第八章--二元一次方程组讲义(同步)13页

1、阜阳翰林院培训学校二元一次方程组讲义题型一：二元一次方程（组）的概念二元一次方程： 含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的方程。注意：满足的四个条件：1、都是整式方程；2、只含有两个未知数；3、未知数的项最高次数都是一次；4、含有未知数的项的系数不为0.二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组。注意：1）满足的三个条件：1、每个方程都是一次方程；2、方程组具有两个未知数；3、每个方程均为整式方程。 2）方程组的各个方程中，相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起，组成方程组。二元一次方程：例1、下列方程， ，中，二元一次方程有 个。例2、

2、方程是二元一次方程，则的取值范围为 .例3、已知方程是关于的二元一次方程，则的取值范围是 .例4.若关于x，y的方程是二元一次方程，则的和为 .例5、若是关于x，y的二元一次方程，其中，则 二元一次方程组：例1、下列方程组中，二元一次方程组的个数是 . （1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.；（9）例5、若方程组是关于的二元一次方程组，则代数式的值是 题型二：二元一次方程（组）的解的概念二元一次方程:注意：1)二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值；2）二元一次方程的解使方程左右两边相等；3）一般情况下，一个二元一次方程有无数多组解，但并不是说任意一对

3、数值都是它的解，当对解有限制条件时，二元一次方程的解的个数为有限个。二元一次方程组：注意：1）二元一次方程组的解满足方程中的每一个方程；2）二元一次方程组需用大括号“”表示，方程组的解也要用大括号“”表示；3）一般常见的二元一次方程组有唯一解，但有的方程组有无数多组解，如，有的方程组无解，如.例1、若是二元一次方程的一个解，则 .例2、如果是方程的一个解（），那么（） A、m0，n=0 B、m，n异号 C、m，n同号 D、m，n可能同号，也可能异号 例3、方程组和同解，求的值。 例4、已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为 .例5、若是方程2x+y=0的解，则 .例6、已知是二元一次方程组

4、的解，则的值为 .例7、关于x，y的二元一次方程，当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是 .题型三：解多元一次方程（组）的问题解二元一次方程组的方法：代入消元法；加减消元法，整体思想（整体代入法；整体加减法）；换元法、分类讨论法。二元一次方程：例1、（2011柳州）把方程改写成用含的式子表示的形式，得 .例2、（2003黑龙江）写出满足方程的一对整数值 .例3、二元一次方程的非负整数解共有 对例4、方程的整数解有 对.例5、方程的非负整数解有 . A、4组 B、5组 C、6组 D、无数组 例6、若，则 . 二元一次方程组：例1、（2011淄博）由方程组可得出

5、与的关系式是 .1）代入消元法 例2、（2011肇庆）方程组的解是 .例3、（2011台湾）若二元一次联立方程式的解为，则的值为 .例4、（2011曲靖）方程和的公共解是 .例5、用“代入消元法”解方程组时，可先将第 方程（填序号即可）变形为 ，然后再代入例6、用代入消元法解下列方程组：(1) ； （2）； （3）； （4） （5）.2）加减消元法：例1、用加减消元法解下列方程组：（1）； (2)； （3）3） 整体思想：例1、解下列方程组：（1） ； （2）.例2、解下列方程组：（1） ； (2)例3、已知方程组的解是，求方程组的解。例4、已知方程组：的解是：，则方程组：的解是 .4）换元法

6、：例1、解下列方程组：（1）5）分类讨论法：例1、若、是两个实数，且，则等于 .例2、方程组的解的个数为 .例3、若关于，的方程组没有实数解，则 .三元一次方程组：例1、已知方程组的解满足方程，则 . 例2、已知方程组的解满足方程，求的值.例3、如果方程组的解是方程的一个解，则 .例4、若，则 例5、在关于的方程组中，已知，那么将从大到小排起来应该是 题型四：二元一次方程（组）与绝对值、同类项的综合运用例1、已知，则 .例2、若，则的值为 .例3、方程的解的值也满足，且，求的值。例4、如果是同类项，那么的取值分别是 . 例5、若是同类项，则 ， .例6、解方程组：题型五：模糊以及抄错题问题例1

