《高数教学课件》第三节分部积分法

1、第三节 由导数公式vuvuuv ) ( 积分得:xvuxvuuvdd 分部积分公式分部积分公式 xvuuvxvudd 或uvvuvudd 1) v 容易求得 ; xvuxvudd)2 比容易计算 . :)d(的原则或及选取vvu 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法 第四四章 例例40 求 .dsinxxx 解解 设 ,xu ,dsindxxv 则,ddxu ,cos xv 原式 xxcos xx dcos Cxxxsincos 思考思考: 如何求 ?dsin 2 xxx 提示提示: 令, 2 xu ,dsindxxv 则 原式 xx cos 2 xxxdcos2 机动 目录 上页

2、下页 返回 结束 例例41 求.de 2 xx x 解解 设, 2 xu ,dedxv x 则,d2dxxu ,e x v 原式 x x e 2 xx x de2 x x e 2 )dex x 再设再设 , xu ,dedxv x 则 xx xdxxee x x de 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x xe(2 .e )22( 2 Cxx x 例例42 求.dln 3 xxx 解解 设,ln xu ,dd 3 xxv 则,d 1 dx x u , 4 1 4 xv 原式 =xx ln 4 1 4 )(lnd 4 1 4 xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xx ln 4 1 4 x

3、xd 4 1 3 . 16 1 ln 4 1 44 Cxxx 例例43 求.dln xx 解解 设,ln xu ,ddxv 则,d 1 dx x u , xv 原式 =xxln )(lndxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxln xd1 .lnCxxx 解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的 顺序, 前者为 后者为u. v 例例44 求.darcsinxx 解解 设 ,arcsinxu xvdd , 则 ,d 1 1 d 2 x x u xv 原式 =xxarcsin x x x d 1 2 xxarcsin )1d

4、()1 ( 2 1 22 2 1 xx xxarcsin Cx 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反反: 反三角函数 对对: 对数函数 幂幂: 幂函数 指指: 指数函数 三三: 三角函数 例例45 求.dcossinxxxx 解解 原式= xx2cos 4 1 xxd2cos 4 1 xx2cos 4 1 .2sin 8 1 Cx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxd2sin 2 1 )2(cosd 4 1 xx 例例46 求.darctan 2 xxx 解解 xx arctan 3 1 3 x x x d 13 1 2 3 xx arctan 3 1 3 x x xxx d

5、 1 )( 3 1 2 3 xx arctan 3 1 3 .)1ln( 6 1 6 1 22 Cxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(darctan 3 1 darctan 32 xxxxx xx arctan 3 1 3 x x x xxd 13 1 d 3 1 2 例例47 求.dsinexx x 解解 x x sine xx x dcose x x sine )e ( dcos x x 故 原式 =.)cos(sine 2 1 Cxx x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )ed(sindsine xx xxx x x sine)cosd(ecose xx xx x x si

6、ne xxx xx dsinecose 例例48 求. )( d 22 n n ax x I 解解: 令, )( 1 22n ax u , 1 v 则, )( 2 122 n ax xn uxv n Ix ax x n n d )( 2 122 2 n ax x )( 22 x ax n n d )( 2 122 n ax x )( 22 n In2 1 2 2 n Ian 得递推公式 n n n I an n ax x an I 2222 1 2 12 )(2 1 222 )(aax n ax x )( 22 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 递推公式 n n ax x I )

7、( d 22 已知C a x a Iarctan 1 1 利用递推公式可求得 . n I 例如, 3 I 2222 )(4 1 ax x a 2 2 4 3 I a 2222 )(4 1 ax x a 2 4 3 a 222 2 1 ax x a 1 2 2 1 I a 2222 )(4 1 ax x a 224 8 3 ax x a C a x a arctan 8 3 5 n n n I an n ax x an I 2222 1 2 12 )(2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例49 已知f(x)的一个原函数为ln2x，求.d)(xxf x 解解 )(xxf xxfd)( )

8、(ln)( 2 xxf)(lnln2xx .lnln2 2 Cxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(dd)(xfxxxfx , ln2 x x x x x ln2 .ln 2 Cx 因为f(x)的一个原函数为ln2x，所以 于是 例例50 求.dsin xx 解解 令.d2d, 2 ttxtx xx dsin tttd2sin .sin2cos2Cttt 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , tx )cosd(2tt ttcos2 ttdcos2 则 于是 .sin2cos2Cxxx 例例51 求不定积分 解解 .d 1 x e xe x x 方法1(先分部先分部 , 再换元再换元)

