同济高数上册第一章数列的极限q

1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二二 、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三 、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节 数列的极限数列的极限 目录 上页 下页 返回 结束 r 数学语言描述: 一一 、数列极限的定义、数列极限的定义 引例引例. 设有半径为 r 的圆, n A逼近圆面积 S . n 如图所示 , 可知 n An nn r cos sin 2 ),5,4, 3(n 当 n 无限增大时, n A无限逼近 S . ,0,N正整数当 n N 时, SAn 用其内接正 n 边形的面积 总有 刘徽 (刘徽割圆术) 目录 上页 下页 返回 结束 定

2、义定义: 自变量取正整数的函数称为数列,记作)(nfxn 或. n x n x 称为通项(一般项) . 若数列 n x及常数 a 有下列关系 : ,0,N正数当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : a aa )( axa n )(Nn 即),(aUxn )(Nn axn n lim或)(naxn 1N x 2N x axn 则称该数列 n x的极限为 a , 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如, , 1 , 4 3 , 3 2 , 2 1 n n 1 n n xn)(1n , ) 1( , 4 3 , 3 4 , 2 1 ,2 1 n n n

3、n n x n n 1 ) 1( )(1n ,2,8,4,2 n n n x2)(n ,) 1( ,1,1,1 1 n 1 ) 1( n n x 趋势不定 收 敛 发 散 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 已知 , ) 1( n n x n n 证明数列 n x的极限为1. 证证: 1 n x 1 ) 1( n n n n 1 ,0欲使,1 n x即, 1 n 只要 1 n 因此 , 取, 1 N则当Nn 时, 就有 1 ) 1( n n n 故1 ) 1( limlim n n x n n n n 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知, ) 1( ) 1( 2 n x n n

4、证明.0lim n n x 证证: 0 n x 0 ) 1( ) 1( 2 n n 2 ) 1( 1 n1 1 n , ) 1 ,0(欲使,0 n x只要, 1 1 n 即n 取 , 1 1 N则当 Nn 时, 就有,0 n x 故 0 ) 1( ) 1( limlim 2 n x n n n n ,0 1 1 1 nn n x 故也可取 1 N 也可由 2 ) 1( 1 0 n n x . 1 1 N 与 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明说明: 取 1 1 N 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设 ,1q证明等比数列 ,1 12n qqq 证证:0 n x0 1 n q

5、 , ) 1 ,0( 欲使,0 n x只要, 1 n q即 ,lnln) 1(qn亦即 因此 , 取 q N ln ln 1 , 则当 n N 时, 就有 0 1n q 故 0lim 1 n n q . ln ln 1 q n 的极限为0 . 1 n q 目录 上页 下页 返回 结束 2 3ba a b 22 ab n ab ax 二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 证证: 用反证法.axn n lim及,limbxn n 且 . ba 取, 2 ab 因,limaxn n 故存在 N1 , , 2 ab n ax 从而 2 ba n x 同理, 因,limbxn n 故存在 N2 , 使当

6、 n N2 时, 有 2 ba n x 1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 2 ba 2 ab 2 ab 假设 22 ab n ab bx n ba x 22 3ab , 2 ab n bx 从而 2 ba n x 矛盾,因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, ,max 21 NNN 取 故假设不真 ! n x满足的不等式 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明数列),2, 1() 1( 1 nx n n 是发散的. 证证: 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取, 2 1 则存在 N , 2 1 2 1 axa n 但因

7、n x交替取值 1 与1 , ),( 2 1 2 1 aa内, 而此二数不可能同时落在 2 1 a 2 1 a a 长度为 1 的开区间 使当 n N 时, 有 因此该数列发散 . n x 目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界. 证证: 设,limaxn n 取,1,N则当Nn 时, 从而有 n xaaxna1 取 ,max 21N xxxMa1 则有. ),2,1(nMxn 由此证明收敛数列必有界. 说明说明: 此性质反过来不一定成立. 例如, 1 )1( n 虽有界但不收敛 . aaxn)( , 1axn 有 数列 目录 上页 下页 返回 结束 3. 收敛数

