勾股定理与方程完整版

1、 B C A 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 a b c 22 abc 2 勾股定理的常见表达式和变形式勾股定理的常见表达式和变形式 在直角三角中，如果已知两边的长，在直角三角中，如果已知两边的长， 利用勾股定理就可以求第三边的长；利用勾股定理就可以求第三边的长； 那么如果已知一条边长及另两边的那么如果已知一条边长及另两边的 数量关系，能否求各边长呢？数量关系，能否求各边长呢？ 感受感受新知新知1 （二）例题（二）例题 【问题问题1】如何在实际问题中，利用勾股定理解决问题呢？如何在实际问题中，利用勾股定理解决问题呢？ 例例1 .有一个水池,

2、水面是一个边长为l0尺的 正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出 水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的 中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的 深度与这根芦苇的长度分别是多少? 例例1 .有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中 央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的 中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长 度分别是多少? 设计意图：设计意图： 1.能利用勾股定理解决简单的实际问题；能利用勾股定理解决简单的实际问题； 2.通过用代数式、方程等表述数量关系的过程，体通过用代数式、方程等表述数量关系的过程，体 会模型的思想，建立符号意识；会模型

3、的思想，建立符号意识； 3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和 提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的 实际问题，增强应用意识，提高实践能力；实际问题，增强应用意识，提高实践能力； 4.本题是我国古代数学著作本题是我国古代数学著作九章算术九章算术中的问题中的问题 ，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果. 222 x+ x +5 =x+ x=12 + = 13 解：设水深为x尺，则芦苇长为（1）尺， 由勾股定理，得 （1） 芦苇长：12 1 1

4、3 答：水深12尺，芦苇长为尺. X+1 X 5 C B D A 解决与勾股定理有关的实际问题时，先解决与勾股定理有关的实际问题时，先 要抽象出几何图形，从中找出直角三角形，再要抽象出几何图形，从中找出直角三角形，再 设未知数，找出各边的数量关系，最后根据勾设未知数，找出各边的数量关系，最后根据勾 股定理求解股定理求解. 222 x+ x +5 =x+ x=12 + = 13 解：设水深为x尺，则芦苇长为（1）尺， 由勾股定理，得 （1） 芦苇长：12 1 13 答：水深12尺，芦苇长为尺. 小结：小结： X+1 X 5 C B D A E D BC A AB的中垂线的中垂线DE交交BC于点于

5、点D AD=BD BC=3BD+CDAD+CD= 3 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90, AC=1， BC=3. AB的中垂线的中垂线DE交交BC于点于点D, 连结连结AD， 则则AD的长为的长为. x 3-x 感受新知感受新知2 在直角三角形在直角三角形 中（已知两边中（已知两边 的数量关系）的数量关系） 设其中设其中 一边为一边为x 利用勾股定理利用勾股定理 列方程列方程 解解 方方 程程 求各边长求各边长 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线现将直角边沿直线AD 折叠，使点折叠，使点C落在斜边落

6、在斜边AB上的点上的点E，求，求CD 的长的长. C B A D E 6 6 例例 1 解：解：在在RtRtABCABC中中 AC=6cmAC=6cm，BC=8cmBC=8cm AB=10cm AB=10cm 设设CDCDDEDExcmxcm，则，则BDBD（8-x8-x）cmcm 由折叠可知由折叠可知AEAEACAC6cm6cm，CDCDDE,DE, C= C= AED=90AED=90 解得解得x x3 3 CD=DE=3cm CD=DE=3cm BEBE10-610-64cm, 4cm, BED=90BED=90 在在RtRtBDEBDE中中 由勾股定理可得（由勾股定理可得（8-x8-x

7、）2 2 x x2 2+4+42 2 C B A D E 6 6 例例 1 【问题问题2】如果一道题目中有多个直角三角形，我们如如果一道题目中有多个直角三角形，我们如 何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？ 例例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在 同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8， AB=4，求DE的长. E C D A B C 例例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与 AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长. 方法一 222 / / 13 23 1= 2 t +-x=x x=5

