第三章 静定结构内力计算

1、3.4 3.4 三铰拱三铰拱 1 1、拱定义：、拱定义：在竖向荷载作用下在竖向荷载作用下支座处产生水平支座处产生水平 推力推力的的曲杆结构曲杆结构。 在竖向荷载作用下支座处不产在竖向荷载作用下支座处不产 生水平推力，生水平推力，这种外形像拱但这种外形像拱但 内力和支座却不具备拱的特性内力和支座却不具备拱的特性 的结构，属于的结构，属于曲梁曲梁。 支座对上部结构仅起到支持的支座对上部结构仅起到支持的 作用，其弯矩与同跨度、受相作用，其弯矩与同跨度、受相 同荷载作用的简支梁的弯矩相同荷载作用的简支梁的弯矩相 同。同。 在竖向荷载作用下在竖向荷载作用下支座处支座处产产 生水平推力生水平推力，是，是拱

2、拱。 支座除了支座除了提供向上的支座力提供向上的支座力 外，还对拱产生水平推力，外，还对拱产生水平推力， 以阻止以阻止拱在拱在A A、B B杆端产生水杆端产生水 平方向背离的移动平方向背离的移动。由于水。由于水 平推力的存在，拱中各截面平推力的存在，拱中各截面 的弯矩将比相应的曲梁或简的弯矩将比相应的曲梁或简 支梁的弯矩要小，并且会使支梁的弯矩要小，并且会使 整个拱体主要承受压力。整个拱体主要承受压力。 2 2、拱的应用、拱的应用 主要用于屋架结构、桥梁结构。主要用于屋架结构、桥梁结构。 拱和曲梁的区别在于：竖向荷载作用下支座处是拱和曲梁的区别在于：竖向荷载作用下支座处是 否有水平推力。否有水

3、平推力。 3 3、拱的分类、拱的分类 本节仅对静定的三铰拱进行研究。本节仅对静定的三铰拱进行研究。 两铰拱两铰拱 无铰拱无铰拱 二、三铰拱的内力分析二、三铰拱的内力分析 三铰拱为静定结构，其全部约束反力和内力的三铰拱为静定结构，其全部约束反力和内力的 求解与三铰刚架完全相同，都是利用平衡条件即可求解与三铰刚架完全相同，都是利用平衡条件即可 确定。确定。 现以平拱为例，推导其支座反力和内力的计现以平拱为例，推导其支座反力和内力的计 算公式，与此同时，我们将其与同跨度、同荷载的算公式，与此同时，我们将其与同跨度、同荷载的 相应简支梁进行了比较。相应简支梁进行了比较。 1 1、支座反力的计算公式、支

4、座反力的计算公式 三铰拱两端是固定铰支座，其支座反力共有四三铰拱两端是固定铰支座，其支座反力共有四 个，全部反力的求解共需四个平衡方程。与三铰刚个，全部反力的求解共需四个平衡方程。与三铰刚 架类似，一般需取两次脱离体，除取整体列出三个架类似，一般需取两次脱离体，除取整体列出三个 平衡方程外，还需取左半个拱（或右半个拱）为脱平衡方程外，还需取左半个拱（或右半个拱）为脱 离体，再列一个平衡方程（通常列对中间铰的力矩离体，再列一个平衡方程（通常列对中间铰的力矩 平衡方程），方可求出全部反力。平衡方程），方可求出全部反力。 1 1223 3 1122 1 122 33 3 3 0,0, 0,; 0,.

5、 BAyPPP PPP Ay PPP ByA AxBxxH F b MF lF bF bF F bF b F l F aF aF a F l FFF b M F 取左半拱，由取左半拱，由 有有 所以所以 0 C M 1122 ()()0, 222 AyPPAx lll FFaFaFf 1122 ()() 222 . AyPP HAxBx lll FFaFa FFF f 将拱与同跨度、同荷载的水平简支梁比较，式将拱与同跨度、同荷载的水平简支梁比较，式(1)(1)与与 (2)(2)与恰好与相应简支梁的支座反力与恰好与相应简支梁的支座反力 和和 相等。相等。 而而式式(3)(3)中水平推力的分子等于

