弹性力学-平面问题的直角坐标解答讲述

1、力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY （1）平衡方程：）平衡方程： 0 0 y yxy x yx x f yx f yx （2）几何方程）几何方程： y u x v y v x u xy y x （3）物理方程：）物理方程： )( 1 xyy E )( 1 yxx E xyxy E )1 (2 （4）边界条件：）边界条件： （1） （2） ysxysy xsxysx flm fml )()( )()( vv uu s s l弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的

2、基本方程 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY l按位移求解平面问题的基本方程按位移求解平面问题的基本方程 （1）平衡方程：）平衡方程： 0 2 1 2 1 1 0 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x f yx u x v y vE f yx v y u x uE （2）边界条件：）边界条件： 位移边界条件：位移边界条件：vvuu ss , 应力边界条件：应力边界条件： y ss x ss f y u x v l x u y v

3、 m E f x v y u m y v x u l E 2 1 1 2 1 1 2 2 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY （1）平衡方程）平衡方程 0 y yyx f yx 0 x xy x f yx （3）边界条件：）边界条件： ysxysy xsxysx flm fml )()( )()( （2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程） y f x f xy y x yx )1 ()( 2 2 2 2 （平面应力情形）（平面应力情形） l按应力求解平

4、面问题的基本方程按应力求解平面问题的基本方程 常体力下可以简化：常体力下可以简化： 0)( 2 2 2 2 yx yx （ 两种平面问题形式相同）两种平面问题形式相同） （ 1） 体力体力fx、fy 转化为面力处理。转化为面力处理。（ 2） 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 0 22 重调和方程重调和方程 相容方程相容方程 ysxysy xsxysx flm fml )()( )()( 边界条件边界条件(在在 上上) S （多连体中，还须满足位移单值条件）（多连体

5、中，还须满足位移单值条件） l按应力函数求解平面问题的基本方程按应力函数求解平面问题的基本方程 l应力函数的求解方法：应力函数的求解方法： （1）逆解法；）逆解法； （2）半逆解法。）半逆解法。 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 要点要点 用逆解法、半逆解法求解平面弹性用逆解法、半逆解法求解平面弹性 力学问题。力学问题。 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND

6、TECHNOLOGY 3-1 3-1 多项式解答多项式解答 3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出 3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷 3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力 3-5 3-5 级数式解答级数式解答 3-6 3-6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 适用性：适用性：由一些直线边界构成的弹性体。由一些直线边界构成的弹性体。 目的：目的： 考察一些简单多项式函数作为应力函

7、数考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y) ，能解决什么样的力，能解决什么样的力 学问题。学问题。 逆解法逆解法 cbyaxyx),( 其中：其中： a、b、c 为待定系数。为待定系数。 检验检验(x,y) 是否满足双调和方程：是否满足双调和方程：02 4 4 22 4 4 4 4 yyxx 显然显然(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。满足双调和方程，因而可作为应力函数。 （1） （2） 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY （3）对应的应力分量：对应

8、的应力分量： 0 2 yx xy xf y xx 2 2 xfxf xx 0yfyf yy 0 yf x yy 2 2 若体力：若体力：fx = fy =0，则有：，则有：0 xyyx 结论结论1： （1） （2） 一次多项式对应于一次多项式对应于无面力和无应力状态；无面力和无应力状态； 在该函数在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY （1） 22 cybxyax 其

9、中：其中： a、b、c 为待定系数。为待定系数。 (假定：假定：fx=fy = 0 ; a 0 , b 0, c 0) 检验检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有 （2） 0, 0, 0 22 4 4 4 4 4 yxyx 0 4 (可作为应力函数可作为应力函数 ) （3）计算应力分量：计算应力分量： b yx xy 2 c y x 2 2 2 a x y 2 2 2 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY x y 2c2c 2a 2a b

