2016年黄浦区高考数学二模试卷含答案

1、2016年黄浦区高考数学二模试卷含答案 2016.04.13 一、填空题（共56分） 1、已知集合12,3,1?mA，集合,32mB?，若AB?，则实数_?m 2 、计算：_2313lim1?nnnn 3 、函数1)(3?xxf的反函数_)(1?xf 4、函数2)cos(sin)(xxxf?的最小正周期为_ 5、（理）在极坐标系中，直线1)sin2(cos?与直线1sin?的夹角大小为_（结果用反三角函数值表示） （文）直线210xy?与直线1y?的夹角为_（结果用反三角函数值表示） 6、已知菱形ABCD ，若3,1|?AAB，则向量?AC在?AB上的投影为_ 7、已知一个凸多面体的平面展开图

2、由两个正六边形和六个正方形构成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积_?V 8、 已知函数)1lg()(23xxxxf?，若)(xf的定义域中的ba,满足3)()(3)()(?bfafbfaf，则_)()(?bfaf 9、 （理）在代数式52211)524(?xxx的展开式中，常数等于_ （文）数列na中，若13a? ，1nnaa?*()nN?，则na的通项公式na?_ 10、（理）若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则该椭圆的短轴长为_ （文）在代数式52211)524(?xxx的展开式中，常数等于_ 11、（理）有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各3个，

3、在每种颜色的3个小球上分别标上3,2,1；现任取出3个，它们的颜色与均不相同的概率是_（结果用最简分数表示） （文）若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则该椭圆的短轴长为_ 12、（理）设离散型随机变量?可能取的值为3,2,1，)3,2,1(,)(?kbakkP?，若?的 数学期望37?E，则_?ba （文）满足约束条件|2|2xy?的目标函数zyx?的最大值是_ 13、（理）正整数ba,满足ba?1，若关于yx,的方程组?|1|40332bxaxxyxy有且只有一组解，则a的最大值为_ （文）有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各3个，在每种颜色的3个小球上分别标上3,

4、2,1；现任取出3个，它们的颜色与均不相同的概率是_（结果用最简分数表示） 14、（理）数列na中，若,.)3,2,1,22,(,01*21?kiNikaakki，则满足1002?iiaa的i的最小值为_ （文）正整数ba,满足ba?1，若关于yx,的方程组?|1|40332bxaxxyxy有且只有一组解，则a的最大值为_ 二、选择题（共20分） 15、已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为0:,0:22221111?cybxalcybxal那么“02211?baba”是“两直线21,ll平行”的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

5、16、 （理）复数iRmiimz,(1?为虚数单位)在复平面上的点不可能位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （文）若12i?（i为虚数单位）是实系数方程20xbxc?的一个复数根，则（ ） A. 2b?，3c? B. 2b?，5c? C. 2b?，3c? D. 2b?，5c? 17、若ABC?的三条边cba,满足10:9:7)(:)(:)(?accbba，则ABC? （ ） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 18、（理）若函数?)4sin()3sin()2sin()sin

6、(lg)(xxxxxf?的定义域与区间1,0的交集由n个开区间组成，则n的值为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （文）全集=(,)|,UxyxRyR?，集合SU?，若S中的点在直角坐标平面形成的图形关于原点、坐标轴、直线yx?均对称，且(2,3)S?，则S中元素个数至少有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 三、解答题（共74分） 19、（共12分） 如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆形的圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两段的比值为618.0，三只凳脚与地面所成的角

7、均为?60，若CBA,是凳面圆周的三等分点，18?AB厘米，求凳子的高度h及三根细钢管的总长度（精确到01.0）； 20、（第1小题6分，第2小题7分，共13分） 已知函数xbxaxfcossin)(?，其中ba,为非零实常数； （1 ）若24?f，)(xf 的最大值为10，求ba,的值； （2 ）若6,1?xa是)(xf图像的一条对称轴，求0x 的值，使其满足3)(0?xf，且2,00?x； 21、（第1小题6分，第2小题7分，共13分） 已知函数12)(?xxaxfx，其中1?a； （1）证明：函数)(xf在),1(?上为增函数； （2）证明：不存在负实数0x使得0)(0?xf； 22、（