6、简支梁截面中水平推力的分子等于简支梁截面C C的弯的弯 矩矩 。故三铰拱的支座反力分别为。故三铰拱的支座反力分别为： 0 Ay F 0 By F 0 0 0000 C C AyAyByByHAxBxAyAyByByHAxBx MM F= F, F= F, F = F= F=F= F, F= F, F = F= F= f f 0 C M 三铰拱支座反力特点：三铰拱支座反力特点： 竖向反力与拱高竖向反力与拱高f f无关；无关； 水平反力与拱高水平反力与拱高f f成反比，成反比，f f越小，水平反力越大，越小，水平反力越大， 也就是说，也就是说，f f越小，拱的特性就越突出越小，拱的特性就越突出；

7、所有反力均与拱轴的形状无关，只取决于荷载与三所有反力均与拱轴的形状无关，只取决于荷载与三 个铰的位置。个铰的位置。 1 12233 ; PPP By F aF aF a F l 1 12 23 3PPP Ay F bF bF b F l 1122 ()() 222 . AyPP HAxBx lll FFaFa FFF f 3.4 3.4 静定桁架静定桁架 一、概述一、概述 1 1、桁架的定义、桁架的定义 定义：桁架是由若干直杆组成且全为铰结点的结构。定义：桁架是由若干直杆组成且全为铰结点的结构。 桁架的杆件依其所在位置的不同分为桁架的杆件依其所在位置的不同分为弦杆弦杆和和腹杆腹杆两种。两种。

8、桁架上、下外围的杆件称为弦杆。桁架上、下外围的杆件称为弦杆。上边的杆件称为上弦杆，上边的杆件称为上弦杆， 下边的杆件称为下弦杆。下边的杆件称为下弦杆。桁架上弦杆和下弦杆之间的杆件称桁架上弦杆和下弦杆之间的杆件称 为腹杆。为腹杆。腹杆又分为竖杆和斜杆。腹杆又分为竖杆和斜杆。 弦杆上相邻两结点间的区间称为弦杆上相邻两结点间的区间称为节间节间，其距离，其距离d 称为称为节间长节间长 度度。 两支座间的水平距离两支座间的水平距离l 称为称为跨度跨度。支座连线至桁架最高点的。支座连线至桁架最高点的 距离距离h 称为称为桁架高桁架高。 2 2、桁架的应用及其计算简图、桁架的应用及其计算简图 a a）应用：

9、）应用：主要用于房屋的屋架结构、桥梁结构等。主要用于房屋的屋架结构、桥梁结构等。 施工中的钱塘江大桥施工中的钱塘江大桥 （19371937） 福斯湾悬臂钢桁架桥福斯湾悬臂钢桁架桥 （18891889年）年） 钢筋混凝土屋架钢筋混凝土屋架木屋架木屋架 b b）桁架计算简图的形成中通常引用了如下假设：桁架计算简图的形成中通常引用了如下假设： （1 1）桁架中的铰为绝对光滑而无摩擦的理想铰。）桁架中的铰为绝对光滑而无摩擦的理想铰。 （2 2）各杆轴线均为直线且通过铰的中心。）各杆轴线均为直线且通过铰的中心。 （3 3）荷载与支座反力均作用在铰结点上。）荷载与支座反力均作用在铰结点上。 称满足如上三条

10、假设的桁架为理想桁架。称满足如上三条假设的桁架为理想桁架。 按上述假定，就可得出按上述假定，就可得出桁架各杆均为两端铰接的直桁架各杆均为两端铰接的直 杆杆( (称为二力杆），横截面内力只有轴力称为二力杆），横截面内力只有轴力，轴力符号以，轴力符号以 拉力为正，压力为负；截面上的应力是均匀分布的，可拉力为正，压力为负；截面上的应力是均匀分布的，可 同时达到最大容许值，因此，材料能得到充分利用。同时达到最大容许值，因此，材料能得到充分利用。 钢筋混凝土屋架理想情况下的计算简图 木屋架 理想情况下的计算简图 实际桁架通常不能完全符合上述理想情况。例如：实际桁架通常不能完全符合上述理想情况。例如： 1

