平面向量公式及易错点.doc

1、平面向量公式设 a= (x, y), b=(x, y)。1、向量的加法向量的加法满足 平行四边形法则 和三角形法则。AB+BC=AC 。a+b=(x+x， y+y)。a+O=O+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a ； 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b， b=-a， a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB.即共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x,y)则 a-b=(x-x,y-y).4、数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量，记作入a且I入al = I XI ? I al。当X 0时，Xa与a同方向；当XV

2、0时，Xa与a反方向；当X =(时，X a=0方向任意。当a=0时，对于任意实数 人都有X a=0注：按定义知，如果X a=0那么X =0或a=0。实数X叫做向量a的系数，乘数向量Xa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当I X I 1时，表示向量a的有向线段在原方向(X 0)或反方向(XV 0)上伸长为原来 的I XI倍；当I XIV 1时，表示向量a的有向线段在原方向(X 0)或反方向(XV 0)上缩短为原来 的I X I倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(X a)?b= X (a?b)=(a? X b)向量对于数的 分配律(第一分配律)：(X +)a= X a+卩a.

3、数对于向量的分配律(第二分配律)：X (a+b)= X a+ X b.数乘向量的消去律： 如果实数XM0 X a= X那么a=b。 如果a *0且 X a= &那么X =哲 3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记 作a,b并规定 Ow a,b ；若 a、b 共线，则 a?b=+- I a II bl。向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x+y?y。向量的数量积的运算律a?b=b?a（交换律）；（入a）?b=入（a关于数乘法的结合律）;（a+b）?c=a?c+b?c （分配律）;向量的数量积的性质a?a=|a的平方。a丄 b

4、= a?b=0o|a?b| w |a|?|b|向量的数量积与实数运算的主要不同点1、 向量的数量积不满足结合律，即：（a?b）?c丰a?（b?例如：（a?b）A2丰aA2?bA22、 向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c （a产推不出b=c。3、|a?b| 工 |a|?|b|4、由 |a|=|b|，推不出 a=b 或 a=-b。4、向量的向量积定义：两个向量 a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a旳。若a、b不共线，则ab的模是：labI=|a|?|b|?sina,b;ab的方向是：垂直于 a和b,且a、b和ab按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a旳=0。向量的向量积性质

5、：I ab I是以a和b为边的平行四边形面积。a 3=0。a II b a=0。向量的向量积运算律ab=-b ;（入 a b= （ a ） =a （入 b;（a+b） c=a +b 3.注：向量没有除法， 向量AB/向量CD是没有意义的。向量的三角形不等式1、I I a I -I bI I w I a+b I w I a I + I b I ;当且仅当a、b反向时，左边取等号；当且仅当a、b同向时，右边取等号。2、I I a I -I bI I w I a-b I w | a I + I b I 。当且仅当a、b同向时，左边取等号；当且仅当a、b反向时，右边取等号。定比分点定比分点公式 （向量

6、P1P=入？量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是I上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数入，使向量P1P=X?向量PP2,入叫做点P分有向线段 P1P2所成的比。若 P1 （x1,y1）, P2（x2,y2） , P（x,y），则有0P=（0P1+入0P2）（1+入）定比分点向量公式）x=（x1+ 入 x2）/（1+ 入）,y=（y1+入y2）/（1+。X定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=X 0A +卩OBJ且入+ =1则A、B、C三点共线三角形重心 判断式在厶ABC中，若 GA +GB +GC=O,贝U G ABC的重心编辑本

7、段向量共线的重要条件若b MQ则a/b的重要条件是存在唯一实数人使a= X ba/b的重要条件是 xy-xy=0。零向量0平行于任何向量。编辑本段向量垂直的充要条件a丄b的充要条件是 a?b=0。a丄b的充要条件是 xx+yy=0。零向量0垂直于任何向量.平面向量易错点湖南 周友良周芬在平面向量的复习中， 首先要掌握其基本概念与运算.如果不能正确理解向量的基础知识，或在某些概念及公式的理解上存在模糊认识，就会造成一些表面看起来正确而实际上错误的判断，使解题思路走入误区，现例举如下，望同学们引起注意.、对两向量夹角的定义理解不清而致错的值.在边长为1的正三角形 ABC中，求ABLBC BCA -

8、 CAJAB错解：ablBC+bc_CA+CA_ab=AB*bccos60cos60cos601113=t- =2 2 2 2分析：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合.向量AB 与 BC, 与 CA ,CA 与AB的夹角通过平移后发现都不是 60,而是120.这是由于对两向量夹角的定义理解不 透造成的.(1(1+ 亡1I 2丿12丿业丿正解：ABlBC BC_pA CA_AB 二 A|BCcos120 +cos120cos120注意：向量a与b的夹角为锐角的充要条件是 壮 .且a与b不共线.这里，a与b不 共线不能忽略.二、对向量的数量积理解不透彻而致错例2向量a、b都是非零向量，且向量 a

9、 + 3b与7a-、b垂直，a- 4b与7a-lb垂 直，求a与b的夹角.错解：由题意，得(a + 3b)7a b) = 0 ,(a - 出(7 - ：b )，翁将、展开并相减，得 46a|_b二二巾2，1 b =，故 a = b，2将代入，得a2 = b2,则 a = b ,1 a b_ b= i设a与b夹角为-，贝U cos：- -豁二二一.HJHlb22/ 0： w r w 180 , V - 60 .分析：上面解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误， 即由得到，错把 数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上. 由于向量的数量积不满足消去律， 所以即使 b=-也不能随便约去.正解：设向量a、b的夹角为二，由上面解法有 2aLb= b2，代入式、式均可得口 aLb _ 1 cosalb 飞又 0： w r w厂， v -60.三、混淆点的坐标与向量的坐标而致错例 3 判断 ABC的形状：A(1, 2) , B(3,5) , C(5,2).错解：t1 (；) (_2)5=-13：0,1(-5)(一2)2 = -9：0 ,(一3)(一5) 5 2=25.0, ABC为钝角三角形.分析：把点的坐标误认为向量的坐标，得出错误的结论.事实上，由点的坐标可以确定有关向量的坐标，再通过计算向量的数量积，精确判断出三角形的形状.正解:CA=(6