大学物理课程 第5章 刚体的定轴转动

1、教材教材: :自编教材自编教材大学物理大学物理讲讲义义20132013年春季学期开始年春季学期开始 制作制作: :红河学院理学院红河学院理学院 Zhu Qiao ZhongZhu Qiao Zhong 第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 2 第5章刚体的定轴转动 1. 1. 刚体的平动刚体的平动 连接刚体中任意两点的线段在运连接刚体中任意两点的线段在运 动中始终保持平行。动中始终保持平行。 特点特点: : 刚体上所有点的刚体上所有点的运动轨迹、运动轨迹、 都相同都相同, , 可用质点运动来描述。可用质点运动来描述。 avr 、 1. 刚体是理想模型。刚体是理想模型。 2. 在外力的作

2、用下在外力的作用下, 其上任意两点其上任意两点 均不发生相对位移。均不发生相对位移。 刚体：受力时不形变的物体。刚体：受力时不形变的物体。 5.1 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 3 第5章刚体的定轴转动 刚体上各点都绕同一转轴作半径不同的圆周运动，在相同时间内转刚体上各点都绕同一转轴作半径不同的圆周运动，在相同时间内转 过相同的角度。过相同的角度。 2. 2. 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 特点：特点： （1） 刚体上各点在垂直转轴的平面内作圆周运动；刚体上各点在垂直转轴的平面内作圆周运动； （2） 刚体上各点的刚体上各点的 均相同均相同。 、 4 第5章刚体的定轴转动 3. 3. 刚

3、体的一般运动刚体的一般运动 随随质心质心的平动的平动 绕绕质心质心的转动的转动 + + 5 第5章刚体的定轴转动 转动平面：转动平面：与转轴与转轴 Oz 相垂直的平面相垂直的平面 1. 角坐标角坐标 二、二、刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 xO 转动平面转动平面 参考方向参考方向 z 规定：规定：位矢沿参考轴位矢沿参考轴逆时针逆时针转动时转动时 为正。为正。 的单位：的单位：rad （弧度）（弧度） 运动方程：运动方程： )(t 2. 角位移角位移 3. 角速度角速度 dt d dt d t t 0 lim 的单位：的单位：rad /s 的方向：满足右旋法则的方向：满足右旋法则 00 z

4、z 刚体定轴转动的方向可以用的正负表示。 6 第5章刚体的定轴转动 2 2 dt d dt d 4. 角加速度角加速度 v r s xO 转动平面转动平面 参考方向参考方向 z dt d t t 0 lim 加速：加速：与与同向同向 减速：减速：与与反向反向 2 2 r r v a r dt rd dt dv a n t : )( : 法向加速度法向加速度 切向加速度切向加速度 22 nt aaa nt erera 2 7 第5章刚体的定轴转动 2 ra ra rv rs n t 线量与角量的关系线量与角量的关系 rvv ra rv t 2 22 2 1 2 1 2 0 22 0 2 2 0

5、2 0 00 tt tt xavv ttattvx tatvv 刚体定轴匀变速转动刚体定轴匀变速转动质点匀变速直线运动质点匀变速直线运动 8 第5章刚体的定轴转动 例例5.1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转速为转速为150r/min， 因受制动而均匀减速，经因受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动停止转动 。试求。试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2） 制动开始后制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（时飞轮的角速度；（3）t = 6s 时飞轮边缘上一点的线速度、时飞轮边缘上一点的线速度、 切向加速度和法切向加速度和法向

6、加速度向加速度 。 解：根据题意知飞轮做匀减速转动，据题给条件可求得解：根据题意知飞轮做匀减速转动，据题给条件可求得 设设 t = 0 时，时， rad/sr5150 0 min/,0 0 飞轮飞轮 的角加速度的角加速度 2 0 630 50 rad/s rad/s t 飞轮在飞轮在 30s 内转过的角度内转过的角度rad75 62 5 2 22 0 2 )( )( 飞轮在飞轮在 30s 内转过的圈数内转过的圈数r537 2 75 2 . N （1） 9 第5章刚体的定轴转动 （2） t = 6s 时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度 srad4srad6 6 5 0 /)( t （3） t =

