二阶行列式PPT学习教案

1、会计学1 二阶行列式二阶行列式 问题提纲问题提纲 1、如何引出二阶行列式？、如何引出二阶行列式？ 2、二阶行列式是什么？、二阶行列式是什么？ 3、如何计算二阶行列式的值？、如何计算二阶行列式的值？ 4、二阶行列式在解决二元一次线性方程组中的作用？、二阶行列式在解决二元一次线性方程组中的作用？ 第1页/共18页 一、引入：一、引入： 给出一个二元一次方程组：给出一个二元一次方程组： （A） 111 222 a xb yc a xb yc （其中（其中 1 22 1 0aba b ） 用加减消元法解这个方程组用加减消元法解这个方程组 解得解得 当当 1 22 1 0aba b 时方程组有唯一解时方

2、程组有唯一解 1 22 1 1 22 1 1 22 1 1 22 1 cbc b x aba b a ca c y aba b 观察方程组解的表达式，观察方程组解的表达式， 发现解的分子分母都是两数乘积的差。如分母：发现解的分子分母都是两数乘积的差。如分母： 1 2 2 1 a ba b 第2页/共18页 二、定义概念二、定义概念 ：二阶行列式：二阶行列式 （1）定义：）定义： 11 22 ab ab 称之为行列式称之为行列式 因为它有两行两列，所以称之为二阶行列式因为它有两行两列，所以称之为二阶行列式 且规定且规定 11 22 ab ab 1 22 1 aba b 其中其中 1 22 1 a

3、ba b 叫做叫做行列式的展开式行列式的展开式； 1212 ,a a b b叫做行列式的元素叫做行列式的元素 *二阶行列式就是表示四个数或式的特定算式的一种记号二阶行列式就是表示四个数或式的特定算式的一种记号 （2）二阶行列式的表示符号：）二阶行列式的表示符号：一般用大写字母表示一般用大写字母表示 第3页/共18页 （2）二阶行列式的）二阶行列式的运算规则运算规则 12 ,a b 21 ,a b 我们把我们把（主对角线）和（主对角线）和 （副对角线）分别用（副对角线）分别用 两条对角线连接两条对角线连接 用主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积用主对角线上的两个数的乘积减去副对角

4、线上的两个数的乘积 即为行列式的值。即为行列式的值。 利用对角线把二阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做利用对角线把二阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做 二阶行列式展开的对角线法则。二阶行列式展开的对角线法则。 由此我们得到：由此我们得到： （1）由二阶行列式的计算法则，任何一个二阶行列式都可以表示成）由二阶行列式的计算法则，任何一个二阶行列式都可以表示成 乘积差的形式，进而计算出它的值乘积差的形式，进而计算出它的值 （2）由二阶行列式的计算法则，任何两个乘积差的形式都可以表示）由二阶行列式的计算法则，任何两个乘积差的形式都可以表示 成一个二阶行列式。成一个二阶行列式。 第4页/共18页 三

5、、习题讲练：三、习题讲练： 例例1：展开并化简下列行列式：展开并化简下列行列式： 51 82 （1） 15 82 （ 2） （3） cossin sincos （4） 2 11 11 a aa 第5页/共18页 例例2：将下列各式用行列式表示：将下列各式用行列式表示： （1） 2 4bac （2） 241xx 解：解： 2 4 (1)44 ba bacb ba c cb 2 (2)41xx(41) ( 1)xxx 41 1 xx x 讨论：你还能有哪些不同的写法？讨论：你还能有哪些不同的写法？ 结论结论：式子的分解不唯一，即使分解成相同的形式，：式子的分解不唯一，即使分解成相同的形式， 行列式

6、的写法也可以有不同的组合。行列式的写法也可以有不同的组合。 第6页/共18页 第7页/共18页 例例1：解下列二元一次方程组：解下列二元一次方程组： （1） 231 232 xy xy （2） 2310 4620 xy xy 注意注意:1、正确写出行列式、正确写出行列式D、 2、把方程组写成标准形式、把方程组写成标准形式 , xy D D (二）讨论二元一次方程组的解的情况二）讨论二元一次方程组的解的情况 问题问题（1）请说出两个方程组的解的情况）请说出两个方程组的解的情况 （2）请考察各个行列式的情况）请考察各个行列式的情况 第8页/共18页 问题：问题：当当 方程组（方程组（A）的解）的解