9、 x e xe x x d 1 ) 1(d 1 x x e e x x2) 1(d x e12 x ex xe x d12 令, 1 x eu则u u u xd 1 2 d 2 u u u d 1 2 2 2 12 x ex 11 2 u 12 x ex Cuu)arctan(4 4 Cee xx 1arctan414 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2(先换元先换元,再分部再分部) 令, 1 x eu则, )1ln( 2 ux 故 x e xe x x d 1 u u u u uu d 1 2)1ln()1 ( 2 22 uud)1ln(2 2 )1ln(2 2 uu u u u

10、 d 1 4 2 2 1 )1ln(2 2 uuu4Cu arctan4 12 x exCee xx 1arctan414 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 u u u xd 1 2 d 2 说明说明: 分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ) 3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 . 例4 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习1 求.d cos cosln 2 x x x 解解 令 ,coslnxu x v 2 cos 1 , 则

11、,tan xuxvtan 原式 =xxcoslntan xxdtan 2 xxcoslntan xxd) 1(sec 2 xxcoslntan Cxx tan 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习2 求 .dex x 解解 令, tx则, 2 tx ttxd2d 原式tt t de2 t te(2 .)1(e2Cx x , tu t ev )e t C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 练习练习3 求. )0(d 22 axax 解解: 令, 22 axu, 1 v 则, 22 ax x u xv 22 axx x ax x d 22 2 22 axx x ax aax d 22

12、 222 )( 22 axx xaxd 22 22 d2 ax x a 原式 = 22 2 1 axxCaxx a )(ln 2 22 2 xaxd 22 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习4 证明递推公式 )2( 1 tan dtan 2 1 nI n x xxI n n n n 证证 xxxI n n d) 1(sectan 22 )d(tantan 2 xx n 1 tan 1 n x n 2 n I 2 n I 注注: 0 IIn或 1 I 0 I,Cx 1 ICx cosln 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习5 已知)(xf的一个原函数是, cos x x 求.

13、d)(xxf x 解解xxfxd) ( )(dxfx )(xfxxxfd)( x x xcos C x x cos xsinC x x cos 2 说明说明: 此题若先求出)(x f 再求积分反而复杂. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxfxd)(x x x x x xd cos2sin2 cos 2 练习练习6 求.d xI 2 3 )1 ( 2 x 解法解法1 先换元后分部 令,arctanxt 即,tantx 则 t e I t 3 sec ttdsec 2 tte t dcos te t sintte t dsin te t sintte t dcos te t cos 故 Ce

14、ttI t )cos(sin 2 1 2 1 x earctan t x 1 2 1x 2 1x x 2 1 1 x Ce x arctan 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x e I x d arctan 2 3 )1 ( 2 x x e x I arctan 2 d 1 1 xx e x x e x arctan 2 arctan 2 d 11 1 )1 ( 1 1 arctan 2 xe x x I Ce x x I x arctan 2 12 1 解法解法2 用分部积分法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x e x arctan 2 1 1 xd 2 3 )1 ( 2 x x

15、ex arctan 练习练习7 求 xxId)ln(sin 解解令,lnxt 则texex tt dd, tteI t dsin ttete tt dcossin Ittet)cos(sin CtteI t )cos(sin 2 1 Cxxx)cos(ln)sin(ln 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 分部积分公式xvuvuxvudd 1. 使用原则 :xvuvd 易求出,易积分 2. 使用经验 : “反对幂指三反对幂指三” , 前 u 后 v 3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出;递推公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 1. 下

16、述运算错在哪里? 应如何改正? x x x d sin cos xx xx x dsin) sin 1 ( sin sin xx x x dsin sin cos 1 2 x x x d sin cos 1 , 1d sin cos d sin cos x x x x x x 得 0 = 1 答答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 . x x sin sind Cx sinln 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxf x x x x xfd)( 1 , sin )(sin)2002( 1 2 求设年 ,sin 2 xu 令解,arcsin,sinu

17、xux则有 , arcsin )( x x xf 分析分析:先求先求f(x) x x x x x xxf x x d arcsin 1 d)( 1 )1d(arcsin2xx Cxxx2arcsin12 于是于是 x x x d 1 arcsin .d)(, )1ln( )(ln)2000(2 xxf x x xf计算设年 ,ln xt 设解 xxxf x x d e )e1ln( d)( x xx x e1 d )e1ln(e .)e1ln()e1 (Cx xx t t tt tftxx e )e1ln( )(,ded,e 则 )d(e)e1ln( xx .d)(,ln)()2002(3 2 xxf xxxf试求的一个原函数为已知年 xxfxxfxfxxxf xd)()()(dd)(解 所以的一个原函数是因为,)(ln 2 xfx x x xxf ln2 )(ln)( 2 Cxx dx x x x x xdxxfx 2 lnln2 ln2ln2 )(于是 x x x d e earctan )2001(4 2 年 )e (dearctan 2 1 2xx 原式 )d(e) e1 1 e 1 (earctane 2 1 2 x xx xx )e1 (e e earctane 2 1 22 2 xx x xx d .)earctaneear