材力07 弯曲变形

1、1 2 7 71 1 梁的挠度和转角梁的挠度和转角 7 72 2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 主要内容主要内容 7 74 4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形 7 75 5 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施 7 76 6 简单静不定梁简单静不定梁 7 73 3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形 7 77 7 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施 7 7 梁的挠度和转角梁的挠度和转角 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示

2、。 与 y 同向为正，反之为负。 2.转角：横截面绕其中性轴转 动的角度。用 表示，逆时 针转动为正，反之为负。 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为：其方程为： v =f (x) 三、转角与挠曲线的关系：三、转角与挠曲线的关系： 一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量 (1) )( d d tgxf x v 小变形小变形 P x w C C1 y 7-2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 z z EI xM)(1 z z EI xM xf )( )( 即挠曲线近似微分方程。即挠曲线

3、近似微分方程。 )( )(1 ( )(1 2 3 2 xf xf xf 小变形小变形 y x M0 0)( x f y x M0 0)( x f 挠曲线曲率（式挠曲线曲率（式6.26.2）: : EI xM xf )( )( 6 )()(xMxfEI 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式： 7 )()(xMxfEI 用积分法求弯曲变形（挠曲线方程）用积分法求弯曲变形（挠曲线方程） )()(xMxfEI 1 d)()(CxxMxfEIEI 21 dd)()(CxCxxxMxEIfEIw 1.微分方程的积分 C1、C2为积分常数，据边界条件确定 8-3 8-3 积分法求弯曲变形积分法求

4、弯曲变形 挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程： 2.位移边界条件 P AB C P D 支点位移条件： 连续光滑条件： P AB C 右左 CC vv 右左 CC 00 B A vv 00 D D v （集中力、集中力偶作用处， 截面变化处） 讨论：讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。件）确定。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 优

5、点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。缺点：计算较繁。 例例1 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 建立坐标系并写出弯矩方程 )()(LxPxM 写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数 )()(xLPxMEIv 1 2 )( 2 1 CxLPEIv 21 3 )( 6 1 CxCxLPEIv 0 6 1 )0( 2 3 CPLEIf 0 2 1 )0()0( 1 2 CPLfEIEI 3 2 2 1 6 1 ; 2 1 PLCPLC 解： P L x y 写出弹性曲线方程并画出曲线 323 3)( 6 )(LxLxL

6、 EI P xf EI PL Lff 3 )( 3 max EI PL L 2 )( 2 max 最大挠度及最大转角 x y P L 解：建立坐标系并写出弯矩方程 )( 0 )0( )( )( Lxa axaxP xM 写出微分方程的积分并积分 1 1 2 )( 2 1 D CaxP EIv 21 21 3 )( 6 1 DxD CxCaxP EIv )( 0 )0( )( Lxa axaxP EIv x y P L a 应用位移边界条件求积分常数 0 6 1 )0( 2 3 CPaEIf 0 2 1 )0( 1 2 CPaEI 3 22 2 11 6 1 ; 2 1 PaDCPaDC )()

7、()(afafaf )()( aa 11 DC 2121 DaDCaC P L a 3 2 2 1 6 1 ; 2 1 PaCPaC x y 写出弹性曲线方程并画出曲线 )(a 3 6 )0( 3)( 6 )( 23 323 Lx xaa EI P ax axaax EI P xf aL EI Pa Lff3 6 )( 2 max EI Pa a 2 )( 2 max 最大挠度及最大转角 P L a x y 8-4 8-4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形 一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。 )()()(),( 22

8、1121nnn PPPPPP )()()(),( 221121nnn PfPfPfPPPf 二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）： 前提：小变形，线弹性使梁的挠度、转角 均与载荷成线形关系。 例例 按叠加原理求A点转角和 C点挠度。 解、载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。 EI Pa f PC 6 3 EI Pa PA 4 2 EI qa f qC 24 5 4 EI qa qA 3 3 q q P P =+ A A A B B B C aa EI Pa f PC 6 3 EI Pa PA 4 2 EI qa f qC 24 5 4 EI q

9、a qA 3 3 q q P P =+ A A A B B B C aa 叠加 qAPAA )43( 12 2 qaP EI a EI Pa EI qa f C 624 5 34 例例 按叠加原理求C点挠度。解：载荷无限分解如图 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。 叠加 EI bLbP f dPC 48 )43()d( 22 b L bq xxqPd 2 d)(d 0 b EIL bLbq d 24 )43( 222 0 dPCqC ff EI qL b EIL bLbq L 240 d 24 )43( 4 5.0 0 222 0 q0 0.5L0.5L x dx b x f C

10、例例 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。 =+ PL1L2 ABC B C PL2 f1 f2 等价 等价 x x 21 fff f PL1L2 ABC 刚化刚化AC段段 PL1L2 ABC 刚化刚化BC段段 P L1L2 ABCM x 8-5 8-5 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施 max wv max 一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 其中称为许用转角；w称为许用挠度。由具体工作条件定, 可查手册.通常依此条件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度： 、设计截面尺寸； 、设计载荷。 max (但：对于一般工程结构，强度常处于主要地 位。特殊构件例外） m