7、 的情况如何的情况如何? 0D 给出一个二元一次方程组：给出一个二元一次方程组： （A） 应转化为方程组应转化为方程组 111 222 a xb yc a xb yc x y DxD DyD （三）作为判别式的二阶行列式（三）作为判别式的二阶行列式 D D y D D x A0D)( y x ）有唯一解时，方程组（当i 讨论二元一次方程组的解的情况讨论二元一次方程组的解的情况 第9页/共18页 （ii)在在D=0的情况下讨论转化的方的情况下讨论转化的方 程组程组 解的情况。解的情况。 x y DxD DyD （1）如果）如果 中至少有一个不为中至少有一个不为 零，不妨设零，不妨设 则无论则无论

8、x取何值，取何值， 方程方程 都不成立，即都不成立，即x无解无解 从而方程组从而方程组(A) 无解。无解。 , xy D D 0 x D x DxD （2）如果）如果 显然在方程显然在方程 中，由于中，由于 从而从而x可取任意实数可取任意实数 再由再由 x的值代入方程求出相应的的值代入方程求出相应的 y值，所值，所 以方程组有无穷解。以方程组有无穷解。 0 xy D D x DxD 0 x DD 第10页/共18页 由以上讨论，我们得到结论：由以上讨论，我们得到结论： 当当 时且时且 中至少有一个中至少有一个 不为零，则方程组无解；不为零，则方程组无解； 0D, xy DD 当当D= 时，方程

9、组有无穷解。时，方程组有无穷解。 0 xy DD 当当 时方程组（时方程组（A）有唯一解）有唯一解 ； 0D 第11页/共18页 方程组（方程组（A）有解情况主要取决于）有解情况主要取决于 D，那么，那么 是方程组是方程组A有唯一解的有唯一解的 条件条件 。 把叫做方程组解的判别式。把叫做方程组解的判别式。 0D 例、判断二元一次方程组解的情况：例、判断二元一次方程组解的情况： 435 8622 xy xy （1） 第12页/共18页 463 695 xy xy （2） 326 2 2 3 xy xy （3） 注意：若则方程组无解，注意：若则方程组无解， 不必再考虑是否为零不必再考虑是否为零

10、。 0,0 x DD y D 若，则必须再考虑是若，则必须再考虑是 否为零，由此判断方程组解的情况。否为零，由此判断方程组解的情况。 0 x D D y D 第13页/共18页 例例2：解关于：解关于x,y的二元一次方程组，并对解的情的二元一次方程组，并对解的情 况进行讨论：况进行讨论： 42mxym xmym 2 4 4(2)(2) 1 m Dmmm m 解：解： )2(4)2( 42 mmmmm mm m Dx )2)(1()2( 1 2 2 mmmm m mm Dy 第14页/共18页 2m 1m y 2m m x 0D2m) 1 ( ，原方程组有唯一解时，当 原方程组无解。，时，当0,

11、8D0D2m)2( x 22yx 22yx , 0DDD2m)3( yx 这时原方程组为 原方程组有无穷多解，时，当 )Rt ( 2 t2 y tx ),Rt ( tx 为则原方程组的解可表示令 先讨论系数行列式不为先讨论系数行列式不为0的情况，的情况， 再讨论系数行列式为再讨论系数行列式为0的情况的情况 第15页/共18页 解本题要注意的几点：解本题要注意的几点： 注意讨论的条理性：注意讨论的条理性：（）（）（ 从而得到唯一解从而得到唯一解 ； （）再分别讨论（）再分别讨论 （m=2,m=-2)的两种情况的两种情况 . 注意当方程组有无穷解时，正确书写注意当方程组有无穷解时，正确书写 解解 的一般表达式。的一般表达式。 0D 0