10、 xy 结论结论2：二次多项式对应于二次多项式对应于均匀应力分布均匀应力分布。 x y 0 2 0 2 y 试求图示板的应力函数。试求图示板的应力函数。 例：例： x y 0 0 xyyx 0 ),( 2 0 2 ),(xyx 0 x y 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY （1） 3223 dycxyybxax其中其中: a、b、c 、d 为待定系数。为待定系数。 检验检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有 （2） 0, 0, 0 2

11、2 4 4 4 4 4 yxyx 0 4 (可作为应力函数可作为应力函数 ) (假定：假定：fx=fy = 0)（3）计算应力分量：计算应力分量： cybx yx xy 22 2 dycx y x 62 2 2 axby x y 62 2 2 结论结论3： 三次多项式对应于三次多项式对应于线性应力分布线性应力分布。 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 讨论：讨论：, 3 dy取)0( yx ff可算得：可算得： 0 xy dy x 60 y x y 1 2 h 2

12、h ll 图示梁对应的边界条件：图示梁对应的边界条件： : 2 h y0, 0 xyy : lx 0,6 xyx dy dh3 min dh3 max M M 3 dy可见：可见： 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。 常数常数 d 与弯矩与弯矩 M 的关系：的关系： 2 2 0 h hxdy (1) 由梁端部的边界条件：由梁端部的边界条件： 0d6 2 2 h h ydy 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY (2)Mdyy

13、h hx 2 2 2 2 2 6 h h MdydyMh d 3 2 ) 2 ( 3 h M d 或 y I M x y h M dy x 3 12 6 y h M )12/( 3 可见：此结果与材力中结果相同，可见：此结果与材力中结果相同， (1) 组成梁端力偶组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精 确的。确的。 (2) 若按其它形式分布，如：若按其它形式分布，如： 则此结果不精确，有误差；则此结果不精确，有误差； 但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。

14、(3) 当当 l 远大于远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。时，误差较小；反之误差较大。 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY （1） 432234 eydxyycxybxax 检验检验(x,y) 是否满足双调和方程是否满足双调和方程（2） c yx 82 4 4 a x 24 4 4 e y 24 4 4 代入：代入：0 4 得得033eca 024824eca 432234 eydxyycxybxax 可见，对于函数：可见，对于函数： 其待定系数，须满足下述关

15、系才能作为应函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数： 033eca 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY （3）应力分量：应力分量： yx xy 2 22 343dycxybx 2 2 y x 2 2 x y 22 1262eydxycx 22 1262axbxycy 应力分量为应力分量为 x、y 的二次函数。的二次函数。 （4）特例：特例： 44 eyax 2 12ey x 0 xy 2 12ax y （须满足：（须满足：a + e =0） x y 2 12

16、ey x 2 12ax y 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 总结：总结：（多项式应力函数（多项式应力函数 的性质）的性质） （1） 多项式次数 多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足时，则系数可以任意选取，总可满足 。0 4 多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足时，则系数须满足一定条件，才能满足 。0 4 多项式次数多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。越高，则系数间需满足的条件越多。 （2） 一次多项式一次多

17、项式，对应于，对应于无体力和无应力状态无体力和无应力状态；任意应力函数；任意应力函数(x,y)上加上上加上 或减去一个一次多项式，对应力无影响。或减去一个一次多项式，对应力无影响。 二次多项式二次多项式，对应，对应均匀应力状态均匀应力状态，即全部应力为常量；，即全部应力为常量；三次多项式三次多项式，对，对 应于应于线性分布应力。线性分布应力。 （3） （4） 用多项式构造应力函数 用多项式构造应力函数(x,y) 的方法的方法 逆解法。逆解法。 （注（注: 逆解法只能解决简单直线应力边界等问题）。逆解法只能解决简单直线应力边界等问题）。 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院

18、力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数(x，y) 。 2. z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受 均匀压力均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基 础上，如图所示。不计自重，试确定其应力分量。础上，如图所示。不计自重，试确定其应力分量。 , 3 1 Axy , 23 2 yBx 323 3 yDxCxy x p b y O