7、6s 时，时，飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 分别为分别为 22 52420m/s.m/s.rv 22 1050 6 20m/s.m/s .rat )( 222 631420m/s.ran )( 10 第5章刚体的定轴转动 一一 力对点的力矩力对点的力矩 F F x y z r M P O FrM 大小：大小： sinrFM 方向：方向： 满足右旋定则满足右旋定则 单位：单位： Nm 11 第5章刚体的定轴转动 在直角坐标系中在直角坐标系中 F x y z r M P O kFjFiFF kzj yi xr zyx zyx FFF

8、zyx kji FrM kyFxFjxFzFizFyFFrM xyzyyz )( )( )( xyz zxy yzx yFxFM xFzFM zFyFM 力对各坐标轴的力矩 二二 力对轴的力矩力对轴的力矩 一般地，力对一般地，力对 Oz 轴的力矩轴的力矩: cossincosrFMM z 12 第5章刚体的定轴转动 若若: : in FFFFF 21 则则: : FrM )( 21n FFFr n FrFrFr 21 n MMM 21 即即: : ii MFrM 同理：同理： 三三 合力的力矩合力的力矩 13 第5章刚体的定轴转动 四、力矩作的功四、力矩作的功 在转动平面内，设多个外力作用于刚

9、体，在转动平面内，设多个外力作用于刚体， 第第 i 个力作用于任意点个力作用于任意点C ，位矢，位矢 与与 的夹角为的夹角为 i ，d t 时间内刚体转过时间内刚体转过 , 角。点角。点C 的位移为的位移为 。 i F i r d l d i F ox z C i F i r i d l d 所作的元功为：所作的元功为： i F drFdrF dlFl dFdA iiiii ii sincos cos dMdA z z M 如果刚体在力矩如果刚体在力矩 的持续作用下绕的持续作用下绕 定轴从定轴从 ，力矩的所作的功为：，力矩的所作的功为： 21 2 1 dMA z 力矩的瞬时功率可以表示为：力矩

10、的瞬时功率可以表示为： zz M dt d M dt dA P 14 第5章刚体的定轴转动 一、刚体定轴转动动能：一、刚体定轴转动动能： 5.35.3刚体的定轴转动刚体的定轴转动 0 z mi i r i v 考虑考虑 i 体元体元mi ，距轴距轴 i r ii rv i 体元的动能：体元的动能： 222 2 1 2 1 iiiiiki rmvmE 所有体元的动能求和：所有体元的动能求和： 2 1 22 )( 2 1 2 1 i n i iiiik rmvmE 定义定义 刚体对转轴刚体对转轴 的转动惯量的转动惯量 J 2 1 i n i ir mJ 2 2 1 JEk J由刚体对轴的质点分布决

11、定由刚体对轴的质点分布决定 15 第5章刚体的定轴转动 1. J 的定义的定义 （1） 质点质点 2 mrJ 二、刚体的转动惯量二、刚体的转动惯量 （2） 质点系质点系 2 iir mJ （3） 质量连续分布的刚体质量连续分布的刚体 dmrJ 2 dVr dSr dlr 2 2 2 质量连续、均匀分布的刚体，质量分布三种类型：质量连续、均匀分布的刚体，质量分布三种类型： 分布类型分布类型质量密度质量密度质元的质量表示形式质元的质量表示形式 线分布线分布所取线元所取线元 dl 的质量为：的质量为： 面分布面分布所取面元所取面元 dS 的质量为：的质量为： 体分布体分布所取体元所取体元 dV 的质

12、量为：的质量为： l m dldm S m dSdm V m dVdm 16 第5章刚体的定轴转动 （1）刚体的质量及其分布。）刚体的质量及其分布。 3. 决定决定 J 的三个因素的三个因素 2. J 的单位：的单位： （2）转轴的位置。）转轴的位置。 结论：结论： 4. J 的意义：刚体转动惯性大小的量度。的意义：刚体转动惯性大小的量度。 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡是提到转动惯量，同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡是提到转动惯量， 必须指明它是对哪个轴的才有意义。必须指明它是对哪个轴的才有意义。 2 mkg 17 第5章刚体的定轴转动 飞轮的质量为什么大都分飞轮的质量为什么大都分

