2018中考数学专题三 几何证明(共40张PPT)

1、专题三 几何证明 几何证明是平面几何中的一个重要问题几何证明是平面几何中的一个重要问题, ,它对培养它对培养 学生逻辑思维能力有着很大作用学生逻辑思维能力有着很大作用. .几何证明有两种基本几何证明有两种基本 类型类型: :一是平面图形的数量关系一是平面图形的数量关系; ;二是有关平面图形的二是有关平面图形的 位置关系位置关系. .这两类问题常常可以相互转化这两类问题常常可以相互转化, ,如证明平行如证明平行 关系可转化为证明角相等或角互补的问题关系可转化为证明角相等或角互补的问题. . 考点一考点一 证明线段相等或角相等证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本两条线段

2、或两个角相等是平面几何证明中最基本 也是最重要的一种相等关系也是最重要的一种相等关系. .很多其他问题最后都可很多其他问题最后都可 化归为此类问题来证化归为此类问题来证. .证明两条线段或两角相等最常证明两条线段或两角相等最常 用的方法是利用全等三角形的性质用的方法是利用全等三角形的性质, ,其他如线段中垂其他如线段中垂 线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性 质等也经常用到质等也经常用到. . 【示范题【示范题1 1】(2017(2017湖州中考湖州中考) )已知正方形已知正方形ABCDABCD的对的对 角线角线AC,BDAC,BD相交于

3、点相交于点O.O. (1)(1)如图如图1,E,G1,E,G分别是分别是OB,OCOB,OC上的点上的点,CE,CE与与DGDG的延长线相的延长线相 交于点交于点F.F.若若DFCE,DFCE,求证求证:OE=OG.:OE=OG. (2)(2)如图如图2,H2,H是是BCBC上的点上的点, ,过点过点H H作作EHBC,EHBC,交线段交线段OBOB于于 点点E,E,连接连接DHDH交交CECE于点于点F,F,交交OCOC于点于点G.G.若若OE=OG,OE=OG, 求证求证:ODG=OCE;:ODG=OCE; 当当AB=1AB=1时时, ,求求HCHC的长的长. . 【思路点拨】【思路点拨】

4、(1)(1)欲证明欲证明OE=OG,OE=OG,只要证明只要证明DOGDOG COECOE即可即可. . (2)(2)欲证明欲证明ODG=OCE,ODG=OCE,只要证明只要证明ODGODGOCEOCE即即 可可; ; 设设CH=x,CH=x,由由CHECHEDCH,DCH,可得可得 , ,即即HCHC2 2= = EHEHCD,CD,由此构建方程即可解决问题由此构建方程即可解决问题. . EHHC HCCD 【自主解答】【自主解答】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形, , ACBD,OD=OC,DOG=COE=90ACBD,OD=OC,DOG=COE=90, , OEC

5、+OCE=90OEC+OCE=90, , DFCE,OEC+ODG=90DFCE,OEC+ODG=90,ODG=OCE,ODG=OCE, DOGDOGCOE(ASA),OE=OG.COE(ASA),OE=OG. (2)(2)OG=OE,DOG=COE=90OG=OE,DOG=COE=90,OD=OC,OD=OC, ODGODGOCE,ODG=OCE.OCE,ODG=OCE. 设设CH=x,CH=x, 四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,AB=1,AB=1, BH=1-x,DBC=BDC=ACB=45BH=1-x,DBC=BDC=ACB=45, , EHBC,BEH=EBH=45EHB

6、C,BEH=EBH=45,EH=BH=1-x,EH=BH=1-x, ODG=OCE,ODG=OCE, BDC-ODG=ACB-OCE,HDC=ECH,BDC-ODG=ACB-OCE,HDC=ECH, EHBC,EHC=HCD=90EHBC,EHC=HCD=90,CHECHEDCH,DCH, ,HC ,HC2 2=EH=EHCD,xCD,x2 2=(1-x)=(1-x)1,1, 解得解得x= x= 或或 ( (舍弃舍弃),HC= .),HC= . EHHC HCCD 51 2 51 2 51 2 【特别提醒】【特别提醒】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、本题考查了正方形的性质、全