11、ax wv P L=400mm P2=2kN A C a=0.1m 200mm D P1=1kN B 例例 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm， 杆的E=210GPa，工程规定C点的f=0.00001m,B点的 =0.001弧度,试校核此杆的刚度。 = + + = P1=1kN ABDC P2 B C D A P2=2kN B C D A P2 B C a P2 B C D A M P2 B C a =+ 图图1 1 图图2 2 图图3 3 EI aLP af BC 16 2 1 11 EI LP B 16 2 1 1 EI LaP EI ML B 33 2 3 EI

12、LaP af BC 3 2 2 33 解：结构变换，查表求简单 载荷变形。 0 2 B EI aP f C 3 3 2 2 P L=400mm P2=2kN A C a=0.1m 200mm D P1=1kN B P1=1kN ABDC P2 B C D A M x y P2 B C a =+ 图图1 1 图图2 2 图图3 3 P L=400mm P2=2kN A C a=0.1m 200mm D P1=1kN B P1=1kN ABDC P2 B C D A M x y EI LaP EI aP EI aLP fC 3316 2 2 3 2 2 1 EI LaP EI LP B 316 2

13、 2 1 叠加求复杂载荷下的变形 48 1244 44 m10188 10)4080( 64 14. 3 )( 64 dDI m1019. 5 3316 6 2 2 3 2 2 1 EI LaP EI aP EI aLP fC )(10423. 0) 3 200 16 400 ( 1880210 4 . 0 316 4 2 2 1 弧度 EI LaP EI LP B 001.010423.0 4 max m10m1019.5 56 max ff 校核刚度 25 强度：正应力： 剪应力： max z W M z z bI QS * z EI XM v )( 刚度： 稳定性： 都与内力和截面性质有

14、关。 二、提高梁弯曲刚度的主要措施二、提高梁弯曲刚度的主要措施 26 （一）、选择梁的合理截面（一）、选择梁的合理截面 矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比 北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5 英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为 刚度最大。时强度最大时, 3 ;, 2 b h b h R b h 27 一般的合理截面 A Q 3 4 33. 1 mmax 32 3 1 D W z 1 32 2 1.18 6 )( 6 zz W Rbh W mmax 5 . 1 )2/(

15、 ;, 4 1 2 2 1 DRaa D 时当 1 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z D z a a 1.05 12 1 3 2zz I bh I 28 mmax 2 1 4 3 3 75. 2 )0.8-(1 32 zz W D W 1 222 1 67. 1, 4 )8 . 0( 4 DD DDD 时当 11 2 1 2 1 2,2 4 Daa D 时当 1 3 1 2 4 67. 1 6 4 6 zz W abh W mmax 5 . 1 z D 0.8D a1 2a1 z 59. 4)8 . 01 ( 64 1 4 4 3zz

16、I D I 2.09 12 8 12 z1 4 1 3 4 I abh I z 29 55.9 15zz II )(= 3 . 2 mmax f A Q 工字形截面与框形截面类似。 15 57. 4 zz WW 12 2 2 2 2 2 1 05. 1,6 . 18 . 02 4 Daaa D 时当 0.8a2 a2 1.6a2 2a2 z 30 2 2、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状 G z 如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图： （二）、采用变截面梁（二）、采用变截面梁 最好是等强度梁，即 )( )( )( max xW xM x 若为等强度矩形截面，则高为 )(6

17、 )( b xM xh 同时 )( 5 . 1 max xbh Q 5 . 1)( b Q xh P x 31 EI PL y 3 max 021. 0 EI PL y 3 max 014. 0 EI PL y 3 max 0073 . 0 （三）、合理布置外力（包括支座），使（三）、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。尽可能小。 P L/2L/2 M x + PL/4 P L/43L/4 M x3PL/16 P=qL L/54L/5 对称 M x qL2/10 32 EI qL y 4 max 013.0 EI qL y 4 3 max 107875. 0 EI qL y 4

18、 3 max 10326. 0 M x 8 2 qL q L L/5 q L/5 40 2 qL 50 2 qL M x q L/2L/2 32 2 qL M x 512/9 2 qL 33 Z Y cr I I L GEb （四）、梁的侧向屈曲（四）、梁的侧向屈曲 1.矩形纯弯梁的临界载荷 L M M x y z 34 2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷 L M M x y z h Z Y Z Y Z Y cr I I I I EG I I L E L 2 2 2 2 )( 2 h 由上可见，I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳 的可能性却增大了，这点应引起注意。 35 （五）、选用高强度材料，提高许用应力值（五）、选用高强度材料，提高许用应力值 同类同类材料材料，“E”值相差不多值相差不多，“ jx”相差较大相差较大，故换故换 用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。 不同类材料，不同类材料，E和和G都相差很多（钢都相差很多（钢E= =200GPa , , 铜铜 E= =100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳 定性的目的。但是，改换材料，其定性的目的。但是，改换材料，其