第1章 利息的度量

1、第一章：利息的基本概念 1.1、利息的度量 基本概念： 利息、 本金、积累值（或终 值）、期 定义1.1：用a(t)表示初始投资为1单位的投资经过 时间t后的价值，称a(t)为积累函数（t期积累因 子）。显然：a(0)=1 t期折现因子或折现函数： a-1(t) 折现因子： a-1(1)记为v 定义 1.2：一般情况，本金为k,用A(t)表 示初始投资经过时间t后的价值，称A(t)为 总量函数。 总量函数和积累函数有着如下简单的关系： A(t)= A(0)a(t)=ka(t) 第n期的利息： In= A(n) A(n-1) 现值、当前值、积累值 1.1.1实际利率 度量期内得到的利息与此度量期

2、开始的本金之比 实际利率可以表示为： 21 12 1 ( )( ) ( , ) ( ) a ta t i tt a t 1 ( )(1) (1) n n n IA nA n i A nA 例1.1：某人到银行存入1000元，第一年末他存折 上的余额为1050元，第二年末他存折上的余额为 1100元，问：第一年、第二年的实际利率分别是多 少？ 解：显然，A(0)=1000， A(1)=1050， A(2)=1100，因此， I1= A(1) A(0)50, I2= A(2) A(1)50, i1= I1/ A(0)=5%， i2= I2/ A(1)=4.762%， 故，第一年的实际利率为5%，第

3、二年的实际利率 为4.762% 1.1.2 单利与复利 前面讨论的实际利率I是针对某一个度量期而 言的，若投资期为多个或非整数个度量期，如何 来进行利息的度量呢？实务中有两种最重要的度 量方式：单利和复利。 考虑投资一单位的本金： （1）如果其在t时的积累值为： a(t) =1+it 那么，我们就说该笔投资以每期单利i计息,并将这 样产生的利息称为单利。实际上，所谓单利 就是只有本金生息，本金产生的利息并不积累 生息。 （2）如果单位投资在t时的积累值为： a(t)=(1+i)t 那么，则称该笔投资以每期复利i计息,并将 这样产生的利息称为复利。实际上，复利就是 指民间俗称的“利滚利”，即当其

4、产生的利息 计入本金，在下一期可以生息。 例题1.2 若银行以单利计息，年息为6%。某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少？复利计 息呢？ 1.1.3 实际贴现率 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的 利息金额与期末的投资可收回金额之比，通常用d 来表示： 即，d=(a(t)-a(t-1)/a(t) 实际贴现率d同实际利率i的定义十分相似，在 实务中，它们反映了同一个问题的两个不同的侧 面。实际利率度量了借款人到期偿还利息额大小， 而实际贴现率度量了借款人为了到期清偿本金， 而在借款之初支付的利息。 为了帮助理解，我们来看一个例子。假设，张三 到一家银行以年实际利率为6%向银行借款1

5、00 元，为期一年。银行将付给张三100元，一年 后，张三将还给银行贷款本金100元，外加6元 的利息，共计106元。 假如不是以年实际利率6%,而是以年实际贴现率 6%向银行借款，为期一年，则银行将预收6% （即6元）的利息，仅付给张三94元。一年后， 张三将还给银行100元。 由此可见，实际利率和实际贴现率反映的是 一个先后付息的问题。 贴现金额=期末可收回资金金额贴现率 利息金额=期初投资金额利率 第n期的实际贴现率，复利条件下是常数： ( )(1) ( )(1) ( )1 n n a ni a na ni d a ni 上例中哪个借款成本低？ 第二种的实际利率=6/94=6.383%

6、如果对给定的投资金额，在同样长的时期 内，他们产生同样的积累值，则称两个 “率”是“等价”的。 上例中年实际贴现率6%和年实际利率 6.383%等价 一般,若某人以实际贴现率d借款1，则实际本 金为1-d,若这笔业务实际利率为i,则 , 11 , 11 ,1, dd id dd ii di ii d iv vd i d id 表明与 等价的实际利率为 还可得到：表明与等价的实际贴现率为 还有： t期贴现 单贴现： 复贴现： 1 1 ( ) 1,0a tdtt d 1( ) (1) tt a tvd 1.1.4 名义利率和名义贴现率 前面我们讨论了实际利率和实际贴现率，“实际”一 词的主要汗以在

7、于利息为每个度量期支付一次，或在其初， 或在期末，视具体境况而定。然而，实际问题中，往往有 很多在一个度量期中利息支付不至于一次或在多个度量期 利息才支付一次的情况。这是，成相应的一个度量期的利 率和贴现率为“名义的”。用符号i(m)表示每一度量期付m 次利息的名义利率。 m一般为大于1的整数。所谓名义利 率i(m)，是指每1/ m个度量期支付利息一次，而在每1/ m 个度量期上的实际利率为i(m)/m。 也就是说，每一度量期的实际利率等价于每1/m度量期 i(m)/m实际利率。 由等价的定义，还可以得到i(m)与等价的实 际利率i之间的关系： 根据入上的关系，在已知实际利率i和计息 次数m，

