二阶线性常微分方程地幂级数解法

1、实用文案二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道， 在满足某些条件下， 可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？例 1、求方程yxy0 的通解解：设ya0a1xa2 x2an xn为方程的解，这里有ai (i0,1,2, n,) 是待定常系数，将它对 x 微分两次，y2 1a23 2a3 xn(n1)an xn 2( n1)nan 1xn 1将 y ， y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x2 1a2 0 ， 3 2a3 a0 0,4 3a4 a1 0,5 4a5 a2 0,或一般的可推得a3 ka0，2 3 56(3k1)3ka3 k

2、1a1，3 46 73k(3k1)a3 k20其中 a1 ， a2 是任意的，因而代入设的解中可得：y a0x3x6x3nx4x712 3 562 3 56(3n1) 3n a1 x3 4 673n(3n2 33 41)这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数 a0 及 a1 ）便是所要求的通解。标准文档实用文案例6 求方程 y 2xy 4 y0 的满足初值条件y(0)0 及 y(0)1 的解。解设级数 ya0a1 xa2 x2an xn为方程的解。 首先，利用初值条件，可以得到a00 ，a11，因而y x a x2a x3a xn23ny1 2a x 3a x2na

3、 xn 123ny2a3 2a xn(n 1)a xn 223n将 y ， y ， y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到a20, a11,a40, ann2 an 2 ,1因而a51111, a6 0,a76, a8 0, a9,2!3!4!最后得a2 k 1111 ,a2k 0 ,k (k 1)!k !对一切正整数 k 成立。将 ai (i 0,1,2,) 的值代回 ya0 a1x a2x2an xn就得到y xx3x5x2 k 12!k !x(1x2x4x2 k)xex2,2!k!这就是方程的满足所给初值条件的解。是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解

4、？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的标准文档实用文案形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程， 可参考有关书籍。考虑二阶齐次线性微分方程d 2 yp(x) dyq( x) y 0dx2dx及初值条件 y( x0 )y0 的情况。y0 及 y (x0 )不失一般性，可设 x00 ，否则，我们引进新变量 tx x0 ，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于xx0 的就是 t00 了，因此，今后我们总认为 x0 0。定理 10 若方程d

5、 2 ydydx2p( x) dxq( x) y 0 中系数 p( x) 和 q( x) 都能展成 x 的幂级数，且收敛区间为 | x | R ，则方程d 2 ydyq( x) y 0dx 2p(x)有dx形如yan xnn0的特解，也以 | x |R 为级数的收敛区间。在上两例中方程显然满足定理的条件， 系数 x ， 2x 和 4 可看作是在全数轴上收敛的幂级数， 故方程的解也在全数轴上收敛。 但有些方程，例如 n 阶贝赛尔方程x2 d 2 yx dy(x2n2 ) y 0dx2dx标准文档实用文案这里 n 为非负常数 ，不一定是正整数，（ d 2 yp( x) dyq(x) y 0 ）dx

6、2dx在此1n2，显然它不满足定理 10x ， q(x)1x的条件，因而不能p( x)2肯定有形如yan xn 的特解。但它满足下述定理 11 的条件，从n 0而具有别种形状的幂级数解。d 2 ydyq(x) y0 中系数 p( x) ， q(x) 具有定理 11 若方程2 p( x)dxdx这样的性质，即xp( x) 和 x2q(x) 均能展成 x 的幂级数，且收敛区间为d 2 yp(x)dy| x | R ， 若 a00，则方程dx2q(x) y 0 有 形 如dxyxan xnn0即yan xnn0的特解，是一个特定的常数， 级数 yan xn也以 | x |Rn0为收敛区间。若 a0，

7、或更一般的，i0( i0,1,2, m 1)，但am0 ，0则引入记号m ， bkamk ，则y xan xnx mam k xkxbk xk ，nmk 0k0这里 b0 am0 ，而仍为待定常数。例7 求解 n阶贝赛尔方程 x2d 2 yxdy(x22) y 0 。dx2dxn标准文档实用文案解将方程改写成d 2 y 1 dyx2n2y 0 ，dx2x dxx2易见，它满足定理11 的条件（ xp( x) 和 x2 q( x) 均能展成 x 的幂级数，且收敛区间为 | x |R ），且 xp x1, x2 q xx2n2 ，按展成的幂级数收敛区间为x，由定理 11，方程有形如yak xa k

8、k0的解，这里 a00 ，而 ak 和是待定常数， 将 yak xa k代k 0入： x2d 2 yxdy(x22) y0 中，得dx2dxnx2(ak)( ak1)ak xa k 2k 1x (a k)ak xa k 1k1( x2n2 ) ak xa k0 ，k 0把 x 同幂次项归在一起，上式变为(k )(k 1) (k ) n2 ak xa kak xa k 20k 0k 0令各项的系数等于0，得一系列的代数方程标准文档实用文案a 2n2 00a1(1)2n2 0ak (k)2n2 ak 20k2,3,因为 a00 ，故从 a0 2n2 0 解得的两个值n 和n先考虑n 时方程x2d

