零，即 得得 的的特征方程特征方程 3, 2, 1, 0jv ijviji 0

20、333231 232221 131211 v v v v 0 32 2 1 3 JJJ vvv 1 3 2 该方程的三个特征根即为主应力值，将主应力值该方程的三个特征根即为主应力值，将主应力值 代入线性方程组，即可求得各主应力值对应的主方代入线性方程组，即可求得各主应力值对应的主方 向。通常，将主应力按其代数值的大小排列，称为向。通常，将主应力按其代数值的大小排列，称为 第一主应力第一主应力 , ,第二主应力第二主应力 和第三主应力和第三主应力 。 你是否发你是否发 现张量与现张量与 矩阵的某矩阵的某 种关系？种关系？ 应力张量的不变量应力张量的不变量 特征方程中出项的系数特征方程中出项的系数

21、J J1 1、J J2 2、J J3 3分别称为分别称为应力应力 张量的第一、第二、第三不变量张量的第一、第二、第三不变量。 应力张量的不变量的具体表述应力张量的不变量的具体表述 det 3 1 2 1 2 1 2 1 2 121321 333231 232221 131211 3 2 1 2221 1211 3231 1311 3332 2322 2 3213322111 JJJeJ JJ trJ kijkijkjiijk ijijijijjjii ii 与坐标与坐标 轴的选轴的选 取无关取无关 1.2.4 球形应力张量和应力偏量张量球形应力张量和应力偏量张量 某一点处的应力状态可以分解为两

22、部分，球形应某一点处的应力状态可以分解为两部分，球形应 力张量力张量 和应力偏量张量和应力偏量张量 ，即，即 其中，其中， I m S SI m mzzyzx yzmyyx xzxymx zyxm m m m m S I 321 3 1 3 1 , 00 00 00 应力偏量张量的不变量应力偏量张量的不变量 应力偏量张量的第一不变量应力偏量张量的第一不变量 应力偏量张量的第二不变量应力偏量张量的第二不变量 应力偏量张量的第三不变量应力偏量张量的第三不变量 因因 恒负，常改写为恒负，常改写为 0 1 kk SI ijijijij SSSSII 2 1 2 1 12 kijkijkijkij SS

23、SIIISSSI 3 1 3 1 3 1 2 1213 2 I kijkijijij SSSIJSSIJJ 3 1 , 6 1 2 1 , 0 33 2 13 2 32 2 21221 1.3 应变应变 1.3.1 变形和应变变形和应变 1.3.2 协调方程协调方程 1.3.3 主应变和主方向主应变和主方向 1.3.1 变形和应变变形和应变 1. 1.位移位移的描述的描述 zyxuu, zyxvv, zyxww, 刚体位移 变形 构形构形 2. 2.应变应变的描述的描述 过点 沿坐标轴方向取三个互相 垂直的微线段 、 、 ，其 长度分别为 、 、 ，物体 在外力作用下发生变形，过点P 的这三个

24、微线段的长度和它们之 间的夹角将发生改变。 微线段相对长度的改变称为点的 正应变，用 表示。规定正应变 以伸长为正，缩短为负。 微线段间夹角的改变量称为点的 剪应变，用 表示。规定剪应变 以微线段间夹角减少为正，增大 为负。 P dxdydz PAPBPC 先复习材料力先复习材料力 学中应变的定学中应变的定 义。应变的感义。应变的感 性认识！性认识！ 3. 3. 几何方程几何方程 由上图可知：线元的长度变化与方向改变是描述物体变形 (包括体积变化和形状畸变)的关键量 PQ 321 ,aaaP 332211 ,daadaadaaQ 长度变化： QP 321 ,xxx P 332211 ,dxxd

25、xxdxxQ PQ： ii aOPea iii daadOQeaa ii dadOPOQPQea ii xPOex iii dxxdQOexx ii dxdPOQOQPex QP： 应变的理性应变的理性 认识！认识！ PQ线元的长度平方为： jiijii dadadadadddsaa 2 0 QP 线元 的长度平方为： mmdx dxdddsxx 2 采用拉格朗日描述法( )： imm axx i i m m da a x dx 有： ji j m i m dada a x a x ds 2 则： jiij dadaEdsds2 2 0 2 ij j m i m ij a x a x E 2