19、 h 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY (1) 将其代入相容方程，有将其代入相容方程，有 , 0 4 1 4 x , 0 4 1 4 y 0 22 1 4 yx 02 4 1 4 22 1 4 4 1 4 xyxx 满足相容方程，满足相容方程，1可作为应力函数。可作为应力函数。 (2) 将其代入相容方程，有将其代入相容方程，有 , 0 4 2 4 x , 0 4 2 4 y Bx yx 242 22 2 4 bx xyxx 242 4 1 4 22 1 4 4 1

20、 4 0 不满足相容方程，不满足相容方程，2不可作为应力函数。不可作为应力函数。 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY (3) 将其代入相容方程，有将其代入相容方程，有 , 0 4 3 4 x , 0 4 3 4 y Dy yx 242 22 3 4 Dy xyxx 242 4 1 4 22 1 4 4 1 4 0 当当D = 0时，满足相容方程，满足相容方程，3可作为应力函数；可作为应力函数； 当当D0时，不满足相容方程，不满足相容方程，3不可作为应力函数。不可作为

21、应力函数。 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 2. z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受 均匀压力均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基 础上，如图所示。不计自重，试确定其应力分量。础上，如图所示。不计自重，试确定其应力分量。 x p b y O h 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY O

22、F MINING AND TECHNOLOGY 2 Ay 2 2 y x （1） （2） 1 确定应力函数确定应力函数 2 确定应力分量确定应力分量 A2 2 2 x y 0 yx xy 2 0 3 由边界条件确定待定常数由边界条件确定待定常数 p hx x 0 hx xy 代入得：代入得：pA2 2 p A 上端：上端： 满足满足 x p b y O h 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 0 2 b y y 0 2 b y yx 2 2 y p 左右侧：左右侧：

23、 满足满足 下端：下端： pbdy b b x x 2 2 0 0 2 2 0 b b x x ydy 0 2 2 0 b b x xy dy 满足满足 p x 0 y 0 xy 4 最后结果：最后结果： x p b y O h 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 图示矩形板，长为图示矩形板，长为 l ，高为，高为 h ，体力不计，试证以下函数是应力函，体力不计，试证以下函数是应力函 数，并指出能解决什么问题。式中数，并指出能解决什么问题。式中k为常数。为常数。 x

24、 y O l h h kxy h kxy 2 32 3 3 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY (1) 应力分量：应力分量： 32 2 12 h kx y x 0 2 2 x y h k h ky yx xy 2 36 3 22 边界条件：边界条件： 0 2 32 6 3 2 2 h k h h k h y xy 0 2 h y y 显然，上下边界无面力作用。显然，上下边界无面力作用。 上下边界上下边界 (2) 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程

25、学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY x y O l h :0 x 0 12 2 2 3 2 2 h h h hx dy h kxy dy 0 12 2 2 3 2 2 2 h h h hx dy h kxy ydy 左边界左边界 2 2 3 2 2 2 2 36 h h h hxy dy h k h ky dy k h ky h ky h h 2 2 3 3 2 32 k 右边界右边界 : lx 0 12 2 2 3 2 2 h h h hx dy h kly dy 2 2 3 2 2 2 2 36 h h h hxy

26、 dy h k h ky dyk h ky h ky h h 2 2 3 3 2 32 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY k 2 2 3 2 2 2 12 h h h hx dy h kly ydy 2 2 3 3 3 12 h hh kly kl k kl 结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。 右边界右边界 : lx 0 12 2 2 3 2 2 h h h hx dy h kly dy 2 2 3 2 2 2 2 36 h

27、h h hxy dy h k h ky dyk h ky h ky h h 2 2 3 3 2 32 x y O l h 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 按应力求解平面问题，其基本未知量为：按应力求解平面问题，其基本未知量为： ，下一步如何，下一步如何 由由 求出形变分量、位移分量？求出形变分量、位移分量？ xyyx , xyyx , 问题：问题： 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY

