第三章 随机信号通过线性系统分析

1、163第三章 随机信号通过线性系统的分析第三章 随机信号通过线性系统的分析 本章主要内容：l 线性系统的基本理论l 随机信号通过连续时间系统的分析l 随机信号通过离散时间系统的分析l 色噪声的产生与白化滤波器l 等效噪声带宽l 解析过程l 窄带随机过程基本概念l 窄带高斯过程包络与相位的概率密度l 窄带高斯过程包络平方的概率密度3.1随机信号通过连续时间系统的分析在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性。分析方法：卷积积分法；频域法。3.1.1、时域分析法1、输出表达式（零状态响应，因果系统）输入为随机信号某个实验结果的一个样本函数，则输出为： 对于所有的，输

2、出为一族样本函数构成随机过程： 2. 输出的均值：证明： 3系统输入与输出之间的互相关函数证明：4、系统输出的自相关函数已知输入随机信号的自相关函数，求系统输出端的自相关函数。 显然，有： 5、系统输出的高阶距 输出n阶矩的一般表达式为 注意：上面的分析方法是零状态响应的一般分析方法。它既适用于输入是平稳随机信号的情况，也适用于输入是非平稳的情况。 3.1.2、系统输出的平稳性及其统计特性的计算1、 双侧随机信号 在这种情况下，系统输出响应在 t0时已处于稳态。 （1）若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。那么由于假定连续系统是稳定的，所以 由于输出

3、的均值是常数，而输出的相关函数只是的函数，且输出均方值有界。所以，输出随机过程为宽平稳的。可总结如下：输出均值：输入与输出间的互相关函数为输出的自相关函数为输出的均方值即输出总平均功率为 若用卷积的形式，则可分别写为 （2）若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。 证：对于时移常数有 输出Y(t+)和输入X(t+)联系的方式与Y(t)和X(t)联系的方式是一样的。由于随机信号X(t)是严平稳的，所以X(t+)与X(t)具有相同的n维概率密度函数。因而Y(t+)与Y(t)也具有相同的n维概率密度函数，即Y(t)是严平稳的。 （3）若输入X(t)是宽遍历性的，则输出Y(t)也是宽遍历

4、性的。 证：由X(t)的宽遍历性的定义得 则输出Y(t)的时间平均 故Y(t)是宽遍历性的。 例3.1 如图4.4所示的低通RC电路，已知输入信号X(t)是宽平稳的双侧随机信号，其均值为，假设X(t)是相关函数为(t)的白噪声，求：求输出均值；输出的自相关函数；输出平均功率；输入与输出间互相关函数：和。 图3.1 RC电路解：该电路的单位冲激响应为 其中:输出的均值为 因为输入相关函数为 则输出自相关函数 即：上式要分别按0与0求解。当0时（注意h(t)因果）有： 由于自相关函数的偶对称性，则当0时有 合并0和0的结果，得到输出自相关函数 在上式中0即可得输出的平均功率为 注意到b是时间常数的

5、倒数，它与电路的半功率带宽有关。 于是的输出平均功率又可写为 显然，该电路输出平均功率随着电路的带宽变宽而线性地增大。 根据式有 同理例3.2 应用举例：测量线性系统单位冲激响应的方法 图3.2 测量线性系统单位冲激相应的方法输入X(t)是白噪声。Z(t)= X(t-)Y(t)，Z(t)通过一个带宽充分地小的低通滤波器的输出将几乎是Z(t)的直流成分(也就是它的时间平均)。若输入X(t)是遍历性的，则Z(t)也将是遍历性的，Z(t)的直流分量将与Z(t)的均值相同。因此因此在平稳的情况下 所以 根据式得即由此可见，低通滤波器输出端的直流分量正比于系统的单位冲激响应。改变，就能测出线性系统的完整

6、单位冲激响应。推广：通常只要输入随机信号的带宽与被测线性系统带宽的比值很大时，利用互相关函数测量设备就能得出单位冲激响应h(t)。例3.3 输入随机信号的带宽远大于线性系统带宽，则可把输入信号看作白噪声。设X(t)的自相关函数为，这里，为各自的半功率带宽， ，求。解： 当时，分和两部分积分： 因为，所以 因为，则，即输入的相关函数为白噪声通过一个线性系统 。结论：在输入噪声的带宽远大于系统带宽的情况下，分析系统输出的统计特性，可以合理地利用白噪声来近似输入随机信号。2、单侧随机信号此时，输入随机信号是在t=0时刻作用于系统的，如图3.3所示。图3.3 X（t）在t0是刻作用于系统此时，输出为：

