函数奇偶性的概念

1、1.3.2 奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念 已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2, ,求求f(0),f(-1),f(1), f(-2), f(0),f(-1),f(1), f(-2), f(2),f(2),及及f(-x) ,f(-x) ,并画出它的图象并画出它的图象. . 解解: : f(-2)=(-2)f(-2)=(-2) =4=4， f(2)=4f(2)=4 f(0)=0,f(-1)=(-1)f(0)=0,f(-1)=(-1) =1,f(1)=1=1,f(1)=1， f(-x)=(-x)f(-x)=(-x) =x=x -xx f(-x)f(x) x y o 探究点探究点1 1

2、 偶函数的定义偶函数的定义 思考思考: :函数图象有什么特点？如何用数学语言描述？函数图象有什么特点？如何用数学语言描述？ 函数图象关于函数图象关于y y轴对称；轴对称； 对定义域内任意的自变对定义域内任意的自变 量量x x都有都有 ()( )fxf x 偶函数定义：偶函数定义： 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)f(x)的定义域内任的定义域内任 意一个意一个x x，都有，都有f(-x)=f(x) f(-x)=f(x) ，那么函数，那么函数f(x)f(x)就就 叫做偶函数叫做偶函数. . 思考：思考： 是偶函数吗？是偶函数吗？ 口答：口答： 2, 3,2f xx x 2, 1,1

3、f xx x 2, -1,1f xx x 2, -11f xx x ， 已知已知f(x)=x, f(x)=x, 求求f(0),f(-1),f(1), f(0),f(-1),f(1), f(-2),f(2)f(-2),f(2)及及f(-x),f(-x),并画出它的图象并画出它的图象. . 解解: f(-2)=(-2)f(-2)=(-2)=-8=-8，f(2)=8.f(2)=8. f(0)=0,f(-1)=(-1)f(0)=0,f(-1)=(-1)=-1=-1，f(1)=1f(1)=1， f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)=-x=-x x x y o -x f(-x) f(x) 探究点探究点

4、2 2 奇函数的定义奇函数的定义 思考思考: :奇函数奇函数图象有什么特点？如何用数学语言描图象有什么特点？如何用数学语言描 述？述？ x x y o-x f(-x) f(x) 函数图象关于原函数图象关于原 点对称；对定义点对称；对定义 域内任意的自变域内任意的自变 量量x x都有都有 fxf x 奇函数定义：奇函数定义： 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数 f(x) f(x) 的定义域内任意的定义域内任意 一个一个x x，都有，都有 f(-x)=-f(x) f(-x)=-f(x) ，那么函数，那么函数 f(x)f(x)就叫做就叫做 奇函数奇函数. . 思考：下列函数是奇函数吗？思考：下

5、列函数是奇函数吗？ 3, 1,1f xx x 3, -1,1f xx x 3, -1,1f xx x 【提升总结提升总结】 奇函数与偶函数定义中的三性奇函数与偶函数定义中的三性 (1)(1)对称性：奇、偶函数的定义域关于原点对称；对称性：奇、偶函数的定义域关于原点对称； 偶函数图像关于偶函数图像关于y y轴对称，奇函数图像关于原点对称；轴对称，奇函数图像关于原点对称； (2)(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，是对定义域整体性：奇偶性是函数的整体性质，是对定义域 内的每一个内的每一个x x都成立的；都成立的； (3)(3)可逆性：可逆性：f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)f(x)f

6、(x)是奇函数，是奇函数，f(-x)= f(-x)= f(x)f(x)f(x)f(x)是偶函数是偶函数. . 1.1.课本课本P35P35例例5 5 2.2.课本课本P35P35思考思考 1.1.函数不是奇函数就是偶函数吗？函数不是奇函数就是偶函数吗？ 答：答：函数按奇偶性分类：函数按奇偶性分类：有的函数为偶函数；有的函数为偶函数；有的函有的函 数为奇函数；数为奇函数；有的函数既是奇函数又是偶函数，如有的函数既是奇函数又是偶函数，如 f(x)0； 有的函数既不是奇函数也不是偶函数，如有的函数既不是奇函数也不是偶函数，如 y x(x0) 思考交流思考交流 2.2.若函数若函数f(x)f(x)为奇

7、函数，且在为奇函数，且在x=0 x=0处有定义，则处有定义，则 f(0)f(0)的值能确定吗？的值能确定吗？ 答：答：由奇函数的定义知由奇函数的定义知f(0)f(0)， 即即 f(0)f(0)， f(0)0. 1.1.函数函数f(x)=xf(x)=x2 2，x0 x0，) )的奇偶性是的奇偶性是( )( ) A.A.奇函数奇函数 B.B.偶函数偶函数 C.C.非奇非偶函数非奇非偶函数 D.D.既是奇函数，又是偶函数既是奇函数，又是偶函数 【提示提示】函数定义域不关于原点对称，所以函数是函数定义域不关于原点对称，所以函数是 非奇非偶函数非奇非偶函数 C C 2.2.已知函数已知函数f f（x x

8、）为奇函数，且当）为奇函数，且当x x0 0时，时，f f（x x）= = x x2+ + ，则，则f f（-1-1）= =（ ） A A2 2 B B1 1 C C0 0 D D-2-2 1 x 解题提示：解题提示：由条件利用函数的奇偶性可得由条件利用函数的奇偶性可得f f（-1-1）= = -f-f（1 1），运算求得结果），运算求得结果 D D 3. 3.若函数若函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+3a+b+bx+3a+b是偶函数，定义是偶函数，定义 域为域为a-1,2aa-1,2a, ,则则a=_a=_，b=_.b=_. 【解析解析】因为定义域为因为定义域为a-1,2aa-1,2a关于原点对称，关于原点对称， 所以所以a-1+2a=0a-1+2a=0，所以，所以a=a= 又因为又因为f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)， 所以所以 x x2 2-bx+1+b= x-bx+1+b= x2 2+bx+1+b,+bx+1+b, 由对应项系数相等得，由对应项系数相等得，-b=b-b=b，所以，所以b=0.b=0