7、等三角形的判定和性质、 相似三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质. .在几何图形中在几何图形中, ,证明线段证明线段 ( (或角或角) )相等的一般思路是证明线段相等的一般思路是证明线段( (或角或角) )所在的三角所在的三角 形全等形全等; ;求线段的长时求线段的长时, ,可构造直角三角形利用勾股定可构造直角三角形利用勾股定 理求解理求解, ,有时利用相似三角形的对应边成比例构造方有时利用相似三角形的对应边成比例构造方 程求解程求解. . 【变式训练】【变式训练】 如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,A=30,A=30,AB,AB的垂直平的垂直平 分线分别交分

8、线分别交AB,ACAB,AC于点于点D,E.D,E. (1)(1)求证求证:AE=2CE.:AE=2CE. (2)(2)求证求证:DE=EC.:DE=EC. 【证明】【证明】(1)(1)连接连接BE,BE, 在在ABCABC中中,C=90,C=90,A=30,A=30, , ABC=90ABC=90-A=60-A=60, , DEDE是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线,AE=BE,AE=BE, ABE=A=30ABE=A=30,CBE=ABC-ABE=30,CBE=ABC-ABE=30, , 在在RtRtBCEBCE中中,BE=2CE,AE=2CE.,BE=2CE,AE=2CE. (2)(2

9、)由由(1)(1)知知CBE=ABE=30CBE=ABE=30, , DEAB,C=90DEAB,C=90, , DE=CE.DE=CE. 【知识归纳】【知识归纳】 1.1.掌握分析、证明几何问题的常用方法掌握分析、证明几何问题的常用方法: : (1)(1)综合法综合法( (由因导果由因导果):):从已知条件出发从已知条件出发, ,通过有关定通过有关定 义、定理、公理的应用义、定理、公理的应用, ,逐步向前推进逐步向前推进, ,直到问题的解直到问题的解 决决. . (2)(2)分析法分析法( (执果索因执果索因):):从命题的结论考虑从命题的结论考虑, ,推敲使其推敲使其 成立需要具备的条件成

10、立需要具备的条件, ,然后再把所需的条件看成要证然后再把所需的条件看成要证 的结论继续推敲的结论继续推敲, ,如此逐步往上逆求如此逐步往上逆求, ,直到已知事实为直到已知事实为 止止. . (3)(3)两头凑法两头凑法: :将分析与综合法合并使用将分析与综合法合并使用, ,比较起来比较起来, ,分分 析法利于思考析法利于思考, ,综合法易于表达综合法易于表达, ,因此因此, ,在实际思考问在实际思考问 题时题时, ,可合并使用可合并使用, ,灵活处理灵活处理, ,以利于缩短题设与结论以利于缩短题设与结论 的距离的距离, ,最后达到证明目的最后达到证明目的. . 2.2.掌握构造基本图形的方法掌

11、握构造基本图形的方法: :复杂的图形都是由基本复杂的图形都是由基本 图形组成的图形组成的, ,因此要善于将复杂图形分解成基本图形因此要善于将复杂图形分解成基本图形. . 在更多时候需要构造基本图形在更多时候需要构造基本图形, ,在构造基本图形时往在构造基本图形时往 往需要添加辅助线往需要添加辅助线, ,以达到集中条件、转化问题的目以达到集中条件、转化问题的目 的的. . 考点二考点二 证明直线平行或垂直证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中在两条直线的位置关系中, ,平行与垂直是两种特平行与垂直是两种特 殊的位置殊的位置. .证两直线平行证两直线平行, ,可用同位角、内错角或同旁可用同位角