7、设X(t)是宽平稳的，则有由以上各式可见，输出的均值是时间t的函数，相关函数不再只是时间差的函数，而与t1，t2有关，因此，输出响应也不是平稳的。这是因为实际系统输入的信号 (即单侧信号)是非平稳的缘故。 例3.4 在例3.1中让X(t)在t0时刻加入系统，求输出的自相关函数和平均功率。解： 输出的自相关函数为 分0和0两种情况求解。当0即时，二重积分的积分区域如下图4，先对v求积分。（注意这时v=u+u，u取值0t1）图 3.4 例3.4 积分区分区域 同理当时，有 在中令t=t1=t2可得输出平均功率为： 显然，输出是非平稳的。当输出响应进入稳态。 注意：系统有初始贮能时，输出响应为零状态

8、响应与零输入响应之和。由于初始贮能引起的零输入响应是瞬态响应，对于稳定系统而言，当时，系统输出是渐近平稳的。例3.5 假设在图3.5所示的电路中，开关K长时间地打开着。当t=0时，开关K闭合。X(t)为单位白高斯电压源，求t0时电容器两端电压的平均功率。解：由题意知，在开关K闭合之前电路已处于稳态，出此输出是宽平稳的。电路的单位冲缴响应为图3.5 例3.5电路图（注意） 此时，电容器两端电压的平均功率为 开关闭合时，系统的微分方程为： 初始条件是V(0)。因此，零输入响应为 则t0时电容两端的平均功率为 显然，均方值是时间的函数，因而输出是非平稳的。 3.1.2、频域分析法对确定信号，我们采用

9、，再求付氏反变换得到。对随机信号，不能采用上面的方法。假定输入信号X(t)是平稳双侧随机信号，则输出Y(t)也是宽平稳的，Y(t)与X(t)是联合平稳的。1、系统输出的均值 2、系统输出的功率谱密度 式中是系统的传输函数。其幅频特性的平方|H(w)|2 称之为系统的功率传输函数。显然： 3、系统输入与输出间互谱密度 传递函数为： 相频特性H(w)为： 若将SXY表示为 则有 于是，不难看出系统的相频特性为 4、系统输出的功率谱密度函数用复频率 ()表示为 小结：（1）当系统的单位冲激响应h(t)为比较简单的函数时，应用卷积积分法是比较方便的。（2）频域分析法只能计算平稳输出随机信号的特性，方法

10、简易。（3）这两种方法分析的都是系统的零状态响应。5、拉氏变换与付氏变换关系 （）当不可积时，可积。因此对于随机信号，通常情况下其拉氏变换存在。例3.6 采用频域分析法重做例3 .1。解： 低通RC电路的传输函数为 电路的功率传输函数为 (1)系统输出的自相关函数为 (2)输出平均功率为 (3)互相关函数为 同理： 可见，频域上的分析与时域上的分析，所得结果完全一致。 6、系统输出平均功率的计算系统输出的平均功率可表示为 3.3 3dB 带宽和等效噪声带宽3.3.1、白噪声通过线性系统 设连续线性系统的传递函数为或，其输入白噪声功率谱密度为，那么系统输出的功率谱密度为 或物理谱密度为 输出自相

11、关函数为 输出平均功率为 注意：上式表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性 决定，不再保持常数。这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过的原因。3.3.2等效噪声带宽1 前言当系统比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特性是困难的。在实际中为了计算方便，常常用一个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统，在等效时要用到一个非常重要的概念等效噪声带宽，它被定义为理想系统的带宽，用表示。2 等效的原则：(1) 理想系统与实际系统在同一白噪声激励下,两个系统的输出平均功率相等；（2）理想系统的增益等于实际系统的最大增益。