13、 布于外轮缘？布于外轮缘？ 竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 18 第5章刚体的定轴转动 圆环 转轴通过中心 并与环面垂直 圆环 转轴沿环的直径 圆柱体 转轴沿几何轴 圆柱体 转轴通过中心 并与几何轴垂直 细棒 转轴通过中心 并与棒垂直 细棒 转轴通过端点 并与棒垂直 2 mrJ 2 2 1 mrJ 2 2 1 mrJ l r 22 12 1 4 1 mlmrJ 2 12 1 mlJ 2 3 1 mlJ 19 第5章刚体的定轴转动 薄圆盘 转轴通过中心 并与盘面垂直 薄圆盘 转轴沿着直径 球体 转轴通过球心 球体 转轴沿着切线 2 2 1 mrJ 2 4 1 mrJ 2 5 2

14、 mrJ 2 5 7 mrJ 2r 20 第5章刚体的定轴转动 1.1. 平行轴定理平行轴定理 2 mdJJ cd 计算刚体转动惯量的两个定理计算刚体转动惯量的两个定理 m cd d 2.2. 垂直轴定理垂直轴定理 yxz JJJ O x z y 21 第5章刚体的定轴转动 解：解：（1）先求细棒对转轴的转动惯量然后再求转动动能。先求细棒对转轴的转动惯量然后再求转动动能。 例例5.2 一根质量为一根质量为 m = 1.0kg、长为、长为l =1.0m 的均匀细棒，绕与棒相互垂直的的均匀细棒，绕与棒相互垂直的 转轴以角速度转轴以角速度=63rad/s=63rad/s在旋转，求以下两种情形下的转动

15、惯量和转动动能。在旋转，求以下两种情形下的转动惯量和转动动能。 （1 1）转轴过质心；（）转轴过质心；（2 2）转轴位于细棒的端点。）转轴位于细棒的端点。 md o z x x dx l 取质元：取质元： dx l m dm 2 2 2 22 12 1 ml dx l m xdmrJ l l )(.JJEk 22 1071 2 1 md o z x x dx l （2） mldx l m xdmrJ l 2 0 22 3 1 )(108 . 6 2 1 22 JJEk 也可运用也可运用“平行轴定理平行轴定理”求求J 22 第5章刚体的定轴转动 R dr r 例例 5.3 3 求质量为求质量为m

16、、半径为、半径为R 的均质薄圆盘的均质薄圆盘 对通过盘心并垂直于盘面的轴的转动惯量。对通过盘心并垂直于盘面的轴的转动惯量。 解解：如图所示，取半径为：如图所示，取半径为r、宽为、宽为 dr的圆环的圆环 面元面元dS，其质量为，其质量为 rdr dm2 盘的质量分布均匀，盘的盘的质量分布均匀，盘的质量面密度质量面密度为为 2 R m 圆盘对圆盘对oz轴的转动惯量为轴的转动惯量为 2 0 3 0 2 2 1 2mRdrrdmrJ RR z 23 第5章刚体的定轴转动 例例5-4如图示，质量为如图示，质量为 m ，长为，长为 l 的均质细杆最初水平静止。设轴光滑，的均质细杆最初水平静止。设轴光滑，

17、当细杆自然下摆至摆角为当细杆自然下摆至摆角为时，角速度多大？时，角速度多大？ 解：当细杆下摆至摆角解：当细杆下摆至摆角 为为时，细杆的质心时，细杆的质心C下移下移 0 C mg l/4 sin 4 l 视细杆与地球为一系统，在细杆下摆过视细杆与地球为一系统，在细杆下摆过 程中，只有重力作功，所以机械能守恒。程中，只有重力作功，所以机械能守恒。 取细杆最初水平面为零势能面，有取细杆最初水平面为零势能面，有 sin 42 1 0 2 l mgJ 细杆的细杆的J可由平行轴定理求得：可由平行轴定理求得： 2222 0 48 7 412 1 ml l mmlmdJJ c )( 以上两式联解即得以上两式联