12、、内错角或同旁 内角的关系来证内角的关系来证, ,也可通过边对应成比例、三角形中也可通过边对应成比例、三角形中 位线定理证明位线定理证明. .证两条直线垂直证两条直线垂直, ,可转化为证一个角等可转化为证一个角等 于于9090, ,或利用两个锐角互余或利用两个锐角互余, ,或等腰三角形或等腰三角形“三线合三线合 一一”来证来证. . 【示范题【示范题2 2】(2017(2017南充中考南充中考) )如图如图, ,在正方形在正方形ABCDABCD 中中, ,点点E,GE,G分别是边分别是边AD,BCAD,BC的中点的中点,AF= AB.,AF= AB. (1)(1)求证求证:EFAG.:EFAG

13、. 1 4 (2)(2)若点若点F,GF,G分别在射线分别在射线AB,BCAB,BC上同时向右、向上运动上同时向右、向上运动, , 点点G G运动速度是点运动速度是点F F运动速度的运动速度的2 2倍倍,EFAG,EFAG是否成立是否成立 ( (只写结果只写结果, ,不需说明理由不需说明理由)?)? (3)(3)正方形正方形ABCDABCD的边长为的边长为4,P4,P是正方形是正方形ABCDABCD内一点内一点, ,当当 S S PABPAB=S =S OABOAB时 时, ,求求PABPAB周长的最小值周长的最小值. . 【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)由正方形的性质得出由正方形的性质得

14、出AD=AB,AD=AB,EAF=EAF= ABG=90ABG=90, ,证出证出 , ,得出得出AEFAEFBAG,BAG,由相由相 似三角形的性质得出似三角形的性质得出AEF=AEF=BAG,BAG,再由角的互余关系再由角的互余关系 和三角形内角和定理证出和三角形内角和定理证出AOE=90AOE=90即可即可. . AFBG AEBA (2)(2)证明证明AEFAEFBAG,BAG,得出得出AEF=BAG,AEF=BAG,再由角的互再由角的互 余关系和三角形内角和定理即可得出结论余关系和三角形内角和定理即可得出结论. . (3)(3)过点过点O O作作MNAB,MNAB,交交ADAD于点于

15、点M,M,交交BCBC于点于点N,N,则则MNAD,MNAD, MN=AB=4,MN=AB=4,由三角形的面积关系得出点由三角形的面积关系得出点P P在线段在线段MNMN上上, ,当当 P P为为MNMN的中点时的中点时, ,PABPAB的周长最小的周长最小, ,此时此时PA=PB,PM=PA=PB,PM= MN=2, MN=2,连接连接EG,EG,则则EGAB,EG=AB=4,EGAB,EG=AB=4,证明证明AOFAOF GOE,GOE,得出得出 , ,证出证出 , ,得出得出AM=AM= AE= , AE= ,由勾股定理求出由勾股定理求出PA,PA,即可得出答案即可得出答案. . 1 2

16、 OFAF1 OEEG4 AMOF1 EMOE4 1 5 2 5 【自主解答】【自主解答】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形, , AD=AB,EAF=ABG=90AD=AB,EAF=ABG=90, , 点点E,GE,G分别是边分别是边AD,BCAD,BC的中点的中点,AF= AB.,AF= AB. AEFAEFBAG,AEF=BAG,BAG,AEF=BAG, BAG+EAO=90BAG+EAO=90,AEF+EAO=90,AEF+EAO=90, , AOE=90AOE=90,EFAG.,EFAG. 1 4 AF1 BG1AFBG , AE2 AB2AEBA ， (2)(

17、2)成立成立. .理由如下理由如下: : 根据题意得根据题意得: : 又又EAF=ABG,EAF=ABG,AEFAEFBAG,BAG, AEF=BAG,AEF=BAG, BAG+EAO=90BAG+EAO=90,AEF+EAO=90,AEF+EAO=90, , AOE=90AOE=90,EFAG.,EFAG. AF1 BG2 ， AE1AFAE AB2BGAB ， (3)(3)过点过点O O作作MNAB,MNAB,交交ADAD于点于点M,M,交交BCBC于点于点N,N,如图所示如图所示, , 则则MNAD,MN=AB=4,MNAD,MN=AB=4, PP是正方形是正方形ABCDABCD内一点内