12、3 计算实际系统的等效噪声带宽讨论幅频特性为 (见图3.5a)的低通线性系统受功率谱密度为的白噪声激励。消耗在1电阻上的系统输出端总平均功率为：图3.5 （a）任意低通系统幅频特性 （b）理想系统幅频特性而理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为（积分限0，K=带入4.5.4式） 根据等效原则，上面两式相等，应有K，实际系统的等效噪声带宽为 对于一般的低通滤波器，的最大值出现在0处，即。 对于中心频率为带通系统(如单调谐回路)，的最大值出现在处，即。 用拉氏变换表示： 输出的平均功率为：推论：时域的等效噪声带宽l 低通滤波器,注意分母为H(0)l 带通滤波器推广：可以把任一平稳随机信号等

13、效成一限带白噪声，限带白噪声功率谱是矩形功率谱，其幅度为和宽度为2，其中(注意)例3.8 求图3.4所示RC电路的等效噪声带宽。解：RC电路的传递函数 显然， 3dB带宽 作比较与等效噪声带宽不相等。它们都是仅由系统本身参数决定的。实际上，当线性系统的型式和级数确定之后，和也被确定，而且二者之间有着确定的关系。 小结：由系统的等效噪声带宽可求出系统的输出噪声功率，当系统输入白噪声时，仅使用参数和就可以描述非常复杂的线性系统及其噪声响应。4、 信噪比计算（A）式中表示输入信号的平均功率， N02表示输入噪声的平均功率。例3.9 假设测得某通信系统中接收机调谐频率上的电压增益是106 ，等效噪声带

14、宽为10kHz。该接收机输入端噪声具有数百兆赫兹的带宽(输入信号可以看成白噪声)，设输入噪声的功率谱密度是210-20V2/Hz，问为使接收机输出端的功率信噪比为100，输人信号的有效值应是多大? 解：带入（A）式(注意增益对信号和噪声都同时放大)，得 则要求的输入信号有效值为 3.4 窄带随机过程的表示方法 3.4.1 希尔伯特变换1证明：由对称性性质：若，则因为，所以整理得：2 逆变换 这里。证明： 若输入信号为，通过一个滤波器后，输出为。则：显然有：所以反变换，即证。3 性质（1）希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。图 3.6 希尔伯特变换等效为90移项的线性滤波器i. 物理意义4希尔伯特

15、变换的应用： 希尔伯特变换除了构成解析信号外，还在单边带调幅中有应用。单边带调制只取半个边带传送信号，节约了带宽。通常有两种实现方法：滤波法和相移法（1） 滤波法（难点在于滤波器设计）图3.7 滤波器法原理（2） 相移法（难点在移相网络）图3.8 相移法单边带调制器方框图要想使基带信号都移相900是很难的，但希尔伯特变换很容易解决了这个问题，特别适用于数字器件的实现。（注意，）3.4.2解析过程及其性质1 解析过程现在将解析信号的定义推广到随机过程这就是解析过程。称为实随机过程的复解析过程，简称解析过程。2 解析过程的性质（1） 若为实平稳随机过程，则也是实平稳过程，且联合平稳。 因为希尔伯特

16、变换是线性变换，输入平稳，输出也为平稳过程，且联合平稳。（2） 实函数与其希尔伯特变换的相关函数（功率谱）相同证明： 因为：由输入与输出的功率谱密度的关系，得：则 （注意）经付氏反变换，得： 图 3.9（3） ；证明： （由等效形式1）同理可证：（4）由性质3直接得出。（5）这说明希尔伯特变换与它的原实过程之间的互相关函数为奇函数。证明参见性质3证明。（注意为偶函数） （性质3）（6）由性质5即可得证。因为。这表明，在同一时刻t，随机变量和正交，即（7） （性质2和4）（8）证明：由性质3， 这里，表示等效的希尔伯特变换的冲激相应，两边去付氏变换得：（9）证明：由性质7，两边取付氏变换，【例3

17、.9】设低频信号a(t)的频谱为：证明：设，其频谱 ，其希尔伯特变换的功率谱密度为： （） (注意)同理可证：3.5窄带随机过程的表示方法3.5.1 窄带随机过程的定义，则称此过程为窄带平稳随机过程。图 3.10窄带随机过程的功率谱密度图3.5.2 莱斯表达式及a(t)、b(t)性质1 莱斯表达式任何一个实平稳窄带随机过程X(t)都可以表示为：其中为固定值，a(t)、b(t)是另外两个随机过程，且称此为莱斯表达式。证明：将X(t)表示成解析过程，有令：， 可得： 所以即证。（注意这里a(t),b(t)是两个随机过程，不是确定性函数）2.准正弦振荡表示形式由上面证明过程可看出，窄带随机过程还可以