28、 OF MINING AND TECHNOLOGY x y l 1 h M M 由前节可知，其应力分量为：由前节可知，其应力分量为： 12/ 3 h My y I M x 0 xy 0 y 平面应力情况下的物理方程：平面应力情况下的物理方程： （1 1）形变分量）形变分量 )( 1 xyy E )( 1 yxx E G xy xy (a) 将式（将式（a）代入得：）代入得： I My E y I My E x 1 0 xy (b) 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY

29、 （2 2）位移分量）位移分量 将式（将式（b）代入几何方程得：）代入几何方程得： 0 x v y u xy I My Ex u x 1 I My Ey v y (c) x y l 1 h M M 将式（将式（c）前两式积分，得：）前两式积分，得： )( 2 2 2 xfy EI M v )( 1 yfxy EI M u (d) 将式将式 (d) 代入代入 (c) 中第三式，得：中第三式，得： )(),( 21 xfyf式中：式中：为待定函数。为待定函数。 0)()( 21 xfyfx EI M 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UN

30、IVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY )()( 12 yfxfx EI M 整理得：整理得： （仅为（仅为 x 的函数）的函数） （仅为（仅为 y 的函数）的函数）要使上式成立，须有要使上式成立，须有 )( 2 xfx EI M )( 1 yf (e) 式中：式中：为常数。为常数。 积分上式，得积分上式，得 01 )(uyyf 0 2 2 )(vxx EI M xf 将上式代入式（将上式代入式（d），得），得 0 uyxy EI M u 0 22 22 vxx EI M y EI M v (f) 式中：式中：u0、v0、 由位移边界条件确定。由位移边界条件确定。

31、力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY （1） 讨论：讨论： 常数 0 0 x EI M y u xx 当当 x = x0 =常数常数 x EI M y u u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。 常数 0 0 x EI M y u xx y u 0 | xx 说明：说明： 同一截面上的各铅垂线同一截面上的各铅垂线 段转角相同段转角相同。 横截面保持平面横截面保持平面 材力中材力中“平面保持平面平面保持平面”的假设成

32、立的假设成立。 x y l 1 h M M 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY （2） 常数 EI M x v 2 2 1 0 22 22 vxx EI M y EI M v 将下式中的第二式对将下式中的第二式对 x 求二阶导数：求二阶导数： 0 uyxy EI M u 说明：说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲在微小位移下，梁纵向纤维的曲 率相同。即率相同。即 EI M x v 2 2 1 材料力学中挠曲线微分方程材料力学中挠曲线微分方程 力学与建筑工程学院力学系弹

33、性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY （1 1）两端简支）两端简支 其边界条件：其边界条件： 0 0 0 y xu0 0 0 y xv 将其代入将其代入(f)式，有式，有 0 2 0 2 vl EI Ml 0 0 u0 0 v EI Ml 2 0 0 y lxv 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY （1 1）两端简支）两端简支 y l x EI M u) 2 ( 2

34、 2 )( 2 y EI M xxl EI M v 梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程： xxl EI M v y )( 2 0 与材力中结果相同与材力中结果相同 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY （2 2）悬臂梁）悬臂梁 边界条件边界条件 0 lx v 0 lx u 22 h y h 由式（由式（f）可知，此边界条件无法满足。）可知，此边界条件无法满足。 边界条件改写为：边界条件改写为： 0, 0 00 y lx y lxvu （中点不动）（中点不动） 0 0 y

35、lx x v （轴线在端部不转动）（轴线在端部不转动） 0 uyxy EI M u 0 22 22 vxx EI M y EI M v (f) 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 代入式（代入式（f），有），有 0 0 u0 2 0 2 vll EI M 0l EI M 可求得：可求得： 0 0 u EI Ml v 2 2 0 EI Ml yxl EI M u)( 22 2 )( 2 y EI M xl EI M v 挠曲线方程：挠曲线方程： 2 0 )( 2 |x

