垂直于弦的直径

1、垂直于弦的直径垂直于弦的直径 复习提问复习提问: 1 1、什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形、什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形? ? 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能 够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、 角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形 2 2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？ 圆是轴对称图形，经过圆心的每圆是轴对称图形，经过圆心的每 一条直线都是它们的对称轴一条直线都是它们的对

2、称轴 . 探究活动 做一做：做一做：如何迅速确定圆纸片的圆心。如何迅速确定圆纸片的圆心。 为什么？为什么？ 圆是轴对称图形圆是轴对称图形, , 经过圆心的每一经过圆心的每一 条直线都是它的条直线都是它的 对称轴对称轴. . O C AB D 在在 O中，直径中，直径ABCD，图，图 中有那些相等的量？中有那些相等的量？ 探究活动 为什么为什么? A B E D C O 在在 O中，如果中，如果ABCD，CD是直径。是直径。 图中有那些相等的量？为什么图中有那些相等的量？为什么? 探究活动探究活动 AE=BE AC BC = AD BD = 在在 O中中CD是直径是直径 CDAB于于E 已知：在

3、已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB，垂，垂 足为足为E（如图）。（如图）。 求证：求证：AE=BE ， ， AC BC= AD BD.= , O C D EBA 证明：证明： 连结连结OA、OB， OAOB,CDAB 直径直径CD所在的直线既是等腰所在的直线既是等腰 三角形三角形OAB的对称轴，又是的对称轴，又是 O 的对称轴的对称轴. 则则A点与点与B点重合，点重合，AE 和和BE重合，重合， AC BC 和和 AD BD 和和 也重合也重合. AE=BE ， ， AC BC= AD BD.= , 垂径定理垂径定理: : 垂直于弦的直径平垂直于弦的直径平 分这条

4、弦分这条弦, ,并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧. . O C D EBA AE=BE AC BC = AD BD = 在在 O中中CD是直径是直径 CDAB于于E C B O E A O E B A 如图，在如图，在 O中，中，OEAB于于E. 图（图（1）中，）中，AE=BE吗？为什么？吗？为什么？ 探究活动 （1） （2） 图（图（2）中，）中，AE=BE 吗？吗？ 为什么？为什么？ AC BC = 垂径定理垂径定理: : 经过圆心的一条直经过圆心的一条直 线或线段线或线段 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 平分这条弦平分这条弦, ,并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条

5、弧. . D O C D EBA AE=BE AC BC = AD BD = 在在 O中中CD是直径是直径 CDAB于于E O B A C D E O B A E C D ( )( ) 探究活动 如图，如图，AE=BE AC BC = AD BD =吗？为什么？吗？为什么？ O E B A O E A 将圆的有关问题将圆的有关问题 转化为解直角三转化为解直角三 角形的问题角形的问题 例例1. 如图如图,已知在已知在 O中中,弦弦AB的长为的长为8cm, 圆心圆心O到到AB的距离为的距离为3cm,求求 O的的 半径半径. 4 3 练一练：练一练： 圆的半径为r、圆心到弦的 距离d、弦长a之间的关

6、系式： 2 22 2 a dr 结结 论论 1 1半径为半径为4cm4cm的的OO中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。 2 2 OO的直径为的直径为10cm10cm，圆心，圆心O O到弦到弦ABAB的的 距离为距离为3cm3cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是 。 3 3半径为半径为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。 cm32 cm32 8cm A AB B O O E E A A B B O O E E O O A AB B E E 练练 习习 O A BCD

7、例例2. 如图如图,在以在以O为圆心的两个同心圆中为圆心的两个同心圆中, 大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C、D两点两点. 求证求证:AC=BD E 证明：过证明：过O作作OEAB于于E，则，则 AE=BE，CE=DE AECE=BEDE AC=BD 实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的 线段线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了就可以利用垂径定理来解决有关问题了. O A B CD 例例2. 如图如图,在以在以O为圆心的两个同心圆中为圆心的两个同心圆中, 大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C、D两点两点. 求证求证:AC=BD 图形变为下列图形