18、一点,S,S PABPAB=S =S OABOAB, , 点点P P在线段在线段MNMN上上, ,当当P P为为MNMN的中点时的中点时, ,PABPAB的周长最的周长最 小小, ,此时此时PA=PB,PM= MN=2,PA=PB,PM= MN=2, 1 2 连接连接EG,PA,PB,EG,PA,PB,则则EGAB,EG=AB=4,EGAB,EG=AB=4, AOFAOFGOE,GOE, MNAB,MNAB, 由勾股定理得由勾股定理得:PA=:PA= PABPAB周长的最小值周长的最小值=2PA+AB=2PA+AB= OFAF1 OEEG4 ， AMOF1 EMOE4 ， 112 AMAE2

19、555 ， 22 2 26 PMAM 5 ， 4 26 4 5 【特别提醒】【特别提醒】 本题是四边形的综合题目本题是四边形的综合题目, ,考查了正方形的性质、相考查了正方形的性质、相 似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定 理、直角三角形的性质等知识理、直角三角形的性质等知识, ,证明三角形相似是解证明三角形相似是解 决问题的关键决问题的关键. . 【变式训练】【变式训练】 如图所示如图所示, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中,A=C=90,A=C=90,BE,DF,BE,DF分别分别 平分平分ABC,ADC.ABC,ADC.判断判

20、断BE,DFBE,DF是否平行是否平行, ,并说明理由并说明理由. . 【解析】【解析】BEDF.BEDF.理由如下理由如下: : A=C=90A=C=90,ABC+ADC=180,ABC+ADC=180. . BEBE平分平分ABC,DFABC,DF平分平分ADC,ADC, 1=2= ABC,3=4= ADC.1=2= ABC,3=4= ADC. 2+4= (ABC+ADC)= 2+4= (ABC+ADC)= 180180=90=90. . 又又1+CEB=901+CEB=90,4=CEB.BEDF.,4=CEB.BEDF. 1 2 1 2 1 2 1 2 考点三考点三 证明线段和差的问题证

21、明线段和差的问题 【示范题【示范题3 3】如图如图, ,正方形正方形ABCDABCD中中,E,F,E,F分别在分别在BC,DCBC,DC上上, , 且且EAF=45EAF=45. .试说明试说明:BE+DF=EF.:BE+DF=EF. 【思路点拨】【思路点拨】把把ABEABE逆时针旋转逆时针旋转9090得到得到ADG,ADG,根根 据旋转的性质可得据旋转的性质可得BE=GD,AE=AG,BE=GD,AE=AG,再根据再根据EAF=45EAF=45求求 出出FAG=45FAG=45, ,然后证明然后证明AEFAEF与与AGFAGF全等全等, ,根据全等根据全等 三角形对应边相等可得三角形对应边相

22、等可得EF=GF,EF=GF,即即EF=GD+FD,EF=GD+FD,即可证明即可证明 EF=BE+DF.EF=BE+DF. 【自主解答】【自主解答】如图如图, ,把把ABEABE逆时针旋转逆时针旋转9090得到得到 ADG,ADG, BE=GD,AE=AG,BE=GD,AE=AG, EAF=45EAF=45, , FAG=90FAG=90-45-45=45=45, , EAF=FAG,EAF=FAG, 在在AEFAEF和和AGFAGF中中, , AEFAEFAGF(SAS),AGF(SAS), EF=GF,EF=GF, 即即EF=GD+DF,EF=GD+DF, BE+DF=EF.BE+DF=EF. AEAG, EAFFAG AFAF, ， 【特别提醒】【特别提醒】 本题考查了正方形四边均相等本题考查了正方形四边均相等, ,且各内角均为直角的且各内角均为直角的 性质性质, ,考查了全等三角形的证明考查了全等三角形的证明, ,本题把本题把ABEABE逆时针逆时针 旋转旋转9090, ,构建全等三角形构建全等三角形AEFAEF与与AGFAGF是解题的关是解题的关 键键. . 【变式训练】【变式训练】 如图如图, ,已知正方形已知正方形ABCDABCD中中, ,对角线对角线AC,BDAC,BD交于交于O O点点