工程的中的数值分析报告

1、工程中的数值分析开放性考试题目：分院：班级：姓名：学号：完成日期：工程中的数值分析建筑与土木工程系14 土木工程本一陈凯2016 年 12 月 14 日温州大学瓯江学院教务部二一二年十一月制1.1 二分法的和算法及 Excel 实现原理:设函数 f(x)在a,b上连续,且f(a) f(b)0 由闭区间上连续函数的性质及定理2-1 可知,方程(2.2)在区间 (a,b) 内至少有一个实根 .二分法的基本思想是 :逐步二 分区间 a,b,通过判断两端点函数值的符号 ,进一步缩小有根区间 ,将有根区间的 长度缩小到充分小 ,从而求出满足精度要求的根的近似值 .算法:给定精确度,用二分法求函数 f(x

2、) 零点近似值的步骤如下 : 确定区间a,b,验证 f(a) f(b)0, 给定精确度 .求区间(a,b)的中点 c.计算 f(c).(1) 若 f(c)=0, 则 c 就是函数的零点 ;(2) 若 f(a) f(c)0, 则令 b=c;(3) 若 f(c) f(b)0, 则令 a=c.(4) 判断是否达到精确度 :即若|a-b|, 则得到零点近似值 a(或 b),否则重复 2-4. Excel 实现:单元格内分别输入区间 a,b 的左右端点值 ,中点值 =(a+b)/2, 依次计 算出各点代入公式的 f(x)值,用 IF 函数比较单元格内输入“ =IF(f( 中点值)0 ” 中点值,a)如果

3、 f(中点值)0,则下个左端点取原来的中点值 (a+b)/2.同理“ =IF(f( 中点值)0,b, 中点值)”下个右端点取原来的右点值 b. 如此循环往下 ,直至某个中点值代入 f(x) 得到的解满足题目要求的近似解或者零 点即 f(c)=0 则该值则为零点1.2 不动点迭代法的原理和算法及 Excel 实现，并分析不同迭代格式的收敛性 原理:将线性方程 f(x)=0 化为一个同解方程 x= (x),并且假设 (x)为连续函数 ,任 取初值 x0,代入方程得到 x1=(x0),x2=(x1)xk+1 =(xk),k=0,1,2, 称为求解非线性方程组的简单迭代法 ,称(x)为迭代函数 ,xk

4、称为第 k 步迭代值. 若xk收敛 ,则称迭代法收敛 ,否则称迭代法发散 .算法：(1) 确定初值在 B2 和 D2 分别输入左端点 a 和右端点 b在 A5 中输入公式： =B2 ，A6 输入： =A5+(D$2-B$2)/10 ，并往下复制下去在 B5 输入 f(x) 方程并代入求值，并往下复制下去做散点图，找到图接近 x 轴的 f 值，作为迭代的初始值。(2) 方程化为等价方程，并定义迭代格式(3) 迭代输入初值 x，输入迭代格式，并往下复制下去( 4)在输入 f 的计算公式，往下复制下去，通过观察数值是否收敛，若收敛，则取收敛到后面的数值；若发散，则更改定义迭代格式，再重新重复以上步骤

5、进行计算。Excel 实现 :x3-x+1区间端点a= -1 b= 0f(x)-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 迭代式1112131415-0.629-0.312-0.0430.1840.3750.5360.6730.7920.899:xk+1 =(x k -1)1/31.3749984-0.4999938481.3749994-0.4999979831.3749998-0.4999993281.3749999-0.4999998431.3749999-0.49999991.374999916-0.5000000941.374999917-0.500

6、0000981.374999918-0.50000009919-0.50000001.37520-0.50000001.37521-0.50000001.375f(x19)=1.375不同迭代格式的收敛性：假定迭代函数 (x) C1 a，b 满足下列两项条件：(1) 对任意 x a，b 有ax b，(2) 存在正数 L1 ，使对任意 x a，b有 ,(x) L 1，则迭代过程 xk 1 (xk)对 于任意初值 x0 a， b均收敛于方程 x x 的根 。(3) 若方程有根 ，(， ) 1，且 ，在 的某领域 U( )内连续，则存在0，只要 x 0，就有迭代法 xk 1 (x k)收敛 。1.3