8、可以求得等价的名义利率i(m)，或者已 知名义利率i(m)和计息次数m可以求得相应的实 际利率i。 () () 1 () 11 11 (1)1 m m m m m m i i m i i m imi 类似的，还可以定义名义贴现率d(m)，名义贴现率 d(m)是一种在每1/m个度量期初支付的利息的度量。由 等价性定义可以推导d(m) 和d之间的关系： 根据入上的关系，在已知实际利率i和计息次数m， 可以求得等价的名义利率i(m)，或者已知名义利率i(m)和 计息次数m可以求得相应的实际利率i。 () () 1 () 11 1 1 1 (1) m m m m m m d d m d d m dmd

9、 有等价性的定义，我们还可以推导出名义利 率和名义贴现率之间的关系： 1 () () ()() (1)1 (1)(1) 1(1) (1)(1) m m m m mm mm id i i m d d m id mm 故，= 例、（1）求与实际利率8%等价的每年计息两 次得年名义利率，以及每年计息4次的年名义 贴现率； （2）已知每年计息12次的年名义贴现率为 8%，求等价的实际利率。 解：（1） (2) (2)1/2 (4) 4 (4)1/4 111 8% 2 (1 8%)1 27.85% (1)11.08 4 41 (1.08)7.623% i i i d i d （2） (12) 12 12

10、 11 12 8% (1) 12 1.0836 8.36% d i i 故 例：求1万元按每年计息4次的 年名义利率6%投资三年的积 累值 1.1.5 利息强度 前面定义的各种利息度量方式都是用来度量在规定的 时间区间内的利息。实际利率和实际贴现率度量的是一个 度量期内的利息，而名义利率和名义贴现率则用来度量在 1/m个度量期内的利息。 在很多情形下，我们还希望能度量在每一时间点上的 利息，也就是在无穷小区间上的利息。这种对利息在各个 时间点上的度量叫做利息强度。 利息强度 定义如下： ( )( ) ( )( ) t A ta t A ta t t 称 该投资在t时的利息强度，即 为利息在时刻

11、t一种 度量，通过如上定义可将 表示为如下形式： 对两边积分可得， 从而有， t t t ln( )ln ( ) t dd A ta t dtdt 0 00 ( ) ln( )ln( )|ln (0) tt t s A t dsdA sA s A 0 ( )( ) ( ) (0)(0) t sdsA ta t ea t Aa 这样我们便得到了利息强度和积累函数之间的关系。 如果已知各个时刻利息强度，便可以求得 这一时刻的 积累函数。 例、如果 确定投资1000元在第 一年末的积累值和第二年内的利息金额。 解： 0.01 ,02, t tt 1 0 (1)1000 (1)10001005 tdt

12、 Aae 元 2 0 0.01 2 0.020.005 (2)(1)1000(1) 1000()15.2 tdt IAAeA ee 元 理论上，利息强度可以随时变化，但在实际中，利息 强度经常保持为常数或者在各个度量期内保持为常数。 说明利息力在某时间区间上为常数，那么该时间区间 上的实际利率也是常数 ,1 tn ntn 若 12 12 0011 12 ( ) 1 tt st t t n dsdsdsds n a tee e ee n ie 那么 第 个时期的实际利率 L L 一般地，有 总结，常用重要关系式总结，常用重要关系式（1.1.33） ln(1) i 1ie ( ) t a te 例

13、、已知年度实际利率为8%，求等价的利息强 度。 解： 例、一笔业务按利息强度6%计息，求投资500 元、经过8年的积累值。 解： ln(1)ln(1.08)7.7%i 8 (8)500808.04Ae 元 1.2 利息问题求解 1.2.1 价值等式 利息问题的四个基本量： 1、最初投资的本金 2、投资时期的长度 3、利率 4、本金在投资期末的积累值 两个概念： 货币时间价值 价值等式： 衡量多个时刻付款的总价值时，先选取一 个比较日期，然后分别将各次付款积累或 折现到比较日期，得到的和就是总价值， 得到的等式叫做“价值等式” 例题： 某人为了能在第7年末得到一笔1万元的款 项，愿意在第一年末付

14、出1000元，在第三 年末付出4000元，并在第8年末付出一笔钱 ，如果年利率为6%，问他在第8年末应付 多少？ 1.2.2投资期的确定 通常， 一般，投资期不足一个度量期的情况下， 用单利计息，则利息=金额利率年数 投资期天数 年数 基础天数 将天数转化成年数的主要方法： 1、严格单利法（英国法） 2、常规单利法（欧洲大陆法） 3、银行家规则（欧洲货币法） 年数=实际/360 212121 360)30()() /360 YYMMDD 天数（ 年数天数 例题 在3月13日存入1000元，到同年的11月27 日取出，利率为单利8%。求利息金额。 （1）按英国法 （2）按银行家规则 （3）常规单利法 1.2.3 未知时间问题 只有一次付款的未知时间问题 例：以每月记息的年名义利率12%投资1万 元，若欲积累到3万元，问要几年时间？ 不同时刻的多次付款被数值上等于这些付 款之和的一次性付款所替代。 精确方法 等时间法 例题:预定在第一、三、五、八年末分别付 款200、400、300、600元，假设实际利