26、1 ( ) 应变的应变的 严格定严格定 义！义！ 则： ij j m mj i m miij a u a u E 2 1 j m i m i j j i a u a u a u a u 2 1 采用拉格朗日描述法： immim auaax求导得 i m mi i m a u a x 本课程的研究对象是位移比物体最小尺寸小得多的 小变形情况，这时位移分量的一阶导数远小于1 1 1 j i a u 1 j j x u 略去高阶小量后 j i j k kj k i j k k i j i x u a u x u a x x u a u 因而在描述物体变形时，对坐标 和 可以不加区别 i a i x

27、在小变形情况下 ijjiijij uuE , 2 1 ij 称为哥西(Cauchy)应变张量或小应变张量，是二阶对称张量 1 1 11 x u 1 2 2 1 2112 2 1 x u x u 2 2 22 x u 2 3 3 2 3223 2 1 x u x u 3 3 33 x u 3 1 1 3 1331 2 1 x u x u 应变位移公式 or 几何方程 应变位移方应变位移方 程或称为几程或称为几 何方程何方程 分析长度变化 线元 PQ方向的单位矢量为 iii i v ds da ds d ee a 00 0 ds da v i i 为线元 PQ的方向余弦 引进定义 0 ds ds

28、v 表示变形前后线元的长度变化，称为长度比 则 jiijjiijv vvvv ds ds 121 2/1 0 通常定义 方向线元的工程正应变 为变形后 线元长度的相对变化 v 即 1 0 0 vv ds dsds 故有 jiijv vv 展开 133132232112333322221111 222vvvvvvvvvvvv i e当取 分别为 时 ，有3 , 2 , 1i 332211 zyx 应变量张量 的三个对角分量分别等于坐标轴方向 三个线元的工程正应变 ij 分析方向改变 线元 QP方向的单位矢量为 iii i v ds dx ds d ee x 方向余弦 v j j i j j ii

29、 i a x ds ds ds da a x ds dx v 1 0 0 i m mi i m a u a x 利用，任意线元变形后的方向余弦可用位移表示成 v j j i jii v a u v 1 利用 和 的表达式，忽略二阶小量后可得 v v v vv 1 1 11 故 vij j i ii vv a u vv 变形前的两个任意线元 和 PQ PR，其单位矢量分别为 和 ， t 方向余弦分别为 和 i v i tPQ PR ， 和 的夹角余弦为 iit vtt,cos ，其单位矢量分别为 和 ， 方向余弦分别为 和 变形后，两线元变为 和 QPRP t i v i t QPRP ， 和

30、的夹角余弦为 jijitv t21,cos ttt 若变形前两方向的线元互相垂直，并令若变形前两方向的线元互相垂直，并令 为变形后为变形后 线元间直角的减小量，则线元间直角的减小量，则 vtjiij tv 22,cos 2 cos t 通常定义两正交线元间的直角减小量为工程剪应变通常定义两正交线元间的直角减小量为工程剪应变 vt jiijvtvt tv22 若 为坐标轴方向的单位矢量，例如 ，其余的 方向余弦均为零，则由上式得 jitv ji 1, 1t, ijij 2ji 由上面的讨论可以看到，小应变张量的六由上面的讨论可以看到，小应变张量的六 个分量个分量 的几何意义是：当指标的几何意义是

31、：当指标 时，时， 表示沿坐标轴表示沿坐标轴 方向线元的正应变。以伸长方向线元的正应变。以伸长 为正，缩短为负；当指标为正，缩短为负；当指标 时，时， 的两倍的两倍 表示坐标轴表示坐标轴 与与 方向两个正交线元间的剪方向两个正交线元间的剪 应变。以锐化应变。以锐化( (直角减小直角减小) )为正，钝化为正，钝化( (直角增直角增 加加) )为负为负 。 ij ji ij i ji ij i j 几何 意义 1.3.2 应变协调方程应变协调方程 六个应变分量通过六个几何方程与三个位移相联系六个应变分量通过六个几何方程与三个位移相联系 i j j i ij x u x u 2 1 ij 给定，上式

