《初等数论》模拟试卷

1、浙江师范大学初等数论考试卷（G卷）一、填空（30分）1、d（1001）= 6 。（2002）= 4032 2、有解的充要条件是 。3、不能表示成5X+6Y（X、Y非负）的最大整数为 19 。4、2003！中末尾连续有 499 个零。5、（21a+4，14a+3）= 1 。6、通解为 。7、两个素数的和是39，这两个素数是 2 、 37 。8、从1001到2000的所有整数中，13的倍数有 77 。9、p,q是小于是100的素数，pq- 1=x为奇数，则x的最大值是 193 。二、解同余方程组（12分）由孙子定理得三、证明费尔马定理。 （10分）四、 明：设是自然数的正因子，则有 （10分）答、

2、设d是n的因子，则也是n的因子，而n的因子数为d（n）所以，所以即有五、 为奇素数，则有（10分）答、由费尔马小定理知对一切整数有apa（p）bpb(P)，由同余性质知有ap+bpa+b(p)又由费尔马小定理有（a+b）pa+b (p)（a+b）pap+bp(p)六、用初等方法解不定方程。 （10分）答：由题意知x为偶数，设，则有即有由499为素数有两因子只能取，从而 得七、解不定方程式15x+25y=-100. (8分) 答： 八、请用1到9这九个数中的六个（不重复）写出一个最大的能被6整除的六位数（10分）答：987654浙江师范大学初等数论考试卷（A卷）一、 填空（30分）1、d（100

3、0）= 16 (2的3次*5的3次 。（1000）= 2340 （24-1）/(2-1)*(54-1)/(5-1) 。()=_1_ 。2、 ax+bY=c有解的充要条件是 (a,b)/c 。3、 被3除后余数为 1 。4、X=3，Y=4，Z=2，则X2Y+3Z可能的值为 3，4，5，6，7，8，9，10，11 。5、（1）（P）（）= 。6、高斯互反律是 ，p，q为奇素数 。7、两个素数的和为31，则这两个素数是 2和29 。8、带余除法定理是 a和b是整数，b=0,则存在唯一的整数，使得a=b*q+r, 0=rz1这样可以一直进行下去，zz1z2 z3z4但是自然数无穷递降是不可能的，于是产

4、生了矛盾。浙江师范大学初等数论考试卷（B卷）七、 填空（30分）1、d（37）= 2 。（37）= 38 。2、（1）（P）（）= 。3、不能表示成5X+3Y（X、Y非负）的最大整数为 7 。4、7在2004！中的最高幂指数是 331 。5、（1501 ，300）= 1 。6、有解的充要条件是 。7、威尔逊定理是 P为素数， 。8、写出6的一个绝对值最小的简化系 1，5 。9、被7除后的余数为 5 。八、 解同余方程组（12分） 答：九、 证明当是奇数时，有.（10分）答：证明： 因为,所以. 于是,当是奇数时,我们可以令.从而有, 即.十、 如果整系数的二次三项式 时的值都是奇数，证明 没有

5、整数根（8分）答、由条件可得c为奇数，b为偶数如果p（x）=0有根q，若q为偶数，则有为奇数，而p（q）=0为偶数，不可能，若q为奇数，则有为奇数，而p（q）=0为偶数，也不可能，所以没有整数根十一、 解方程.（10分）解 因为(45,132)=321,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 . 我们再解不定方程, 得到一解(21,7). 因此同余式的3个解为, , 七、证明：用算术基本定理证明是无理数。（10分）答：假设是有理数，则存在二个正整数p，q，使得=，由对数定义可得有3 =,则同一个数左边含奇数个因子，右边含偶数个因子，与算术基本定理矛盾。为无理数。八、证明：对任何正整

6、数,若不能被4整除，则有5| （10分）答：则题意知n=4q+r，r=1，2，3。因为=1,i=1,2,3,4所以有 当r=1时有 当r=2时有当r=3时有 从而证明了结论。九、 解不定方程 （10分）答：由观察得有特解x=0，y=2所以方程的解为浙江师范大学初等数论考试卷（C卷）十、 填空（30分）1、d（31）= 2 。（3600）= 29 。2、四位数被9整除，则A= 7 。3、17X+2Y=3通解为 。4、费尔马大定理是 无正整数解 。5、写出12的一个简化系，要求每项都是5的倍数 5，25，35，55 。6、= 06 。7、化为分数是 。8、15！的标准分解是 。9、1000到200

7、3的所有整数中13的倍数有 78 个。十一、 解同余方程组（12分） 答：十二、 叙述并且证明欧拉定理。（12分）十三、 （10分）答：五、证明梅森数的素因子.（10分）答：设q是2-1的质因数，由于2-1为奇数， q2， （2，q）=1,由条件q|2p-1,即21（mod q）又 （q,2）=1，21（mod q）设i是使得21（mod p）成立最小正整数若1i为素数）。（10答：设q是2-1的质因数，由于2-1为奇数， q2， （2q）=1,由条件q|2p-1,即21（mod q）又 （q,2）=1，21（mod q）设i是使得21（mod p）成立最小正整数若1iz1这样可以一直进行下去

8、，zz1z2 z3z4但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾。浙江师范大学初等数论考试卷（F卷）二十、 填空（36分）1、d（1000）= 16 。（1000）= 2340 。（1000）= 9360 。2、n， 若则n为 素数 。3、不能表示成5X+3Y（X、Y非负）的最大整数为 7 。4、7在2003！中的最高幂指数是 331 。5、（1515 ，600）= 15 。6、有解的充要条件是 。7、威尔逊定理是 。8、写出6的一个简化系，要求每项都是5的倍数 5，25 。9、化为分数是 。10、的末位数是 8 。11、-2.3= - 3 。12、（1）（P）（）= 。13、且能被4、5、

9、7整除，则最小的是 140 。14、被7除后的余数为 5 。15、两个素数的和为31，则这两个素数是 2，29 。16、带余除法定理是 a，b是两个整数，b0,则存在两个惟一的整数q，r使得 。二十一、 解同余方程组（12分） 答：由孙子定理二十二、 叙述并且证明费尔马小定理。（12分）答：费尔马定理：对任意的素数p有证明：设p|a，则有，有， 若（a，p）=1，由欧拉定理有两边同乘a即有二十三、 如果整系数的二次三项式 时的值都是奇数，证明 没有整数根（6分）答：由条件可得c为奇数，b为偶数如果p（x）=0有根q，若q为偶数，则有为奇数，而p（q）=0为偶数，不可能，若q为奇数，则有为奇数，而p（q）=0为偶数，也不可能，所以没有整数根二十四、 设为奇素数，则有（8分）（1）答：由欧拉定理（2）答：由费尔马定理二十五、 证明：对任何正整数，有| （6分）答：（5，11）=1，（4，11）=1，（3，11）=1由欧拉定理得，进一步有，对任何正整数，有即有| 七、证明：是无理数。（8分）答：证：假设是有理数，则存在自数数a,b使得满足即，容易知道a是3的倍数，设a=3a1，代入得,又得到b为3的倍数，设，则,这里这样可以进一步求得a2，b2且有aba1b1 a2b2但是自然数