11、 1）桁架中的结点并不能完全符合理想铰的情况；）桁架中的结点并不能完全符合理想铰的情况； 2 2）各杆轴无法绝对平直，各杆轴线也不一定通）各杆轴无法绝对平直，各杆轴线也不一定通 过铰心；过铰心； 3 3）若考虑自重和实际荷载作用情况，荷载不一）若考虑自重和实际荷载作用情况，荷载不一 定都作用在结点上。定都作用在结点上。 桁架在荷载作用下，某些杆件必将发生弯曲而产生附加桁架在荷载作用下，某些杆件必将发生弯曲而产生附加 内力，并不能如理想情况只产生轴力。内力，并不能如理想情况只产生轴力。 通常，把桁架在理想情况下计算出来的内力（即轴力）通常，把桁架在理想情况下计算出来的内力（即轴力） 称为称为主内

12、力主内力； 把由于理想情况不能完全实现而产生的附加内力（即弯把由于理想情况不能完全实现而产生的附加内力（即弯 矩和剪力）称为矩和剪力）称为次内力次内力。 大量的工程实践表明，一般情况下桁架中的主内力（轴大量的工程实践表明，一般情况下桁架中的主内力（轴 力）占总的内力（轴力力）占总的内力（轴力+ +弯矩弯矩+ +剪力）的剪力）的80%80%以上以上，因，因 此，主内力是桁架中内力的主要部分，即桁架的内力主此，主内力是桁架中内力的主要部分，即桁架的内力主 要是轴力，弯矩和剪力是微小的。要是轴力，弯矩和剪力是微小的。 本节仅对理想桁架本节仅对理想桁架（即各杆都只受轴力）（即各杆都只受轴力）进行讨论进

13、行讨论，次，次 内力的问题有专业文献论述。内力的问题有专业文献论述。 由基础或一个铰接三角形开始，依次增加二元体由基础或一个铰接三角形开始，依次增加二元体 而构成的几何不变体系称为简单桁架而构成的几何不变体系称为简单桁架。 二、分类二、分类 1 1）简单桁架）简单桁架 2 2）联合桁架）联合桁架 由两个或两个以上简单桁架按照几何不变体由两个或两个以上简单桁架按照几何不变体 系的组成规则所联成的结构称为联合桁架系的组成规则所联成的结构称为联合桁架。 3 3）复杂桁架）复杂桁架 不按上述两种方式组成的桁架不按上述两种方式组成的桁架。 三、桁架内力的计算方法三、桁架内力的计算方法 1 1、结点法、结

14、点法 2 2、截面法、截面法 3 3、联合法、联合法 1 1、结点法、结点法 所谓结点法就是取桁架的结点为脱离体，利所谓结点法就是取桁架的结点为脱离体，利 用各结点的静力平衡条件来计算杆件的内力。用各结点的静力平衡条件来计算杆件的内力。 结点法求解杆件内力需注意几个问题：结点法求解杆件内力需注意几个问题： 1 1）同其它静定结构（静定梁、静定刚架或三铰拱）同其它静定结构（静定梁、静定刚架或三铰拱） 一样，首先应求出所有支座反力。一样，首先应求出所有支座反力。 2 2）注意铰结点选取的顺序。从前面桁架的假定可）注意铰结点选取的顺序。从前面桁架的假定可 知：桁架各杆的轴线汇交于各个铰结点，且桁架各

15、知：桁架各杆的轴线汇交于各个铰结点，且桁架各 杆只受轴力，因此作用于任一结点的各力（荷载、杆只受轴力，因此作用于任一结点的各力（荷载、 反力、杆件轴力）均通过铰结点中心，从而组成一反力、杆件轴力）均通过铰结点中心，从而组成一 个平面汇交力系，而平面汇交力系只有两个独立的个平面汇交力系，而平面汇交力系只有两个独立的 平衡方程，最多只能求解两个未知力。平衡方程，最多只能求解两个未知力。 因此，应从最初遇到的只包含两个未知力的结因此，应从最初遇到的只包含两个未知力的结 点开始计算。点开始计算。 在简单桁架中，实现这一点并不困难。在简单桁架中，实现这一点并不困难。 因为简单桁架是由基础或一个基本铰接三