36、l EI M v y 与材料力学中结果相同与材料力学中结果相同 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 若取固定端边界条件为：若取固定端边界条件为： 0 0 00 y lx y lxvu, （中点不动）（中点不动） 0 0 y lxy u （中点处竖向线段转角为零）（中点处竖向线段转角为零） 此结果与前面情形有区别吗，为什么？此结果与前面情形有区别吗，为什么？ （作业！）（作业！） 讨论：讨论： 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电

37、子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 半逆解法半逆解法 针对具体问题 的条件 假设部分或 全部应力分 量的函数形 式 应力函数的 表达式 应力边界条 件、位移单 值条件 正确解 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 应力函数: )()(),(ygxfyx 半逆解法的数学基础是数理方程的分离变量法。（1） （2）常用方法：量纲分析、对称性应用、材料力学初等解法等 0)()()()(2)()( )4( )4( ygxf

38、ygxfygxf 半逆解法半逆解法 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 要点要点 用用半逆解法半逆解法求解梁、长板类平面问题。求解梁、长板类平面问题。 x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q (1) 分析：分析： y 主要由弯矩引起；主要由弯矩引起； x 主要由剪力引起；主要由剪力引起； xy 由由 q 引起（挤压应力）。引起（挤压应力）。 又又 q =常数，图示坐标系和几何对称，常数，图示坐标系和几何对称，不随不随 x 变化。变化。 y 推得：推

39、得： )(yf y 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY (2)由应力分量表达式确定应力函数由应力分量表达式确定应力函数 的形式：的形式： ),(yx )( 2 2 yf x y 积分得：积分得：)()( 1 yfyxf x )()()( 2 21 2 yfyxfyf x (a) (b) )(),(),( 21 yfyfyf 任意的待定函数任意的待定函数 )(yf y x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力

40、学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY (3) 由由 确定：确定：0 4 )(),(),( 21 yfyfyf )(22 )2( 22 4 yf yx 0 4 4 x )()()( 2 )4( 2 )4( 1 )4( 2 4 4 yfyxfyf x y 代入相容方程：代入相容方程： 4 4 4 22 4 4 4 2 yyxx 0)(2)()()( 2 )2( )4( 2 )4( 1 )4( 2 yfyfyxfyf x x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子

41、教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 方程的特点：方程的特点： 关于关于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。内方程均成立。 由由“高等代数高等代数”理论，须有理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：的一、二次的系数、自由项同时为零。即： 0)( )4( yf 0)(2)( )2( )4( 2 yfyf0)( )4( 1 yf 对前两个方程积分：对前两个方程积分： GyFyEyyf 23 1 )( DCyByAyyf 23 )( (c) 此处略去了此处略去了f

42、1(y)中的常数项中的常数项)()()( 2 21 2 yfyxfyf x 0)(2)()()( 2 )2( )4( 2 )4( 1 )4( 2 yfyfyxfyf x 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 对第三个方程得：对第三个方程得： )(2)( )2( )4( 2 yfyf BAy412 积分得：积分得： 2345 2 610 )(KyHyy B y A yf(d) )()()( 2 21 2 yfyxfyf x )()( 2 2323 2 GyFyEyxDC

43、yByAy x ) 610 ( 2345 KyHyy B y A 式中含有式中含有9个待定常数。个待定常数。 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 2 2 y x KHyByAyFEyxBAy x 2622)26()26( 2 23 2 2 2 x y DCyByAy 23 yx xy 2 )23()23( 22 GFyEyCByAyx (f) (g) (h) x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑

44、工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY （1）对称条件的应用：）对称条件的应用： 由由 q 对称、几何对称：对称、几何对称： yx , x 的偶函数的偶函数 xy x 的奇函数的奇函数 由此得：由此得：026 FEy 023 2 GFyEy 要使上式对任意的要使上式对任意的 y 成立，须有：成立，须有： 0GFE x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TEC

