《25等比数列前n项和公式的推导和运算》课件

1、 复习复习: :等比数列等比数列 anan an+1 an =q(定值) (1)(1) 等比数列等比数列: : (2) 通项公式通项公式: an=a1q n-1 (3) 重要性质重要性质: n-m an=amq m+n=p+q anaqam = ap 注注:以上以上 m, n, p, q 均为自然数均为自然数 这两个重要性质的 变化.应用可大哩! 你掌握了吗? 国际象棋起源于古代印度，关于国际象国际象棋起源于古代印度，关于国际象 棋有这样一个传说。国王要奖赏国际象棋的棋有这样一个传说。国王要奖赏国际象棋的 发明者，问他有什么要求，发明者说：发明者，问他有什么要求，发明者说：“请请 在棋盘的第一

2、个格子里放上粒麦子，在第在棋盘的第一个格子里放上粒麦子，在第 个格子里放上粒麦子，在第个格子里个格子里放上粒麦子，在第个格子里 放上粒麦子，在第个格子里放上粒麦放上粒麦子，在第个格子里放上粒麦 子，依此类推，每个格子里放的麦子数都是子，依此类推，每个格子里放的麦子数都是 前一个格子里放的麦子数的倍，直到第前一个格子里放的麦子数的倍，直到第 个格子。请给我足够的粮食来实现上述要个格子。请给我足够的粮食来实现上述要 求。求。”你认为国王有能力满足发明者上述要你认为国王有能力满足发明者上述要 求吗？求吗？ 一、导入新课：一、导入新课： 由于每个格子里的麦子数都是前一个格由于每个格子里的麦子数都是前一

3、个格 子里的麦子数的倍，且共有个格子里的麦子数的倍，且共有个格 子，所以各个格子里的麦粒数依次是子，所以各个格子里的麦粒数依次是： ， ， ， ， ， 6332 22221S 即 ， 得 即. , 122 64 SS1264S 由此对于一般的等比数列，其前项和n 1 1 2 111 n n qaqaqaaS ，如何化简？ 二、新课讲解 646332 22222 S2 推导公式推导公式 等比数列前等比数列前n项求和公式项求和公式 已知：已知： 等比数列等比数列 an，a1，q，n 求：求：Sn 通项公式通项公式:an=a1q n-1 解：解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + +an qsn

4、 + =a1q + + + a1qa1q 23 + a1qn-1 a1q n 作作 减减 法法 (1-q)Sn=a1-a1qn Sn= n a1（1-q ) 1-q (q=1) (q=1) na1 a1qa1q 23 a1qn-1=a1+a1q + + + + 作作 减减 法法 等比数列前等比数列前n项求和公式项求和公式 通项公式通项公式:an=a1q n-1 Sn= n a1(1-q ) 1-q (q=1) (q=1) na1 等比数列等比数列 a an n Sn= a1-anq 1-q (q=1) (q=1) na1 a1qna1q q n-1 anq 去看看练习吧! 例1、求下列等比数列

5、前8项的和 , 8 1 , 4 1 , 2 1 )1(0, 243 1 ,27)2( 91 qaa 解： 时所以当8n 256 255 2 1 1 2 1 1 2 1 8 n S :, 243 1 ,27 91 可得由aa)2( 8 27 243 1 q )1( 因为 2 1 , 2 1 1 qa 可得：又由, 0q 3 1 q 时于是当8n 81 1640 ) 3 1 (1 3 1 127 8 n S :a2 n 量中，求满足下列条件的、在等比数列例 nn saanq和求. 2 1 ,5,2)2( 1 nqsaa nn 和求.314,512, 1)3( 1 n saa求,2)1( 31 解：

6、 2 1 ,5,2)2( 1 anq 得：代入 q qa sqaa n n n n 1 1 , 11 1 82 2 1 44 15 qaa 2 31 12 2 1 21 21 2 1 5 5 5 s 可得代入将 q qaa nnn n SSaa 1 1 1 341,512, 2 1 )3( 2. 1 )512(1 341 q q q 解得： 10 )2(1512, 11 1 n qaa nn n 解得： 所以因为 11 2)1( 2 31 qq aa 即 nnaSq n 22221 1 ，所以，时，数列为常数列当 n q qa n nn Sq) 1(11 ) 1(1 ) 1(1 2 1 )1

7、( 1 时，当 说明： 选择适当的公式。并且要根据具体题意， 中，只知三可求二，在五个变量 nn Sanqa, 1 . . 作为第一要素来考虑。 的取值，应把它意在利用公式，一定要注q ？台（结果保留到个位）可使总销售量达到 几年，那么从今年起，大约比上一年的销售量增加 售量台，如果平均每年的销某商场今年销售计算机 30000 %10 5000：例3 解： 30000, 1 . 1%)101 (,5000 1 n Sqa 数列，每年的销售量成等比由题意可知，从今年起 值。的，求满足比数列分析：本例相当于在等nSa nn 30000 1 .11 )1 .11(5000 30000 n 由公式得：

8、 6.11.1 n 整理得 ,6.1lg1.1lgn两边取对数，得 5 041.0 2 .0 6 .1lg 1 .1lg n用计算器算得 台。年可使总销售量达到答：从今年起，大约300005 (1)(1) 等比数列前等比数列前n n项和公式：项和公式： 等比数列前等比数列前n项和公式项和公式 你了解多少？你了解多少？ Sn= 1-q (q=1) (q=1) qaa n 1 1 na Sn= 1-q (q=1) (q=1) )1 ( 1 n qa 1 na (2)(2) 等比数列前等比数列前n n项和公式的应用：项和公式的应用： 1.1.在使用公式时在使用公式时. .注意注意q q的取值的取值是

9、利用公式的前提；是利用公式的前提； . .在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。 利用“错位相减法”推 导 .n, 11 32 n sxxx项和的前、求等比数列 台厂的销售总量是多少万 年内该家电，问从今年起每一年比上一年增加 内万台，计划在以后量是、某家电厂去年的销售 10%10 102a qnsn、求,126 ,128,66) 1 (3 121 nnn aaaaa 中，在等比数列、 ,14,n)2( nnn ssa若项和为的前设等比数列 nn ss 32 ,126 求 ?n, 11 32 n sxxx项和的前、求等比数列 xqa , 1 1 解：由

10、已知条件得， n S x x n n 1 1 所以 )1( )1( x x x x x x n n n S 1 1 1 )1 (1 时，当1x nnaS n 1 时， 当 1x ? 10%10 102 台厂的销售总量是多少万 年内该家电，问从今年起每一年比上一年增加 内万台，计划在以后量是、某家电厂去年的销售a 总量组成等比数列。起，每年家电厂的销售解：由题意得，从今年 101 . 1%1011 . 1%)101 ( 1 nqaaa， )11 .1 (1 .1 10 1 .11 )1 .11(1 .1 10 10 aS a 所以 .) 11 . 1 (1 . 110 10 万台量是年内该家电厂

11、的销售总答：从今年起a ,128,66) 1 (3 121 nnn aaaaa 中，在等比数列、 qnsn、求,126 128 66 128 66 1 1 1 12 1 n n n n aa aa aa aa 解： 的两根是方程012866, 2 1 xxaa n 2 64 64 2 11 nn a a a a 或解得： 1, 1 qaa n 126,64,2 1 1 1 q qaa nn n saa则若 2,126 1 642 q q q 即即 6,2264, 11 1 nqaa nn n 又 6,2,64 2 1 1 nqaa n 则同理可得若 2, 6, 2 1 或综上所述qn ,14,n)2( nnn ssa若项和为的前设