32、就是关于 的微分方程。由于方程数目多于 未知函数的数目，因此，若任意给定 ，方程不一定有解。 只有当 满足某种可积条件，或称应变协调关系时，才能由 上述方程积分得到单值连续的位移场 。 i u ij ij i u 从几何上讲，若某一初始连续的物体按给定的应变状态从几何上讲，若某一初始连续的物体按给定的应变状态 变形时，能始终保持连续，既不开裂，又不重叠，则所给变形时，能始终保持连续，既不开裂，又不重叠，则所给 的应变是协调的，否则是不协调的的应变是协调的，否则是不协调的( (如下图如下图) )。 对于单值连续的位移场，位移分量对坐标的偏导数应与求对于单值连续的位移场，位移分量对坐标的偏导数应与

33、求 导顺序无关，由此可以导出应变分量的协调条件。导顺序无关，由此可以导出应变分量的协调条件。 小应变张量 的二阶偏导数为 ij ikljjkliklij uu , 2 1 式中逗号前是分量指标，逗号后是导数指标 为了建立不同应变分量间的关系，把两个分量指标和两为了建立不同应变分量间的关系，把两个分量指标和两 个导数指标双双对换可得个导数指标双双对换可得 kijllijkijkl uu , 2 1 同理 ijlkkjlijlik uu , 2 1 jikllikjikjl uu , 2 1 当位移场单值连续，并存在三阶以上连续偏导数时，偏导当位移场单值连续，并存在三阶以上连续偏导数时，偏导 数与

34、求导顺序无关，于是数与求导顺序无关，于是 0 , ikjljlikijklklij 应变协应变协 调方程调方程 协调方程数目为六个，在直角坐标系中的常用形式是 0 21 12 2 2 1 22 2 2 2 11 2 xxxx (22，11)或(11，22) 0 32 23 2 2 2 33 2 2 3 22 2 xxxx (33，22)或(22，33) 0 31 13 2 2 3 11 2 2 1 33 2 xxxx (11，33)或(33，11) 3 12 2 31 1 23 132 11 2 2 1 xxxxxx (23，11)或(31，21) 1 23 3 12 2 31 213 22

35、2 2 1 xxxxxx (31，22)或(12，32) 2 31 1 23 3 12 321 33 2 2 1 xxxxxx (12，33)或(23，13) 综上所述，物体的变形可以用位移矢量场综上所述，物体的变形可以用位移矢量场( (三个位移三个位移 分量分量) )来描述，也可用应变张量场来描述，也可用应变张量场( (六个应变分量六个应变分量) )来描述。来描述。 当用位移描述时，只要位移函数连续且足够光滑，协调当用位移描述时，只要位移函数连续且足够光滑，协调 方程就自动满足。当用应变描述时，六个应变分量必须方程就自动满足。当用应变描述时，六个应变分量必须 首先满足协调方程。只有从协调的应

36、变场才能积分几何首先满足协调方程。只有从协调的应变场才能积分几何 方程，得到相应的位移场。方程，得到相应的位移场。 1.3.3 主应变和主方向主应变和主方向 和讨论应力状态相类似。我们把剪应变等于零的面叫做主和讨论应力状态相类似。我们把剪应变等于零的面叫做主 平面，主平面的法线方向叫做主应变方向，主平面上的正应平面，主平面的法线方向叫做主应变方向，主平面上的正应 变就是主应变。变就是主应变。 设设 为沿应变张量主方向的单位矢量，为沿应变张量主方向的单位矢量， 为相应的主应变，为相应的主应变， 则按照张量主方向的定义有则按照张量主方向的定义有 v v vv v 0 jijvij v 令上式的系数

37、行列式为零，就得到确定主应变的特征方程令上式的系数行列式为零，就得到确定主应变的特征方程 0 32 2 1 3 III vvv 3322111 ii I其中 )()( 2 1 2 31 2 23 2 121133332222112 ijijjjii I )(2 2 1233 2 3122 2 23113123123322113213 kjiijk eI 分别称为第一、第二和第三应变不变量 沿主方向取出边长为沿主方向取出边长为 、 、 的正六面体，变形后其的正六面体，变形后其 相对体积变化为相对体积变化为( (略去高阶小量略去高阶小量) ) 1 dx 2 dx 3 dx dV dVVd v 32

38、1 321333222111 111 dxdxdx dxdxdxdxdxdx 1332211 I 因此第一应变不变量表示每单位体积变形后的体积变化，因此第一应变不变量表示每单位体积变形后的体积变化， 又称体积应变。又称体积应变。 和应力张量一样，应变张量也可分解为球形应变张量和应 变偏量张量之和 I kk 3 1 ijijkkij 3 1 其中 m m m ijmijkk 00 00 00 3 1 称为球形应变张量 则 m m m ijkkijij 333231 232221 131211 3 1 称为应变偏量张量称为应变偏量张量 容易看出 0 ii 即应变偏量张量不产生体积变化，仅表示形状畸