16、角形开始，因为简单桁架是由基础或一个基本铰接三角形开始， 依次增加二元体而形成，其最后一个结点只依次增加二元体而形成，其最后一个结点只 包含两根杆件。包含两根杆件。 分析时，可由整体的平衡先求出支座反力，然后分析时，可由整体的平衡先求出支座反力，然后 再再从最后一个结点开始，按几何组成的相反顺序，从最后一个结点开始，按几何组成的相反顺序， 依次考虑各结点的平衡，这样就可以保证每个结依次考虑各结点的平衡，这样就可以保证每个结 点上的未知内力不超过两个，从而直接求出各杆点上的未知内力不超过两个，从而直接求出各杆 的内力。的内力。 3 3）未知杆的轴力。求解前，所有未知杆的轴力）未知杆的轴力。求解前

17、，所有未知杆的轴力 都假设为拉力，若由平衡方程求得的结果为正，都假设为拉力，若由平衡方程求得的结果为正， 则杆件实际受力为拉力；若为负，则和假设相反，则杆件实际受力为拉力；若为负，则和假设相反， 杆件受到压力。杆件受到压力。 几何组成顺序：几何组成顺序： 2635426354 结点法计算顺序：结点法计算顺序：4536245362 1 2 3 4 56 7 8 10kN 20kN 10kN 2m 42m=8m 5 2 cos 5 1 sin F1y=30kN F8y=10kN 例例1 1 用结点法计算各用结点法计算各 杆轴力。杆轴力。 零杆零杆: :桁架中内力为零的杆件。桁架中内力为零的杆件。

18、注意：注意：零杆虽然轴力为零，但不能当成多余的杆件零杆虽然轴力为零，但不能当成多余的杆件 而去掉，静定结构去掉任何一根杆件都会成为几何而去掉，静定结构去掉任何一根杆件都会成为几何 可变体系而不能承载。可变体系而不能承载。 出现零杆的情况可归结如下出现零杆的情况可归结如下： （1 1）两杆汇交结点上无荷载作用时，则该两杆）两杆汇交结点上无荷载作用时，则该两杆 的内力都等于零。的内力都等于零。 1 0 N F 2 0 N FL L形结点形结点 （2 2）三杆汇交结点上无荷载作用时，如果其）三杆汇交结点上无荷载作用时，如果其 中两杆在一直线上，则另一杆必为零杆。中两杆在一直线上，则另一杆必为零杆。

19、0 N F 0 N F T T形结点形结点 （3 3）K K形结点形结点 12 NN FF 1 N F 2 N F （4 4）X X形结点形结点 12 NN FF 34 NN FF 例例2 2：判断图示结构的零杆。：判断图示结构的零杆。 P 结点法的计算步骤结点法的计算步骤: : 1.1.去掉零杆。去掉零杆。 2.2.按几何组成的相反顺序，依次考虑各结按几何组成的相反顺序，依次考虑各结 点的平衡，从而直接求出各杆的轴力。点的平衡，从而直接求出各杆的轴力。 有些情况下有些情况下, ,用结点法求解不方便用结点法求解不方便, ,如如: : 或者有时我们只想知道某些杆件的内力，而不是所有杆或者有时我们

20、只想知道某些杆件的内力，而不是所有杆 件内力时，用截面法求解比结点法更为直接简便。件内力时，用截面法求解比结点法更为直接简便。 2 2、截面法、截面法 （1 1）截面法的要点：）截面法的要点： 根据求解问题的需要，用一个适当的截面根据求解问题的需要，用一个适当的截面（平面（平面 或曲面）或曲面）截开桁架（包括切断拟求内力的杆件），截开桁架（包括切断拟求内力的杆件）， 从桁架中取出受力简单的一部分作为脱离体，脱从桁架中取出受力简单的一部分作为脱离体，脱 离体上作用的荷载、支座反力以及杆轴力组成一个离体上作用的荷载、支座反力以及杆轴力组成一个 平面一般力系，可以建立三个独立的平衡方程，从平面一般力

21、系，可以建立三个独立的平衡方程，从 而求出三个未知杆的轴力。而求出三个未知杆的轴力。 一般情况下，选截面时，一般情况下，选截面时，截开未知杆的数目不能截开未知杆的数目不能 多于三个，不互相平行，也不交于一点。多于三个，不互相平行，也不交于一点。 （2 2）截面法建立平衡方程的两种方法：）截面法建立平衡方程的两种方法：力力 矩法、投影法矩法、投影法 a a）力矩法：）力矩法：以三个未知力中的两个内力作用线的以三个未知力中的两个内力作用线的 交点为矩心，写出力矩平衡方程，直接求出另一交点为矩心，写出力矩平衡方程，直接求出另一 未知内力。未知内力。 b b）投影法：）投影法：若三个未知力中有两个力的