9、2 ydy( x22) y0 的一个特dx2xndx解，这时我们总可以从以上方程组中逐个地确定所有的系数ak 。把n 代入以上方程组，得到a10akak2k(2nk) ， k 2,3或按下标为奇数或偶数，我们分别有a2k 1a2k12k12n2k1a2kk 1,2,a2k22n2k2k从而求得a2 k 10k1,2,a2a01 n122标准文档实用文案a42a012! n 1 n 224a63a011 n 2 n326 3! n一般地a2kka01n k22 k k ! n 1 n 2k1,2,将 ak 各代入 yak xa k得到方程 x2 d 2 yx dy( x2n2 ) y 0k 0d

10、x2dx的一个解ky1a0 xn1 a0x2k nk 1 22k k! n 1 n2n k既然是求 x2 d 2 ydy( x22) y 0的特解，我们不妨令dx2xndxa012nn 1其中函数s 定义如下：当 s 0 时，s0xs 1e x dx ；当 s 0 且非整数时，由递1s1 定义。推公式(s)ss 具有性质标准文档实用文案s 1ss ; n1n!n 为正整数1kyaxna0x2 k n而2 k10k 12k! n 1 n 2n k变为kx2k ny11k 0 k ! n kn 1n 1 2注意到函数的性质，即有k2k ny11xx0 k!n k 1Jnk2Jn x 是由贝塞尔方程

11、 x2 d 2 yxdy22) y0 定义的特殊函dx2( xndx数，称为 n 阶贝赛尔函数 。因此，对于 n 阶贝塞尔方程，它总有一个特解Jn x 。为了求得另一个与 Jnx线性无关的特解，我们自然想到，求 an时方程 x2d 2 yxdy2n2) y0 的形如2(xdxdxy2a x nkkk 0的解，我们注意到只要n 不为非负整数，像以上对于n 时的求解过程一样，我们总可以求得标准文档实用文案a2k10k1,2,a2k1ka0,2kk !n1 n22n kk1,2,a02n2 0a1(1)2n2 0使之满足ak (k)2n2 ak 20 中的一系列方程，因k 2,3,而ky2a x n

12、1 a0x2k n022k k! n 1 n 2n kk 1是 x2d 2 yxdy( x22) y 0 的一个特解。此时，若令dx2dxna012 nn1k则 y2a0 xn1 a0x2knk 1 22kk! n 1 n 2变n k为1 k2k ny2xxk !n k 1Jnk 02标准文档实用文案称 J nx 为阶贝赛尔函数 。利用达朗贝尔判别法不难验证级数kyaxn1 a0x2k n2k和10k 1 2k! n 1 n 2n kky2a x n2k1a0x2kn0k 12k! n 1 n 2n k（ 在ky2a x n2k1a0x2kn0k 12k! n 1 n 2n k中x0）都是收敛

13、的， 因此，当 n 不为非负整数时，Jn x 和 J nx都是方程 x2d 2 ydy( x22) y0 的解，而且是线性无关的，dx2xndx因为它们可展为由x 的不同幂次开始的级数，从而它们的比不可能是常 数 。 于是方 程 x2 d 2 ydy( x22) y 0 的 通解 可写 为dx2xndxy c1 Jn x c2 J n x这里 c1 ，c2 是任意常数。此情形的 Jnx 和 J n x 称为第一类贝塞尔函数。例 8求方程 x2 yxy4x29y 0 的通解。25解引入新变量 t2x ，我们有标准文档实用文案dydy dt2 dydxdt dxdtd 2 y d 2 dy dt4

14、 d 2 ydx2dtdtdxdt2 ，将上述关系代入院方程，得到t2 d 2 ytdy29dt2ty 0，dt25这 是 ， n3的贝塞尔方程，由例 7可知，方程5t2 d 2 ydyt29dt2ty 0的通解可表为dt25y c1J3tc2 J 3t ，55代回原来变量，就得到原方程的通解y c1J 32x c2 J 32x55其中 c1, c2 是任意常数。第二宇宙速度计算作为这一节的应用，我们计算发射人造卫星的最小速度，即所谓第二宇宙速度。在这个速度你下 , 物体将摆脱地球的引力, 向地球一样绕着太阳运行 , 成为人造卫星 .让我们首先建立物体垂直上抛运动的微分方程. 以 M 和 m

15、分别表示地球和物体的质量. 按牛顿万有引力定律, 作用于物体的引力F ( 空气阻力忽略不计 ) 为标准文档实用文案F k mM r 2这里 r 表示地球的中心和物理体重心之间的距离，k 为万有引力常数。因为，物体运动规律应满足下面的微分方程m d 2rk mMdt 2r 2或d 2rMdt2k r 2这里的负号表示物体的加速度是负的。设地球半径为 R( R 63 105 m) ，物理发射速度为 v0 ，因此，当物体刚刚离开地球表面时，我们有 r R, dr v0 ，即应取初值条件为dt当 t0时， r R, drv0dt方程d2rkM不显含自变量 t , 应用 4.3.1（可降阶的一些方程类dt2r2型）的方法，把方程降阶成为一阶方程v dvk M2drr解得v2kM 1 c2r注意到这时初值条件为c v02 kM2R因而标准文档实用文案v2kMv02kM2r()2R因为物体运动速度必须始终保持是正的，即v20 ，而随着 r 的不断2增大，量 kM 变得任意