8、 5. ABCD ADBC BCDBDBC D BCDBC D BEDE DE 解： 四边形为矩形 沿折叠得到 设DE为x，则BE=x，AE=8-x, 在RABE中，由勾股定理得， 4（8） 答：长为 方法二方法二 490 4=90 90 4= 5 ABCD CDABAC BCDBDBC D BCDBC D C DCDCC AEBC ED AC ABC D AEBC ED BEDE 解： 四边形为矩形 ， 沿折叠得到 ， 在和中 222 t +-x=x x=5 5.DE 设DE为x，则BE=x，AE=8-x, 在RABE中，由勾股定理得， 4（8 ） 答：长为 例例2.已知矩形ABCD沿直线B

9、D折叠，使点C落在同一 平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求 DE的长. E C D A B C 1.如果一道题目中有多个直角三角形，要选择能够用如果一道题目中有多个直角三角形，要选择能够用 一个未知数表示出三条边的直角三角形（边也可为常一个未知数表示出三条边的直角三角形（边也可为常 数），在这个三角形中利用勾股定理求解数），在这个三角形中利用勾股定理求解. 2.解决折叠问题的关键：在动、静的转化中找出不变量解决折叠问题的关键：在动、静的转化中找出不变量. 小结： 例例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一 平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，

10、求 DE的长. E C D A B C注意： 1.基本图形：基本图形：“平行、角平分线、等腰三角形平行、角平分线、等腰三角形”知二推一知二推一 2.折叠问题：折叠图形前后两个图形全等，最好折叠问题：折叠图形前后两个图形全等，最好 在图中标出相等的线段和角在图中标出相等的线段和角. 练习练习 思考思考1 1、如图，铁路上、如图，铁路上A，B两点相距两点相距25km，C，D为为 两村庄，两村庄，DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路，现在要在铁路AB上上 建一个土特产品收购站建一个土特产品收购站E，使得，使得C，D两村到两村到 E站的距离相等，则站

11、的距离相等，则E站应建在离站应建在离A站多少站多少km 处？处？C A E B D 解：解： 设设AE= x km，则，则 BE=（25-x）km 根据勾股定理，得根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2 即：即：152+x2=102+（25-x）2 x=10 答：答：E站应建在离站应建在离A站站10km处。处。 x 25-x C A E B D 1510 思考思考1 在一棵树在一棵树BD的的5m高高A处有两只处有两只 小猴子，其中一只猴子爬到树顶小猴子，其中一只猴子爬到树顶D 后跳到离树后跳到离树10m的地面的地面C

12、处，另外处，另外 一只猴子爬下树后恰好也走到地一只猴子爬下树后恰好也走到地 面面C处，如果两个猴子经过的距离处，如果两个猴子经过的距离 相等，问这棵树有多高？相等，问这棵树有多高？ A B C D 5m 10m 思考思考2 A B C D 解：如图，解：如图，D为树顶，为树顶，AB=5 m,BC=10 m. 设设AD长为长为x m，则树高为，则树高为(x+5)m. AD + DC = AB + BC, DC = 10 + 5 x = 15 - x. 在在RtABC中，根据勾股定理得中，根据勾股定理得 解得解得x=2.5 答：树高为答：树高为7.5米。米。 5m 10m x+5=2.5+5=7.

13、5 10 2+ (5 + x )2= (15 x)2 思考思考2 例例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14， BC=6，求ABC的面积. 【问题问题3】如果题目中既没有直角三角形，也没有如果题目中既没有直角三角形，也没有 直角，怎么利用勾股定理求解？直角，怎么利用勾股定理求解？ A B C 设计意图：设计意图： 经历对几何图形的观察、分析，初步掌握经历对几何图形的观察、分析，初步掌握 利用分割图形构造直角三角形的方法，了解特利用分割图形构造直角三角形的方法，了解特 殊与一般的转化思想殊与一般的转化思想; 例例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求ABC

14、的面积. 22222 2222 22 14(16)6 3 633 3 11 16 3 324 3 22 24 3. ABC ADCDBCDB CD SAB CD 解：作CDAB于D，设DB=x， 则AD=16-x，由勾股定理得， AC xx x 答： ABC的面积为 方法一： DA B C 例例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求ABC的面积. 方法二： 222 222 2222 14(16) = 6= 14(16)6 +=0 =3 解：作CDAB于D， 设DB=x，CD=y，则AD=16-x， 由勾股定理得， xy （1） xy（2） （1） （2），得 xx

15、x 222 2 =3 6= =27 =3 3=3 3 1 2 1 16 3 324 3 2 24 3. ABC SAB CD 把x代入（2）得， 3y y y或y（舍去） 答： ABC的面积为 DA B C 例例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求ABC的面积. 小结小结： 1.题目中既没有直角三角形，也没有直角，可题目中既没有直角三角形，也没有直角，可 考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直 角三角形角三角形; 2. “斜化直斜化直”即：斜三角形化为直角三角形求解即：斜三角形化为直角三角形求解. DA B C 例例3.