22、作用线互若三个未知力中有两个力的作用线互 相平行，将所有作用力都投影到与此平行线垂直相平行，将所有作用力都投影到与此平行线垂直 的方向上，并写出投影平衡方程，从而直接求出的方向上，并写出投影平衡方程，从而直接求出 另一未知内力。另一未知内力。 例例4 4 3NN2525 0,F1)1,F4;00MkN 1N35N35 22.36F4 s2)0,Fin;0,MkN N345 N34 3)0, 2 2F4 s, . 6 n 2 i 3 0 F. M kN A B C D E F G H 4312m 4m 60kN 30kN FAx0 FAy0 FGy90kN m m 例例5 5 FAx0 FAy0

23、 4 0:F300,F37.5 5 NBENBE Yk 0:F43030,F22.5 ENBDNBD MkN FAx0 FAy0 0: F40F0 BNCENCE M 如前所述，用截面法求桁架内力时，应如前所述，用截面法求桁架内力时，应 尽量使所截断的杆件不超过三根，这样所截尽量使所截断的杆件不超过三根，这样所截 杆件的内力均可求出。杆件的内力均可求出。 有些问题求解时，所作截面可能截断了有些问题求解时，所作截面可能截断了 三根以上的杆件，但三根以上的杆件，但只要被截各杆中，除一只要被截各杆中，除一 杆外，其余各杆均平行或汇交于一点，则该杆外，其余各杆均平行或汇交于一点，则该 杆的内力仍可首先

24、求得。杆的内力仍可首先求得。 PPPPP 2 1 3 4 5 PP 1 N 4 N PP 2 N 3 N P 1 N 5 N 2 N N1 N4 3.6 3.6 静定结构的内力分析和受力静定结构的内力分析和受力 特点特点 1. 1. 静定结构的基本特征静定结构的基本特征 （1 1）静定结构是无多余约束的几何不变体系。）静定结构是无多余约束的几何不变体系。 （2 2）静定结构的全部反力和内力均可由静力平衡条件）静定结构的全部反力和内力均可由静力平衡条件 求得，且其解答是唯一的确定值。求得，且其解答是唯一的确定值。 （3 3）静定结构的反力和内力只决定于平衡条件，而与）静定结构的反力和内力只决定于

25、平衡条件，而与 构件的材料性质以及截面的形状和尺寸无关。构件的材料性质以及截面的形状和尺寸无关。 （4 4）静定结构在支座移动、温度改变以及制造误差等）静定结构在支座移动、温度改变以及制造误差等 因素影响下，不产生反力和内力，但能产生位移因素影响下，不产生反力和内力，但能产生位移。 （5 5）静定结构在平衡力系作用下，其影响范围只限于）静定结构在平衡力系作用下，其影响范围只限于 该力系作用的最小几何不变部分，而其余部分内力必为该力系作用的最小几何不变部分，而其余部分内力必为 零。零。 P P/2P/2 CD aa AB AB PP （6 6）两个力系向同一点简化，如果合力相等，合力两个力系向同

26、一点简化，如果合力相等，合力 矩也相等，则该两个力系静力等效。矩也相等，则该两个力系静力等效。 静力等效的两个力系分别作用在同一静定结静力等效的两个力系分别作用在同一静定结 构构 上，只会使两力系共同占有的几何不变部分产生不上，只会使两力系共同占有的几何不变部分产生不 同的内力，而结构中其余部分的内力不变。同的内力，而结构中其余部分的内力不变。 2. 2. 常用静定结构的受力特点常用静定结构的受力特点 1 1）梁）梁：由受弯杆件组成。由受弯杆件组成。 由于弯曲变形引起的正应力在截面上分布不均由于弯曲变形引起的正应力在截面上分布不均 匀，使得材料强度不能充分利用，故当跨度较大匀，使得材料强度不能充分利用，故当跨