7、、小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本上，结果二元一次方程组中第一个方程的系数和第二个方程的系数看不到了，现在已知小丽的结果是你能由此求出原来的方程组吗？例2、甲、乙两位同学一起解方程组甲正确地解得乙仅因抄错了题中的，解得求原方程组中的值例3、甲乙两人解方程组，由于甲看错了方程中的，而得到方程组的解为乙看错了方程中的，而得到的解为假如按正确的计算，求出原方程组的解。例4、已知方程组的解应为，小明解题时把c抄错了。因此得到的解是，则的值。题型六：由实际问题抽象出二元一次方程组的问题例1、（2011泰安）某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲乙两种奖品共30件，其中甲种奖品

8、每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品件，乙种奖品件，则可列方程 .A、 B、 C、 D、例2、（2011台湾）在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元若馒头每颗元，包子每颗元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系 .A、 B、 C、 D、例3、（2011宁夏）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是 .A、 B、 C、 D、例4、（20

9、10宁夏）甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%、若设甲、乙两种商品原来的单价分别为元、元，则下列方程组正确的是 .A、 B、C、 D、例5、（2010丹东）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分若设（1）班得x分，（5）班得分，根据题意所列的方程组应为 .A、 B、 C、 D、例6、（2010长春）端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个，其中荷包每个4元，

10、五彩绳每个3元设王老师购买荷包个，五彩绳个，根据题意，下面列出的方程组正确的是 .A、 B、 C、 D、 例7、（2010巴中）巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约为126km一辆小汽车，一辆货车同时从巴中，广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6km，设小汽车和货车的速度分别为km/h，km/h，则下列方程组正确的是 .A、 B、 C、 D例8、（2008株洲）“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题：“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔”解决此问题，设鸡为只，兔为只，则所列方程组正确的是 .A、 B、 C、 D、例9、（

11、2008台州）四川5.12大地震后，灾区急需帐篷某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置9000人，设该企业捐助甲种帐篷顶、乙种帐篷顶，那么下面列出的方程组中正确的是 .A、 B、 C、 D、例10、（2008荆门）用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用，y表示矩形的长和宽（），则下列关系式中不正确的是 .A、 B、 C、 D、例11、“甲、乙两数之和为16，甲数的3倍等于乙数的5倍”，若设甲数为，乙数为，则列出方程组：（1）；（2） ；（3）；（4）中

12、，其中正确的有 。A、1组 B、2组 C、3组 D、4组例12、现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，则可列方程组为 .A、 B、 C、 D、例13、已知一组数据1，2，4，2，8，7，它的中位数和众数恰好是一个关于，的二元一次方程组的解，则这个二元一次方程组是 （写出符合条件的一个即可）题型七：方程及方程组的应用问题思路导航：应用二元一次方程组解决实际问题关键在于正确找出问题中的两个等量关系，列出方程并组成方程组，同时注意检验解的合理性列方程组解应用题的一般步骤：（1） 审题：反复阅读题目，弄清题意，明确问

13、题中哪些量是已知量，哪些量是未知量，弄清题目中的等量关系。（2） 找等量关系，设未知数，列出代数式：选择两个未知数，用字母表示，用含有未知数的代数式表示其他的未知数，找出题目中明显的灯亮关系和隐含的等量关系；（3） 列方程组：根据题目中的等量关系列出方程，并组成方程组；（4） 解方程组：求出未知数的值；（5） 检验并作答：检验所得的未知数的值是否合理，然后作答。1） 工作量问题思路导航：工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.基本等量关系为：工作量工作效率 工作时间；例1、某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共

14、554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10，乙种机器产量要比第一季度增产20该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？例2、一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？例3、重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半。后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半。乙型挖土机单独挖这块地需要几天？ 2） 行程问题思路导航：行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程速度时间；例1、某学校组织学生到100千米以外的夏