8、第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，共18分） （理）已知数列na的通项公式为)(21knknan?，其中ZkkNn?21*,； （1）试写出一组21,kk的值，使得数列na中的各项均为正数； （2）若*1,1Nkk?，数列nb 满足nabnn?，且对任意的)3(*?mNm，均有mbb?3，写出所有满足条件的2k的值； （3）若21kk?，数列nc满足|nnnaac?，其前n项和为nS，且使0?jicc，),(*jiNji?的i和j有且仅有4组，nSSS,.,21中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求21,kk的最小值； （文） 对于双曲线22(,)22:1abxyCab?(

9、,0)ab?，若点00(,)Pxy 满足2200221xyab?，则称P在的(,)abC外部；若点00(,)Pxy 满足2200221xyab?，则称P在(,)abC的部； （1）证明：直线310xy?上的点都在(1,1)C的外部； （2）若点M的坐标为(0,1)?，点N在(1,1)C的部或(1,1)C上，求|MNuuuur的最小值； （3）若(,)abC过点(2,1)，圆222xyr?(0)r?在(,)abC部及(,)abC上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值围； 23、（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，共18分） （理）对于双曲线)0,0(1:22

10、22),(?babyaxCba，若点),(00yxP 满足1220220?byax，则称P在),(baC的外部；若点),(00yxP 满足1220220?byax，则称P在),(baC的部； （1）若直线1?kxy上的点都在)1,1(C的外部，求k的取值围； （2）若),(baC过点)1,2(，圆)0(222?rryx在),(baC部及),(baC上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求rb,满足的关系式及r的取值围； （3）若曲线)0(1|2?mmxxy上的点都在),(baC的外部，求m的取值围； （文）已知数列na的通项公式为12()()nanknk?，其中12,kkZ?； （1）试写出一

11、组12,kkZ?的值，使得数列na中的各项均为正数； （2）若11k?、*2kN?，数列nb 满足nnabn?，且对任意*mN?(3)m?，均有3mbb?，写出所有满足条件的2k的值； （3）若120kk?，数列nc满足|nnncaa?，其前n项和为nS，且使0ijcc?*(,)ijNij?的i和j有且仅有4组，1S、2S、nS中至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求12,kk的最小值； 黄浦区2016年高考模数学试卷（文理）参考答案 一、填空题(本大题满分56分) 11 2 1 3 33(1)x?，x?R 4? 52 5arccos5 632 73 32 83? 9（理）15（文）1

12、23n? 10 （理）103（文）15 11（理）114 （文）103 12（理）16 （文）2 13（理）2016（文）114 14（理）128（文）2016 二、选择题(本大题满分20分) 15B 16D 17C 18C 三、解答题(本大题满分74分) 19(本题满分12分) 解 联结PO，AO，由题意，PO?平面ABC，因为凳面与地面平行， 所以PAO?就是PA 与平面ABC所成的角，即60PAO?（2分） 在等边三角形ABC中，18AB?，得63AO?， （4分） 在直角三角形PAO中，318OPAO?，（6分） 由0.618OPhOP?，解得47.13h?厘米（9分） 三根细钢管的总

13、长度3163.25 sin60h?厘米（12分） 20(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分 解 （1）因为22()sincos sin()fxaxbxabx?（其 中22sinbab? ，22cosaab?）， 所以( )fx 的最大值为22 ab? 由2210ab?，（2分） 及222422fab ? ，（4分） 解得1a?， 3b?或3a?，1 b?（6分） （2）易知，当 6x?时，取得最大值21b?或最小值21b?， 于是 2 131622fbb?，解得3 b?（8分） 于是()sin3cos2sin()3fxxxx?，（10分） 当()3f x?时，

14、解得2xk?或23xk?（k?Z）（12分） 因为00,2x?，故所求0x的值为0，3?，2?（13分） 21(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分 证明（1）任取121xx? ，1212121222()()11xxxxfxfxaaxx? 121212121212223()()()11(1)(1)xxxxxxxxaaaaxxxx?（3分） 因为121xx?，1a?，所以12xxaa?，110x?，210x?，120xx?， 于是120xxaa? ，12123()0(1)(1)xxxx?，得12()()0fxfx?，即12()()fxfx? 因此，函数()fx在(