39、变即应变偏量张量不产生体积变化，仅表示形状畸变 1.4 应力应变关系应力应变关系 1.4.1 广义虎克定律广义虎克定律 1.4.2 弹性应变能函数弹性应变能函数 1.4.3 屈服函数和屈服面屈服函数和屈服面 1.4.4 两个常用屈服条件两个常用屈服条件 1.4.5 增量理论增量理论 1.4.6 全量理论全量理论 1.4.1广义虎克定律广义虎克定律 E xx xx 熟悉 E vv xx xxzzyy 沿沿x x方向单轴拉伸方向单轴拉伸： 同理，沿同理，沿y y或或z z方向单轴拉伸方向单轴拉伸： E yy yy E v yy xxzz E zz zz E v zz yyxx 三个方向同时受力三个

40、方向同时受力 yyxxzzzz zzxxyyyy zzyyxxxx v E v E v E 1 1 1 三向拉伸三向拉伸 详细证明见教材。 容易证明：在纯剪切状态下，我们 E v 12 同时受到轴向拉伸和剪切作用时同时受到轴向拉伸和剪切作用时 kkzyx ijijij E v E v E v E v 其中， I 1 1 E v e 21 321 v E KKe kkm 213 , 3 1 v E GG 12 ,2S 体积应变：体积应变： 平均应力：平均应力： 应力偏量张量与应变偏量张量：应力偏量张量与应变偏量张量： 平面问题平面问题 0 zzyzx 1 xxy E 1 yyx E yxz E

41、11 2 xyxyxy GE 0 yzxz 平面应力问题：平面应力问题： 薄板，在厚度方薄板，在厚度方 向无载荷向无载荷 平面应平面应 力的本力的本 构关系构关系 0w 平面应变问题：长平面应变问题：长 柱体，在柱体，在z方向位方向位 移受到限制移受到限制 2 1 11 xxy E 2 1 11 yyx E 1 2 xyxy G 平面应变的本构关系平面应变的本构关系 可以写成统一形可以写成统一形 式！如何写？式！如何写？ 1.4.2 弹性应变能函数弹性应变能函数 当外力缓慢地当外力缓慢地( (不致引起不致引起 物体产生加速运动物体产生加速运动) )加到加到 物体上时物体上时, ,便可忽略系统便

42、可忽略系统 的动能的动能, ,同时也略去其他同时也略去其他 能量能量( (如热能等如热能等) )的消耗的消耗, , 则外力势能的变化就全部则外力势能的变化就全部 转化为应变能转化为应变能( (一种势能一种势能) ) 储存于物体的内部。储存于物体的内部。 设材料的应力应变关系为非线性的，各表面上的应力合力对 微元所做的外力功 1111 00 111111132111 dVddxddxdxdA 应变能密度函数应变能密度函数 由应变能密度函数定义得：由应变能密度函数定义得： 则则 其中，其中， 和和 分别为物体分别为物体 变形前后的应变能密度。取变形前的初始状态为变形前后的应变能密度。取变形前的初始

43、状态为 参考状态，因而参考状态，因而 则则 ij ijijij d dV dA W 0 dWd W d ij ij ijij )0()( 0 WWdW dV dA ij ij )0(W ij W 0)0(W 意义：意义：(1)变形过程中物体内储存起来的应变能变形过程中物体内储存起来的应变能 密度等于单位体积的外力功密度等于单位体积的外力功；(2)变形后物体内变形后物体内 的应变能密度只与物体的初始状态和最终变形状的应变能密度只与物体的初始状态和最终变形状 态有关，而与物体达到最终变形状态前的变形历态有关，而与物体达到最终变形状态前的变形历 史无关。史无关。 体变能和畸变能体变能和畸变能 由于体