15、令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行.先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间），要使大家下午5点同时到达，问需何时出发.例2、甲、乙两从A地出发，向同一方向前进，甲步行先走1小时后，乙骑自行车追赶，当乙骑了2小时后，乙还在甲的后面1.5千米处，再走1小时后，乙在甲的前面2.5千米处，求甲、乙两人的速度例3、甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度.例4.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以

16、每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达乙地，求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达.3） 分配问题 思路导航：这类问题要搞清资源的变化情况 例1、现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可以做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底可以配成一个完整的盒子，问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以恰好制成一批完整的盒子？例2、某家具厂生产一种方桌，设计时的木材可做50个桌面或做300条桌腿。现有的木材，求怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，可使生产的桌面、桌腿刚好配套，并指出生产多少张方桌（1张方桌有一个桌面，4条桌腿）.例3、某服装厂

17、要生产一批服装，已知3米长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产这一批服装，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？4） 利率问题思想导航：储蓄问题中基本量之间的关系：，利息=本金利率期数，利率=.例1、小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25的教育储蓄，另一种是年利率为2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20%，教育储蓄没有利息所得税）例2、某同学的父母用甲、乙两种形式为其存储了一笔教育储蓄金1

18、0 000元，甲种形式年利率为，乙种形式年利率为,一年后，这名同学得到本息和共10242.5元，那么该同学的父母为其存储的甲、乙两种形式的教育储蓄金各为多少元？5） 盈亏问题例1、某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖168元，按成本计算，一套赚了20%另一套亏了20%。则商贩在这次买卖中盈亏了多少？例2、新华书店一天内销售两种书籍，甲种书籍共卖得1560元，为了发展农业科技，乙种书籍送下乡共卖得1350元，按甲、乙两种书籍的成本分别计算，甲种书籍盈利，乙种书籍亏本，试问该书店一天共盈利（亏本）多少元？6） 数字问题思路导航：表示一个多位数，它可以表示为： 数字型应用题的常见解题思路是抓住数字间

19、或新数、原数间的关系列方程，多以间接设元求解为宜解题时要注意区分数字与数之间的区别例1、如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，那么这样的两位数的个数是（）A、3 B、6 C、5 D、4 例2、一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是多少？例3、一个两位数，十位上数字是个位上数字的两倍，把这个两位数个位上数字与十位上数字对调得的新两位数比原两位数小27，求原两位数.例3、甲乙两人做加法，甲在其中一个数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，你能求出原来的两个加数吗？7） 和、差、倍、分问题思路导航

20、：基本等量关系为：(和差)2大数 ； (和差)2小数 ；和倍问题： 和(倍数+1)小数 小数倍数大数 (或者 和小数大数) 差倍问题： 差(倍数1)小数 小数倍数大数 (或 小数差大数)例1、有两缸金鱼，如果从甲缸中取出5条放入乙缸，两缸内的金鱼数相等。已知原来甲缸的金鱼数是乙缸的1又2/3倍，甲缸原有金鱼多少条？例2、 有两筐苹果，如果从第一筐拿出9个放到第二筐，两筐苹果个数相等；如果从第二筐拿出12个放到第一筐，则第一筐苹果的个数等于第二筐的2倍。原来每筐各有几个苹果？例3、在读书活动中，某校将一批书按以下原则分给各班：第一班取走100本，又取走余下的十分之一：第二班取走200本，又取走余

21、下的十分之一.以此类推，最后全部书被各班取走，而且各班所得的书相等，问共多少本书，班数是多少?8） 年龄问题例1、师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”.问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？例2、 甲乙两人在聊天，甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。”你能算出他们两人各几岁吗？例1几何问题例1、（2011台湾）如图，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD：AB=？（）A、5：3 B、7：5 C、23：14 D、47：29 例3例2、小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（）A、106cm B、110cm C、114cm D、116cm 例2例3、用6块相同的长方形地砖拼成一个矩形，如图所示，那么每个长方形地砖的面积是 9） 航行问题例1、甲乙两港间的水路长280千米，一艘轮船从甲港开往乙港，顺水14小时到达。从乙港返回甲港，逆水20小时到达。求这艘轮船在静水中的速度和水流速