8、列具有保号性收敛数列具有保号性. 若,limaxn n 且, 0a, NN则 ,时当Nn 有0 n x )0( )0( 证证: 对 a 0 , 取, 2 a , NN则,时当Nn axn 2 a n x0 2 a a ax 2 a 2 a 推论推论: 若数列从某项起, 0 n x,limaxn n 且 0a则 )0(. )0( (用反证法证明) O 目录 上页 下页 返回 结束 三、极限存在准则三、极限存在准则 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 例如， ),2, 1() 1( 1 nx n n ; 1lim 12 k k x1lim 2 k k x 发散 ! 夹逼准则

9、; 单调有界准则; *柯西审敛准则 . 则原数列一定发散 . 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 目录 上页 下页 返回 结束 azy n n n n limlim)2( 1. 夹逼准则夹逼准则 (准则1) (P50) ),2, 1() 1 (nzxy nnn axn n lim 证证: 由条件 (2) ,0, 1 N 当 1 Nn 时, ayn 当 2 Nn 时, azn 令 ,max 21 NNN 则当Nn 时, 有 ,aya n ,aza n 由条件 (1) nnn zxya a 即,axn故 .limaxn n , 2 N 目录 上页 下页

10、返回 结束 例例5. 证明1 1 2 1 1 lim 222 nnnn n n 证证: 利用夹逼准则 . 1 2 1 1 222 nnnn n 2 2 nn n 2 2 n n 且 lim 2 2 nn n n n n 1 1 lim 1 lim 2 2 n n n 2 1 1 lim n n 1 n n lim 1 2 1 1 222 nnnn 1 由 目录 上页 下页 返回 结束 2. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 ) Mxxxx nn 121 mxxxx nn 121 )(limMaxn n )(limmbxn n n x 1n x M 1 x 2

11、 x x m n x 1n x 1 x 2 x x ( 证明略 ) a b 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设, ),2, 1()1 ( 1 nx n n n 证明数列 n x 极限存在 . (P53P54) 证证: 利用二项式公式 , 有 n n n x)1 ( 1 1 n n 1 ! 12 1 !2 ) 1( n nn 3 1 !3 )2)(1( n nnn n n n nnnn 1 ! ) 1() 1( 11 ) 1( 1 ! 1 nn ) 1( 2 n ) 1( 1 n n )1( 1 !2 1 n )1( 1 !3 1 n )1( 2 n 目录 上页 下页 返回 结束 11

12、n x ) 1( 1 ! 1 nn ) 1( 2 n ) 1( 1 n n )1( 1 !2 1 n )1( 1 !3 1 n )1( 2 n 11 1n x)1( 1 1 !2 1 n )1)(1( 1 2 1 1 !3 1 nn )1()1)(1( 11 2 1 1 ! ) 1( 1 n n nnn 大大 大大 正正 ),2, 1( 1 nxx nn 11)1 ( 1 n n n x !2 1 !3 1 ! 1 n 又 比较可知 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知数列 n x 记此极限为 e , e)1 (lim 1 n n n e 为无理数 , 其值为 5904571828

13、18284. 2e 即 有极限 . 11)1 ( 1 n n n x !2 1 !3 1 ! 1 n 11 2 1 2 2 1 1 2 1 n 又 3 2 1 2 1 1 1 1 n 1 2 1 3 n 内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限 3. 极限存在准则: 夹逼准则 ; 单调有界准则 ; *柯西准则 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子

14、数列. 2. 已知),2, 1(21,1 11 nxxx nn , 求 n n x lim 时, 下述作法是否正确? 说明理由. 设,limaxn n 由递推式两边取极限得 aa211a 不对不对!此处 n n xlim 目录 上页 下页 返回 结束 故极限存在， 备用题备用题 1.1.设 )( 2 1 1 n nn x a xx ),2,1(n ,0a ,0 1 x, 且 求.lim n n x 解：解： 设Axn n lim 则由递推公式有)( 2 1 A a AA aA )( 2 1 1 n nn x a xx n x n x a a n n x x 1 )1( 2 1 2 n x a )1( 2 1 a a 1 数列单调递减有下界， ,0 1 x故axn n lim 利用极限存在准则 ,0 n x 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设, ),2, 1(0iai 证证: 显然, 1 n