18、表示为三角函数形式：其中：显然， 3 a(t),b(t)的性质（注意X(t) 为平稳过程，这里假设其均值为0）i. a(t)和b(t)都是实随机过程证明：因为X(t)和都是实过程。由莱斯表达式，a(t)和b(t)都是实随机过程。ii.证明：因为由假设，所以，（线性变换）因此，同理：iii. a(t)和b(t)都是平稳随机过程，且联合平稳。证明：+ +因为：, 与t无关所以，由性质2，知所以，a(t)平稳。其它同理可证。注意： iv.证明：由性质3可得。v.证明：+ -+因为：,， 其它同理可证vi.证明：由性质5，可证vii.证明方法同性质5。viii.证明：由性质3，有： 两边取付氏变换，注

19、意，得： 图 3.11显然，为低频限带的。ix.证明：由性质5， 两边取付氏变换，注意得：若关于中心频率对称，则：，所以图 3.123.5.3 工程上产生窄带噪声的两种方法1、使用窄带滤波器宽带白噪声发生器窄带带通滤波器 窄带噪声 图 3.132、 使用莱斯表达式: 白噪声低通滤波器白噪声低通滤波器振荡器 - 图3.143.5窄带随机过程包络与相位的特性3.5.1 窄带随机过程包络与相位的慢变化特性 定理：当为窄带随机过程，即的功率谱带宽，和是慢变换的随机过程。证明：因为和是低频限带随机过程，即它们的功率谱只在区间内非0，且。则 注意到功率谱非负性和偶函数 注意: 注意：即：(此式说明：若（即

20、），在t到的时间内，的变化的均方值远小于的均方值。)因为，即，令，由知由切比雪夫不等式：,令，注意 带入上式，得：即显然，当即，对于给定的右式趋近于0。结论： X(t)为窄带随机过程时，在一个高频周期内，a(t)的变化的概率趋于0。也就是说，a(t)为慢变换的随机过程，同理，b(t)也为慢变化随机过程，则A(t)，也是慢变化的随机过程。3.5.2包络和相位的一维概率密度假设窄带高斯实随机过程X(t)的均值为0，方差为，则，这里 令t=t时刻，有随机变量显然 1，求因为： （性质2） 为高斯随机变量 （为高斯随机过程，为的线性变换，也是高斯随机过程，、为和线性变化，也是随机过程。） （性质4）

21、相互独立（，即正交，又它们为0均值，所以不相关；再考虑它们为高斯随机变量）所以有：2求利用，得： 带入得3、求利用边沿分布，可得：显然：这说明，在同一时刻，两变量相互独立，但并不意味着随机过程相互独立。3.5.3窄带高斯过程包络平方的概率密度 图3.15 高频窄带滤波器加平方滤波器 已知窄带随机过程得包络的一维概率密度为：令 ，得于是有： 这表明的概率密度为指数函数3.5.4窄带高斯随机过程包络与相位的二维概率密度函数1 先求因为是均值为0，方差为的随机变量，令：则 （1）这里，K为协方差矩阵。注意到：得协方差矩阵：考虑最简单最常用的功率谱密度关于中心频率对称的情况，这时，则上面矩阵变为：注意

22、到此矩阵对称，它的代数余子式矩阵的系数为： 其它系数所以： （2） （3）把（3）式带入（1）式，得： 再求因为 所以 得：2求和的各自二维联合概率密度3.6正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位特性假设 令则讨论方法：先在给定值条件下采样，再采用前面包络的二维概率密度的讨论方法。1， 先求条件二维密度2， 由随机变量的函数的概率分布求3， 由边沿分布求和4， 再讨论和=因为表达式与无关。讨论复杂。习题31、（a）已知一个常数，一个密度是的随机变量，我们构成过程。试证它的功率谱等于。 （b）若另外还知道一个在区间均匀分布的随机变量，证明过程的功率谱等于 32、试证，若输入到一个因果系统当时去的是白噪声，其功率谱是，则输出的平均功率为 33、设和是两个相互独立的平稳过程，均值和都不为零，且已知，定义 试求和。34