15、1,)?上为增函数（6分） （2）（反证法）若存在负实数0x（01x?），使得0()0fx? ，即方程201xxax?有负实数根（8分） 对于21xxax?，当00x?且01x?时，因为1a? ，所以0110,1xaaa?U，（10分） 而000231(,1)(2,)11xxx?U（13分） 因此，不存在负实数0x 使得21xxax?，得证 22(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 （理）解（1）11k?、22k?（答案不唯一）（4分） （2 ）由题设，22(1)nnakbnknn?（6分） 当21k?，2 时，2()kfnnn?均单调递增，

16、不合题意，因此，23k 当23k 时，对于2()kfnnn? ，当2nk时，()fn 单调递减；当2nk时，()fn单调递增 由题设，有123bbb?，34bb?L（8分） 于是由23bb?及43bb?，可解得2612k? 因此，2k的值为7，8，9，10，11（10分） （3）2,0,|0,0.nnnnnnaacaaa? 其中2121212()()()nanknknkknkk?，且12kk? 当120kk?时，na各项均为正数，且单调递增，2nnca?，也单调递增，不合题意； 当120kk?时，222,0,.nnankcnk? 不合题意；（12分） 于是，有120kk?，此时12122,0,

17、.nnankornkcknk?（14分） 因为0ijcc?（i、*j?N，ij?），所以i、12(,)jkk? 于是由212121222()()2()nncanknknkknkk? ，可得1222kkij?，进一步得120ikkj?，此时，i的四个值为1，2，3，4，因此，1k的最小值为5（16分） 又1S、2S、nS中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等， 不妨设+1+2=mmmSSS?L，于是有+1+2=0mmcc?L， 因为当12knk时，0nc?，所以12512kmmk?L， 因此，26k，即2k的最小值为6（18分） （文）解（1）设直线310xy?上点的坐标为00(,31)

18、xx?，代入22xy?， 得2222200031(31)8()88xyxxx?，（2分） 对于x?R ，22118xy?，因此，直线31yx?上的点都在(1,1)C的外部（4分） （2）设点N的坐标为00(,)xy，由题设22001xy?（6分） 2200|(1)MNxy?uuuur，由22001xy?， 得22200013|1(1)2()22MNyyy?uuuur，（8分） 对于0y?R ，有201362()222y? ，于是6|2MNuuuur，（10分） 因此，|MNuuuur 的最小值为62 （3）因为圆222xyr?和双曲线(,)abC均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在

19、第一象限及x、y轴正半轴的情况 由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限的圆弧，它们交点的坐标 为22,22rr?（12分） 将22rx? ，22ry?代入双曲线(,)abC 方程，得2222122rrab?（*），（13分） 又因为(,)abC过点(2,1) ，所以22411ab?，（15分） 将22241bab?代入（* ）式，得22283brb?（17分） 由222308rbr?，解得28r?因此，r 的取值围为(22,)?（18分） 23(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 （理）解（1）由题意，直线1ykx?上点00(,1)xkx

20、?满足221xy?，即求不等式2200(1)1xkx?的解为一切实数时k的取值围（1分） 对于不等式2200(1)220kxkx?， 当1k?时，不等式的解集不为一切实数，（2分） 于是有22210,48(1)0,kkk? 解得|2k? 故k 的取值围为(,2)(2,)?U（4分） （2）因为圆222xyr?和双曲线(,)abC均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x、y轴正半轴的情况 由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限的圆弧，它们交点的坐标为22,22rr? 将22rx? ，22ry?代入双曲线(,)abC 方程，得2222122rrab?（*），（6分） 又因为

21、(,)abC过点(2,1) ，所以22411ab?，（7分） 将22241bab?代入（* ）式，得22283brb?（9分） 由222308rbr?，解得28r?因此，r 的取值围为(22,)?（10分） （3）由2|1xymx? ，得1|ymxx? 将1|ymxx? 代入22221xyab?， 由题设，不等式22221|1mxxxab?对任意非零实数x均成立（12分） 其中22222222222221|1()2mxxxabamxamababx? 令2xt? ，设22222()()2aftbamtamt?，（0t?） 当2220bam?时，函数()ft在(0,)?上单调递增，()1ft?不恒成立；（14分） 当2220bam?