44、积变化所储存在单位体积内的应变能由于体积变化所储存在单位体积内的应变能 ( (简称为简称为体变能体变能) )为：为： 22 2 18 1 18 1 22 3 KKK u zyx m mmV v E e K m 213 2 2 1 2 1 J G su ijijf 2 2 1 2 1 18 1 J G I K uuW fV 其中，弹性体积膨胀系数：其中，弹性体积膨胀系数： 由于形状变化所储存在单位体积内的应变能由于形状变化所储存在单位体积内的应变能( (简称简称 为畸变能为畸变能) )为：为： 总应变能为：总应变能为： 1.4.3 屈服函数和屈服曲面屈服函数和屈服曲面 简单应力状态下简单应力状态

45、下, ,屈服应力可由简单拉伸屈服应力可由简单拉伸( (压缩压缩) ) 实验图明显看出实验图明显看出 , ,较复杂应力状态下的屈服条件较复杂应力状态下的屈服条件, , 一般地要由实验确定一般地要由实验确定. .但对于理论分析来说但对于理论分析来说, , 则要则要 求在实验基础上给出屈服条件的解析表达式。求在实验基础上给出屈服条件的解析表达式。 0 ij f 在复杂应力状态下的初始弹性状态的界限称为屈服条在复杂应力状态下的初始弹性状态的界限称为屈服条 件。一般说来它可以是应力，应变，时间，温度等的件。一般说来它可以是应力，应变，时间，温度等的 函数，可以写成函数，可以写成 0,Tt ijij 屈服

46、屈服 函数函数 在六维在六维 应力空应力空 间中间中屈屈 服曲面服曲面 屈服函数其它形式的写法屈服函数其它形式的写法 0, 321 f 0 ij Sf 各向同性材料，与各向同性材料，与 坐标的选取无关坐标的选取无关 静水应静水应 力无关力无关 平面平面在主应力空间中，一点的应力状态可由在主应力空间中，一点的应力状态可由 向量向量 来描述来描述。设以。设以 表示主应表示主应 力空间中三个坐标轴方向的单位向量，力空间中三个坐标轴方向的单位向量， 则则 向量是主应力偏向量，向量是主应力偏向量， 向量与主向量与主 应力轴的夹角相等，正交于过原点的平应力轴的夹角相等，正交于过原点的平 面面 OPkji,

47、 ONOQ kjiksjsis OP 321322 321 kji OQ ON 0 321 平面 所以应力偏向量 总是在平面内，因而只要用两个参数就可以确定它。 OQ 0 321 sss 平面 m 321 : 屈服曲面屈服曲面 则如果点则如果点 是屈服点，是屈服点， 那么直线那么直线 上所有的点上所有的点 必然都是屈服点。必然都是屈服点。 在主应力空间内，屈服在主应力空间内，屈服 面是一个以直线面是一个以直线 为轴为轴 线且母线平行于直线线且母线平行于直线 ( (垂直于平面垂直于平面 ) )的正圆的正圆 柱面。柱面。 P 重要重要 结论！结论！ 屈服屈服 曲面曲面 屈服曲线屈服曲线 2 o N

48、 N L ML P M P 屈服曲面在平面屈服曲面在平面 上的投影为圆。上的投影为圆。 屈服曲线的重要特性：屈服曲线的重要特性： 屈服曲线是一条封闭曲线，坐标原点被屈服曲线是一条封闭曲线，坐标原点被 原点包围在内，屈服曲线内部是弹性应原点包围在内，屈服曲线内部是弹性应 力状态，外部则是塑性应力状态。力状态，外部则是塑性应力状态。 屈服曲线与任意一条从坐标原点出发的屈服曲线与任意一条从坐标原点出发的 向径必然相交一次，而且仅相交一次。向径必然相交一次，而且仅相交一次。 屈服曲线对于三个坐标轴及其垂线均对称。屈服曲线有六条对称线，这屈服曲线对于三个坐标轴及其垂线均对称。屈服曲线有六条对称线，这 六条直线把屈服曲线分割成十二个成六条直线把屈服曲线分割成十二个成 角的形状相同的扇形；只要求角的形状相同的扇形；只要求 出这十二个中的任何一个，就可根据对称性作出整个屈服曲线。出这十二个中的任何一个，就可根据对称性作出整个屈服曲线。 30 1.4.4 常用屈服条件常用屈服条件 1.1. TrescaTresca屈服准则屈服准则（最大剪应力屈服条件）（最大剪应力屈服条件） 当最大剪应力达到某一极限值当最大剪应力达到某一极限值 时，材料发时，材料发 生屈服，即：生屈服，即： 即以上三式中至少有一个等式成立，材料才开即以上三式