45、HNOLOGY （2）边界条件的应用：）边界条件的应用： (a) 上下边界（主要边界）：上下边界（主要边界）： ; 0, 2 xy h y ;, 2 q h y y ; 0, 2 y h y 0 248 23 DC h B h A h qDC h B h A h 248 23 0 4 3 2 CBh h A 0 4 3 2 CBh h A 由此解得：由此解得： , 2 3 h q A , 0B 2 q D h q C 2 3 x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSIT

46、Y OF MINING AND TECHNOLOGY (b) 左右边界（次要边界）：左右边界（次要边界）： （由于对称，只考虑右边界即可。）（由于对称，只考虑右边界即可。） , lx 未知 22 h y h lx xy 0 22 h y h lx x 难以满足，需借助于圣维南原理。难以满足，需借助于圣维南原理。 静力等效条件：静力等效条件： qldy h h lx xy 2 2 0 2 2 dy h h lx x 0 2 2 dyy h h lx x x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CH

47、INA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 0K02Kh 0)26 46 ( 2 2 3 3 2 3 h h dyKHyy h q yl h q qlly h qy h ql h y 2 3 3 2 3 2 3 6 2 0)6 46 ( 24 3 2 2 2 3 2 dyHyy h q y h ql h h h q h ql H 10 3 2 qldyl h q y h ql h h ) 2 36 ( 2 2 2 3 可见，这一条件自动满足。可见，这一条件自动满足。 qldy h h lx xy 2 2 0 2 2 dy h h lx x 0 2 2 dyy

48、 h h lx x 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q ) 5 3 4()( 6 2 2 22 3 h y h y qyxl h q x 2 2 11 2 h y h yq y 2 2 3 4 6 y h x h q xy 截面上的应力分布：截面上的应力分布： 10 3 )( 3 22 2 q xl h q 三次抛物线三次抛物线 q 2h 2h 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系

49、弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 材力中几个参数：材力中几个参数： 截面宽：截面宽：b=1 , 3 12 1 hI 截面惯矩：截面惯矩： 静矩：静矩： 28 22 yh S 弯矩：弯矩： )( 2 22 xl q M 剪力：剪力： qxFS 将其代入式将其代入式 ( p ) ，有，有 5 3 4 2 2 h y h y qy I M x 2 2 11 2 h y h yq y bI SFS xy 比较，得：比较，得： （1） x 第一项与材力结果相同，为主要项。第一项与材力结果相同，为主要项。 第二项为修正项。当第二项为修正项

50、。当 h / l1，该项，该项 误差很小，可略；当误差很小，可略；当 h / l较大时，须较大时，须 修正。修正。 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY xy （2） y 为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。 （3） 与材力中相同。与材力中相同。 注意：注意： 按上式，梁的左右边界存在水平面力：按上式，梁的左右边界存在水平面力： lxxx f 5 3 4 2 2 h y h y q 说明上式在两端不适用。说明上式在两端不适用

51、。 x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 要要 点：点： 利用材料力学中利用材料力学中截面上应力截面上应力与与梁内力梁内力的关系，假设某的关系，假设某 个应力分量的函数形式。个应力分量的函数形式。 适用性：适用性： 直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆 端集中力偶等。端集中力偶等。 应力函数常可表示为：应力函数常可表示为： )()(),(ygxfyx 设法由边

52、界面力先确定设法由边界面力先确定 其中之一，然后将其中之一，然后将 其代入其代入 确定另外一个函数。确定另外一个函数。 )()(ygxf或 0 4 材力中，截面上应力分量与梁内力的关系为：材力中，截面上应力分量与梁内力的关系为： )()( 2 yfxFS xy )()( 1 yfxM x 式中：式中：M(x) 弯矩方程；弯矩方程； FS(x) 剪力方程。剪力方程。 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 当有横向分布力当有横向分布力q(x)作用时，纵向纤维间存在挤压应力