8、图形变为下列图形 时，还有时，还有AC=BDAC=BD吗？吗？ 为什么？为什么？ O A B C D E 证明：过证明：过O作作OEAB于于E，则，则 AE=BE，CE=DE AE+CE=BE+DE AC=BD A B O 650 600 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些 油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度. 思考与讨论思考与讨论 AB O E )( 2 650 mmOB D )( 2 600 mmEB 油的最大深度油的最大深度ED=ODOE=200(mm) 或者油的最大深度或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm). (1) 在直径为在直径为650mm650mm的

9、圆柱形油槽内装入一些的圆柱形油槽内装入一些 油后油后, ,油面宽油面宽AB=600mm,AB=600mm,求油的最大深度。求油的最大深度。 22 EBOBOE OE=125(mm) (2) BA O E D 解：解： 数学来源于生活数学来源于生活. 服务于生活服务于生活. 小结：小结： 圆是轴对称图形圆是轴对称图形, ,经过圆心的每一条直经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴线都是它的对称轴. . 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, , 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. . 垂径定理垂径定理: : 在解决有关圆的问题时，可以利用在解决有关圆的问题时，可以利用 垂径定

10、理将其转化为垂径定理将其转化为解直角三角形解直角三角形 的问题的问题 。 问题与思考问题与思考 如果将垂径定理条件中的如果将垂径定理条件中的 AB CD与结论中的与结论中的 AE=BE交换，即交换，即 在在 O中，中，CD是直径，是直径， AB是弦，是弦，CD交交AB于于E. 如果如果 AE=BE . 那么，那么，AEBE， AC BC= AD BD=, 成立吗成立吗?为什么？为什么？ D O C D EBA . 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分 弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。 题设题设结论结论 （1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直

11、于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 （3） （4） （2） （1） （5） （1） （4） （3） （2） （5） 讨论讨论 （3） （1） （2） （4） （5） （2） （3） （1） （4） （5） （1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平分弦所对优弧）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对

12、）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧 命题命题(1)平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧条弧 已知已知:CD是直径是直径,AB是弦是弦,并且并且CD平分平分AB 求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC B .O A E D C 命题命题(2)弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧 已知已知:AB是弦是弦,CD平分

13、平分AB,CD AB 求证：求证：CD是直径，是直径， ADBD，ACBC 命题命题(3):平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平垂直平 分弦分弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧 已知：已知：CD是直径是直径,AB是弦是弦,并且并且ADBD (ACBC)求证：求证：CD平分平分AB，ACBC (ADBD),CD AB 推论（推论（1） （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于）平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 （2） （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦所对的一条弧的直径，垂直 平分弦，并且平分弦所对和的另

14、一条弧平分弦，并且平分弦所对和的另一条弧 垂直于弦的直径平分这条弦，垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 (1)平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平弦的垂直平分线经过圆心，并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧 (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦所对的一条弧的直径，垂直 平分弦，并且平分弦所对的另一条弧平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 垂径定理垂径定理 记忆记忆 推推 论论 1 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和根据垂径定理与推论可知对

15、于一个圆和 一条直线来说。如果具备一条直线来说。如果具备 （1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以上述五个条件中的任何两个条件都可以 推出其他三个结论推出其他三个结论 注意注意 判断判断 （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧弧.( ) （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心经过圆心.( ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆的不与

16、直径垂直的弦必不被这条直径平 分分.( ) （4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧两条弧( ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ） 例例1 如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦 AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB 的距离为的距离为3厘米，求厘米，求 O的半径的半径. 解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米。厘米。 . A E B O 讲解讲解 例例2 已知：如图，在以已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D 两点。两点。 求证：求证：ACBD。 证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，所以，ACBD E . A CD B O 讲解讲解 例例3 已知：已知： O中弦中弦ABCD。 求证：求证：ACBD 证明：作直径证明：作直径MNAB。 ABCD，MNCD。 则则AMBM，CMDM（垂直平分（垂直平分 弦的直径平分弦所