7、 Newton 迭代法的原理和算法及 Excel 实现。原理：Newton 迭代法的基本思想是“以直代曲”，将 f( x)=0 在每一步近似 为线性方程来求解，具体方法如下：将 f( x)在 xk 作 Taylor 一阶展开f(x)=f(x k)+f (xk)(x-x k)+1/2!f ()(x-x k)2,介于x 和 xk 之间. 略去上式中的二次项，得到线性方程，解出 x，作为新的近似根 xk+1 ： xk+1 =x k-f(x k)/f (xk),k=0,1,2,3 Newt称on为 迭代法 算法:先假定方程的有根区间为 a,b ，计算a,b 区间内各个点(整数点)的函数 值，当函数值出

8、现 f(a0)0 时， a0,b0即为方程的有根区间。将有根区间的长度若干等分，求出对应的点的函数值。将此数据绘图，并根据所 绘的图求得初始值。求得方程 f（x）的一次求导公式 f （x），得到迭代公式 xk+1 =x k-f （xk） /f （xk），将初始值代入迭代公式中计算出下一项的 x 值，并 计算对应的函数值，新的 x 值代入迭代公式中继续计算出下一项的 x 值，重复 步骤，直到 x 的值相同不再变化，此 x 值即为方程的近似解。Excel 实现 :迭代法求方程 x3-x-1确定初值在 B2 和 D2 分别输入左端点 a 和右端点 b在 A5 中输入公式： =B2 ，A6 输入： =

9、A5+（D$2-B$2）/10 ，并往下复制下去在 B5 输入 f（x） 方程并代入求值，并往下复制下去做散点图，找到图接近 x 轴的 f 值，作为迭代的初始值。方程化为等价方程，并定义迭代公式为 x-（x3-x-1）/3x2-1上图知迭代初值 1.4区间端点a= 1b= 2作图数据区1-11.1-0.7691.2-0.4721.3-0.1031.40.3441.50.8751.61.4961.72.2131.83.0321.93.95925迭代公式为 x-(x3-x-1)/3x2-1不动点迭代kxkf(xk)01.40.3441.329508190.020519917161.32473920

10、9.06038E-022531.324717951.79368E-0xf(x)1.324717954701.3247179557089F(x4)=0, 方程解为 1.3247179572.1 线性方程组的数值求解的原理和算法及 Excel 实现。Gauss 消去法原理 :设有线性方程组，将其增广矩阵( A 丨 b)通过初等行变化为( A(n)丨 b(n)， A(n)为上三角阵，在经过回代解除与原方程组同解的三角形方程组A(n)x=b (n)的解，得到方程组的解。算法： 把方程组化为上三角形方程组，做消元的步骤，再做回带的步骤，解上三角形 方程组 A(n)x=b(n) 。Excel 实现： x1

11、+x 2-4x 4=1 -x 1 +4x2+x 3+3x 4=-2 x1+3x 2+5x 3-4x 4=-4 2x 2+2x 3-3x 4=-2Ab120-411413-2135-4-4022-3-2120-41161-1-11150-5022-3-2120-4161-1-167 330.3333333 0.333333333 337 3-0.33333333-330.1666666 4.8333333 0.16666666 -4.8333333320614.833333333-41 1-1-1 0-4.833333331 -130.0689655 -3.011494250 017 3三角分解

12、法原理： 将系数矩阵 A 分解为两个三角形矩阵的乘积 A=LU ，进而将 原方程组的求解转化为两个三角形方程组的求解。若有三角阵 LU,使 A=LU, 则方程组 Ax=b 与方程组 LUx=b 等价，而后者等价于 两个三角形线性方程组： Ly=b ，Ux=y 。算法：将线性方程组的系数矩阵 A 分解为三角形方程组的乘积 LU，称为矩阵 A 的 LU 分解；再将线性方程组的求解转换为三角形方程组的求解。A 稠密 LU 分解法A 对称 LDL 分解法A 正定 LL 分解法A 三对角线 追赶法Excel 实现 :新建 Excel 表格 ,依次按顺序输入矩阵数据 一句矩阵与逆矩阵相乘为单位矩阵原理 ,