53、作用时，纵向纤维间存在挤压应力 ， y 同时，横向分布力同时，横向分布力q(x)的挤压作用时，对轴向应力的挤压作用时，对轴向应力 也产生影响。也产生影响。 x 应力分量与梁内力的关系可表示为：应力分量与梁内力的关系可表示为： )()()()( 21 yfxqyfxM x )()( 3 yfxq y )()( 4 yfxFS xy 考虑挤压应力影响导致考虑挤压应力影响导致 然后由：然后由： xy xy 2 2 2 x y 2 2 y x 0 4 确定应力函数确定应力函数 的具体形式。的具体形式。 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNI

54、VERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 悬臂梁，厚度为单位悬臂梁，厚度为单位1，=常数。求：应力函数常数。求：应力函数 及梁内应力。及梁内应力。 x y O b lx 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY xy 由由 与应力函数与应力函数 的关系，有：的关系，有： 例：例： (1) 应力函数的确定应力函数的确定 FS M取任意截面，其内力如图：取任意截面，其内力如图： bxFS)( 0)()()(xlbbxlxM 取取 作为分析对象，可假设：

55、作为分析对象，可假设： xy )()()(ybfyfxFS xy （a） f(y)为待定函数为待定函数 )( 2 ybf yx （b） 对对 x 积分一次，有：积分一次，有： )()( 0 yfybxf y 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 0 4 由由 确定待定函数：确定待定函数： 对对 y 再积分一次，有：再积分一次，有： )()()( 321 xfyfybxf 其中：其中： dyyfyf)()( 02 dyyfyf)()( 1 （c） x y O b l x

56、 FS M 02 4 4 22 4 4 4 yyxx 0)()()( )4( 3 )4( 2 )4( 1 xfyfybxf （d） 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 要使上式对任意的要使上式对任意的x，y成立，有成立，有 0)()( )4( 3 )4( 2 xfyf 0)( )4( 1 yf（e） （f） 由式（由式（ e）求得）求得CyByAyyf 23 1 )(（g） 由式（由式（ f）得）得 )( )4( 3 xf )( )4( 2 yf （h） （i） 积

57、分式（积分式（ h）和（）和（i）得）得 2 2 3 2 4 23 )(xCxBxAxf 2 1 3 1 4 12 )(yCyByAyf （j） （k） 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY )( 2 2 3 2 4 2 xCxBxA )( 23 CyByAybx )( 2 1 3 1 4 1 yCyByA ( l ) x y O b l x FS M 包含包含9个待定常数，由边界条件确定。个待定常数，由边界条件确定。 (2) 应力分量的确定应力分量的确定 11 2

58、1 2 2 2612)26(CyByABAybx y x )23( 2 2 CByAyb yx xy 22 2 2 2 2 2612CxBxA x y ( m ) 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY (3) 利用边界条件确定常数利用边界条件确定常数 22 , 0 b y xy b y y lx xylxx , 0 22 , 0 b y xy b y y ( o ) 代入可确定常数为：代入可确定常数为： 0 222 CBA0 111 CBABA b C 1 x y O

59、 b l x FS M xy (3) 最后结果最后结果 xy0 x 0 y 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 注：注：也可利用也可利用 M（x）= 0，考虑，考虑 0)()(yfxM x 进行分析。此时有：进行分析。此时有： 0 2 2 y x )( 1 xf y )()( 21 xfxyf )(),( 21 xfxf 为待定函数，由相容方程确定。为待定函数，由相容方程确定。 x y O b l x FS M 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程

60、学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY )(yxf y 0 y )(yf y )()()()( 21 yfxqyfxM x )()( 3 yfxq y )()( 4 yfxFS xy 利用利用 下列问题的应力分量下列问题的应力分量 形式：形式： y Ox y Ox y Ox y 0 q 力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 图示矩形截面简支梁，长为图示矩形截面简支梁，长为 l ，高为，高为 h ，