16、已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求ABC的面积. 注意： 1.本题可选择列方程或方程组求解，当列方程本题可选择列方程或方程组求解，当列方程 组求解时，要注意开平方时，是两种情况，要组求解时，要注意开平方时，是两种情况，要 舍去负值；当列方程求解舍去负值；当列方程求解CD时，最好写时，最好写“ ”，可以省去后面的讨论，可以省去后面的讨论; CD 2.本题也可以过本题也可以过A或或B作对边的高作对边的高. DA B C 120 3 35 3 ABCABAD BCCDABCD 例4.一块四边形的土地，其中， ，求这块土地的面积. 【问题问题4】如果题目中没有直角三角形，但存

17、在直角，如果题目中没有直角三角形，但存在直角， 怎么利用勾股定理求解？怎么利用勾股定理求解？ D C B A 设计意图：设计意图： 120 3 3 5 3 ABC ABADBCCDAB CD 例4.一块四边形的土地，其中， ， ，求这块土地的面积. 【问题问题4】如果题目中没有直角三角形，但存在直角， 怎么利用勾股定理求解？ D C B A 1.经历对几何图形的观察、分析，初步掌握利用经历对几何图形的观察、分析，初步掌握利用“补补” 图形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的转图形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的转 化思想化思想; 2.题目中设置的已知量并不是整数，意在增强学生题目中设置

18、的已知量并不是整数，意在增强学生 的计算能力的计算能力. 120 3 3 5 3 ABC ABADBCCDAB CD 例4.一块四边形的土地，其中， ， ，求这块土地的面积. D C B A 120 3 3 5 3 ABC ABADBCCDAB CD 例4.一块四边形的土地，其中， ， ，求这块土地的面积. 小结：小结： 题目中没有直角三角形，但存在直角题目中没有直角三角形，但存在直角 ，可以考虑，可以考虑“补补”出直角三角形求解出直角三角形求解.实际上实际上 ，本题利用，本题利用“割割”也有多种做法也有多种做法. D C B A 小结： 题目中没有直角三角形，但存在直角题目中没有直角三角形，

19、但存在直角 ，可以考虑，可以考虑“补补”出直角三角形求解出直角三角形求解.实际上实际上 ，本题利用，本题利用“割割”也有多种做法也有多种做法. 120 3 3 5 3 ABC ABADBCCDAB CD 例4.一块四边形的土地，其中， ， ，求这块土地的面积. 注意： 1.本题的解法很多，但是解法上却有的简单，本题的解法很多，但是解法上却有的简单， 有的复杂，要选择好方法有的复杂，要选择好方法; 2.注意不要跳步注意不要跳步.不能直接用结论：不能直接用结论：“含有含有30 的直角三角形的三边的比为：的直角三角形的三边的比为： ”; 如：要求如：要求CE，需先求，需先求DE，再由勾股定理求，再由

20、勾股定理求 CE. 1 32： ： D C B A 【问题5】如果将勾股定理中如果将勾股定理中“直角三角形直角三角形”改改 为为“斜三角形斜三角形”， 的关系会是怎样呢的关系会是怎样呢 ？ 222 abc与 思考题：思考题：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若 C=90，如图，根据勾股定理，则 ， 若ABC不是直角三角形，如图和图，请你类 比勾股定理，试猜想 的关系，并证明你 的结论. 222 =abc 222 abc与 思考题：在思考题：在ABC中，中，BC=a，AC=b，AB=c，若，若C=90，如图，如图，根据，根据 勾股定理，则勾股定理，则 ，若，若ABC不是直角三角形，如图不是直角三角形，如图和图和图，请你，请你 类比勾股定理，试猜想类比勾股定理，试猜想 的关系，并证明你的结论的关系，并证明你的结论. 222 =abc 222 abc与 设计意图：设计意图： 1.从证明方法角度看，通过利用从证明方法角度看，通过利用“割割”、“补补”图形图形 构造直角三角形的方法，得出类似勾股定理的结构造