13、依次从 A-D 列数据从下至上依照公式 计算逆矩阵数据三角形矩阵求逆U-10.25 -0.5-0.75 0.43751 0 -0.751 -0.250.253.1 Lagrange 插值的原理和算法及 Excel 实现；原理 :将待求的 n 次多项式插值函数pn(x )改写成另一种表示方式，再利用插值条件确定其中的待定函数，从而求出插值多项式n=1 时，设 yi f xi ，i 0，1.作直线方程：y y0y1 y0 (x x0)y0(x1x0)y1 x x0y0 x x0y0(x1x)y1 x x0令 L1 xx x1 y0 x x0 y1，称 L1为两点式插值或线性插值 x0 x1x1 x

14、0n 2时，设 yi f xi ,i 0,1,2. 令：xx1xx2xx0xx2xx0xx1L2 x1 2 y00 2 y10 1 y2,x0x1x0x2x1x0x1x2x2x0x2x1称 L2 为三点式插值或抛物插值 .算法:先建立一个 Excle 数据表 :插值节点xiABCDyiEFGH插值点与函数计算值L0L1L2L3L3(x)在单元格中输入插值点 a求基函数 L0=(a-B)*(a-C)*(a-E)/(E-F)/(E-G)/(E-H)L1=(a-A)*(a-C)*(a-D)/(F-E)/(F-G)/(F-H)以此类推求至 L3, 再求出 L3(x).再输入最后一个基函数 L3(x)的

15、计算公式： =SUMPRODUCT 公式得到 f(x)的近似值Excel 实现 :插值节点xi1234yi18201517插值点与函数计算值xL0L1L2L3L3(x)2.5-0.06250.56250.5625-0.062517.5作图数据区点数:100xL0L1L2L3L3(x)11000180.0095541.030.94589550.0877635-0.0432135518.2956131.060.8935640.171108-0.0829080.018236 18.5727040.0260711.090.84297850.2501145-0.1191645518.8316511.12

16、0.7941120.324864-0.1520640.033088 19.0728320.0393121.150.74693750.3954375-0.181687519.29662551.180.701428 0.461916-0.2081160.044772 19.503408拉格朗日插值图形17 L3 插值节点 插值点11.5 22.53 3.5 43.2 Newton 插值的原理和算法及 Excel 实现。原理： 牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=fx 0+fx 0,x1(x-x 0)+fx 0,x1,x2(x-x 0)(x-x1)+.fx 0,.xn(x-x 0)

17、.(x-x n-1 )+Rn (x)。改写 L1，L2：x x1x x0y1y0xy0y1y010 x x0x0 x1x1x0x1x0f x1f x0f x0(x x0),x1 x0L2 x f x0f x1 f x2 x1 f x2 f x0 x2 x0x x0x0f x1 f x0x1 x0x x0 x x1 . x2 x1记 f x,yf y f xyx, f x,y,zf x,z f x,y y,则两点公式可改为： N1 x f x0f x0,x1x0 ;三点公式可改为： N2 x f x0f x0,x1x0f x0,x1,x2 x x0 x x1 .这种插值形式的基函数为 1，xx0

18、 , x x0x1 ，系数称为差商（均差）算法:先建立一个Excle 数据表 :插值节点xiyil0一阶二阶三阶四阶五阶1)计算差商表假设 n 次输入一阶差商的计算公式“ =(B-A)/(2-1) ”以此类推往下拉 输入二阶差商的计算公式用一阶的值相隔两数相减除以 x 对应相隔两数相减的 值,以此类推往下拉三阶 ,四阶 ,N 阶如此算下去(2)计算插值点处的函数值输入插值点；分别输入 Newdon 插值函数 N1，N2 N-1的计算公式； 分别得到插值点处的 1 阶至 n-1 阶插值函数值 .插值节点xi123456yi122021112415差商表xifi-0.666666661.58333

19、3331128-3.5-0.97573-3.291666662201-5.55.6666666677321-1011.5-7.541113-11524-9615插值点与函数计算值xN1N2 N3N43.733.617.535 15.39313.866825作图数据区100xN1N2N3N411212121212.56621.0512.4512.504512.071864061.112.813.11513.00112.21582513.64621.1513.2513.48912.424614061.213.614.1613.96812.691214.65621.2514514.437513.00

20、8789061.314.415.13514.89713.37082515.59621.3514.815.34613.770989065牛顿插值图形N3N4 插值节点 插值点4.1 数据拟合的最小二乘法的原理和算法；原理 :当实验提供了大量数据时 ,由于观测数据往往不准确 ,因此不能要求 y=f（x） 通过所有点 ,只要求i=f（x i）-y i（i=1,2, ,m） 严格为零 ,使近似曲线尽量反映所给数 据点的变化趋势同时偏差平方和最小，常采用欧式范数作为误差度量的标准,此即称为最小二乘法原理。算法 :关于最小二乘法的一般提法是：对给定的一组数据（xi,yi）（i=0,1 ，.，m )，要求在

21、函数类 =Span 0(x),1(x),2(x),n(x)中求函数S（* x）a*j j （x）使误差平j 方0 和mm22m i2m（i 0 i 0 为了使问题的i提0 法更有i 0m* 2 * 2S（* x i） yi）2 mS in （S（* xi） yi）22m*2(i S(* x i) yi)2i0minSi0*2i S(* x i) yi)24.3)一般性，通常在最i小0二乘法中考虑加权平方和0表示不同点（ xi， f（xi）处的数据比重不同，称为权系数，例如i 可表示在点（xi，f（xi）处重复观测的次数。按条件式（ 4.3 ）求函数 S（* x）的方法称为数据拟合的最小二乘法，

22、用几何 语言，即称为曲线拟合的最小二乘法。称 S（* x）为最小二乘解， S（x）为拟合。 函数。4.2 直线拟合最小二乘法的 Excel 实现 建立 Excle 数据表 ,输入实验数据 输入拟合多项式的次数 列出法方程组在 B6:F9 中并输入计算公式计算出结果 .之后分解方程组再回代入方程中 ,并且计算平方误差 ,作图4.35.4X1.22.8Y2.111.528.141.9W1111次数法方程组1413.70083.613.756.9300381.810010000010解法方程组26.850041.8-11.77739196XP(X)3.117.79922558作图数据区点数100XP

23、(X)-0.328378711.261.2420.0723367471.2840.4730522111.3260.8737676743.163463292 0010130.18211093 9.54084436700004.3 曲线拟合最小二乘法的 Excel 实现。 建立Excle数据表,输入实验数据 ,依照数据变化趋势设想 y=f(x) 的方程,再用线性 函数 S(u)来拟合数据 .将数据取倒数变换到下方 ,再有法方程组输入公式计算 ,进行矩阵分解以及回代 结果 .计算平方误差最后确定初值输出作图数据 .实验数据12345678t91011121314151646.58.018.799.3

24、9.59.79.86y1010.210.3210.4210.5110.5810.6210.711111111111111110.33330.16660.142810.5333330.250.266667571430.11110.10.09090.08330.07690.07140.06661111109091333332307728571666670.15380.12480.11370.10750.10520.10300.25461544394565643268826315892784w0.10.09800.09680.09590.09510.09450.0941392169922569294

25、74791795861959111111111111113.38071.82791628993515133.38071.58430.5273289934653343796变化数据0.1250.06250.1014198780.093457944110.84510.45690.0799平方误4822488787877364差0.93270.15120.16210.000345142800748800528967解法方程组作图数据区4.12941096074.52461.15737164.88431.306235.21291.45174345.51431.6551465.79181.7556083

26、6.04811.9625456.28562.0513356.50622.2154022.356.7117拟合曲线系列 1线性 (系列 1)5.1 数值积分的原理和算法；原理:将函数图形与 x 轴形成的图形等分求面积即求其积分算法 :从不同角度出发， 通过各种途径来构造数值求积公式， 常用的一个方法是， 利用插值多项式来构造数值求积公式，具体做法如下：在积分区间 a,b 上取一组点： a=x 0x 1 x n=b, 做 f (x)的 n 次插值多项 nLn(x)f (xk)lk(x)式：，则n 有：b n b Ln(x)dxf (xk) lk(x)dxa k 0 a其中 lk （x）（ k=0,

27、1 ，n）为 n 次 Lagrange 插值基函数，用 Ln （x）近 似代替被基函数 f（ x）bI f （x）db n x xi dx i 0 xk xi ika 若记bAklk（x）dx得数值求积公式：nInAkf （xk）xk 称为求积节点， 例如把图形分成 Cotes 公式计算代入将每一小块求和k0Ak 称为求积系数n 份,n=1 时用梯形公式 ,n=2 时用 Sinmpson 公式 ,n=4 时用5.2 数值积分的的 Excel 实现； 建立一个 Excle 数据表 ,在节点区输入节点值于 B 列 , 之后计算积分精确值最后运用梯形公式 ,Sinmpson 公式与 Cotes 公式

28、计算核对节点-2-1.5-1函数值-0.50积分值Simpsonf(x)f（-2）f(-1.5)f(-1)f(-0.5)f(0)精确值梯形值Cotes 值值1111112222x-2-1.5-1-0.50-2-2-2-22.66666662.66666662.6666666x242.2510.2504676767x3-8-3.375-1-0.1250-4-8-4-4x4165.062510.062506.4166.6666666676.40.13533520.2231300.36787940.6065300.86466471.13533520.86895100.8646899ex1831641

29、6617831622比较.6.常微分方程的数值解法的原理和算法； 原理： 采取“进步式”和“离散化”。“进步式”是指求解过程依节点排列的次序一步一步地向前推进。描述这类算 法，只需给出用已知信息 yn,yn-1,yn-2, 计算 yn+1 的递推公式 . “离散化”是指通过一定的方法将连续的问题转化为关于离散变量的相应问题。 “离散化”的常见方法有：直接用磋商代替微商发、 Taylor 级数展开法、数值 积分法等。算法:一阶方程的初值问题 y=f (x，y)，x 属于a,b ，y(a)=y 0 只要函数 f(x，y)在axb，|y|+ 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件：|f(

30、x,y1)-f(x,y2)|L|y1-y2|,则方程存在唯一解 y=y ( x)。所谓微分方程数值解法， 就是需求解函数 y(x)在一系列离散节点上的近似值：yi60;y(xi),a x1x 2Xn=b.通常采用等距节点 Xi=a+ih ，i=0,1,2 ,n,其中 h= (b-a ) /n 称为步长。 常微分方程的数值解法的的 Excel 实现 建立 Excel 数据表 ,在基本数据区域输入常微分方程的初步数据和步长值 ,计算节 点 A 列输入序数值 B 列求出节点 dy/dx=f(x,y),y(x0)=y0, 先计算节点之后用 Euler 法写出求解公式计算值并用改进 Euler 求解公式

31、计算值各自复制后面 ,最 后作图基本数据x0y0h020.5数值解节点Euler 法 改进 Euler 法精确解ixiyiyiy(xi)002211.106530610.51.51.7561.3678794211.51.78125411.723130131.51.751.9882812562.305175782.1353352422.1251832.690734862.582084952.52.56253993.0497870633.031253.11920929683.574505803.530197373.53.51562568384 4.00781254.046566124.018315

32、65.554.543.532.521.51394.5039062 4.51110899 4.5 5 4.52910383 975.0019531 5.01818989 5.00673790 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.51010 5 25 4 47Euler法 改进 Euler 法 精确值 y(x)7.1 ，请对上述数据作 Lagrange 插值，并绘出插值函数图形xi1234yi25.2550.575.75101xl0l1l2l3l3(x)2.5-0.06250.56250.5625-0.062563.125点数:100xL0L1L2L3L3(x)1100025.251.030.94589550.0877635-0.0432135 0.009554526.00751.060.8935640.1