18、解即得 l g 7 sin6 2 l g 7 sin6 2 24 第5章刚体的定轴转动 根据质点系功能原理，外力和非保守内力对系统所作的总功等于系统根据质点系功能原理，外力和非保守内力对系统所作的总功等于系统 机械能的增量。机械能的增量。 三三 动能定理动能定理 这一原理也适用于刚体，但刚体内质点间距保持不变，一切内力的功这一原理也适用于刚体，但刚体内质点间距保持不变，一切内力的功 均为均为0。对于定轴转动的刚体而言，外力的功总表现为外力矩所作的功，。对于定轴转动的刚体而言，外力的功总表现为外力矩所作的功， 系统的机械能则表现为刚体的转动动能，所以有：系统的机械能则表现为刚体的转动动能，所以有

19、： 2 1 2 2 2 1 2 1 JJEA k 定轴转动刚体的动能定理：定轴转动刚体的动能定理： 对于定轴转动的刚体，外力矩所作的功等于刚体转动动能对于定轴转动的刚体，外力矩所作的功等于刚体转动动能 的增量。的增量。 25 第5章刚体的定轴转动 1.导出：导出： 四四 转动定律转动定律 k z dEdA dMdA dJJddM z ) 2 1 ( 2 dt d J dt d M z JM z 26 第5章刚体的定轴转动 (1) 转动定律是瞬时作用定理转动定律是瞬时作用定理（表示式中各量均须同时对同一刚体、（表示式中各量均须同时对同一刚体、 对同一转轴而言）对同一转轴而言） (2) 由由Mz

20、= J 知：在相同的外力矩作用下，知：在相同的外力矩作用下，J 越大，则越大，则越小，即刚越小，即刚 体的转动状态越难改变；反之，体的转动状态越难改变；反之，J 越小越小 越大，即刚体的转动状态越容越大，即刚体的转动状态越容 易改变。易改变。 J 是描述刚体定轴转动的惯量大小的量，是刚体绕某定轴转动时是描述刚体定轴转动的惯量大小的量，是刚体绕某定轴转动时 的固有性质，与其转动状态无关。的固有性质，与其转动状态无关。 (3) Mz = J 只适用于刚体定轴转动过程中，对转轴的转动惯量始只适用于刚体定轴转动过程中，对转轴的转动惯量始 终保持不变的情况。终保持不变的情况。 27 第5章刚体的定轴转动

21、 例例5-5 如图所示的如图所示的阿特武德机阿特武德机，定滑轮是均匀实心圆盘形，质量为，定滑轮是均匀实心圆盘形，质量为m , 半半 径为径为r ，已知，已知m1 m2 ，求，求m1 的加速度。不计滑轮与轴的摩擦，不计线的质量。的加速度。不计滑轮与轴的摩擦，不计线的质量。 解：受力分析：注意解：受力分析：注意 3.3.转动定律应用举例转动定律应用举例 21 TT m2g T2 T1 T2 r m1g T1 m1 m2 a 列方程：列方程： JrTT amgmT amTgm )( 21 222 111 考虑到：考虑到： 2 2 1 mrJ ra mmm gmm a )(2 )(2 21 21 28

22、 第5章刚体的定轴转动 例例 5.6 6 一个转动惯量为一个转动惯量为2.5 kg m2 、直径为、直径为60cm 的飞轮，正以的飞轮，正以130 rad/s的角速度旋转。现用闸瓦将的角速度旋转。现用闸瓦将 其其制动制动，如果闸瓦对飞轮的正压力为，如果闸瓦对飞轮的正压力为 500 N，闸瓦与，闸瓦与 飞轮之间的摩擦系数为飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：。求： (1) 从开始制动到停止从开始制动到停止, 飞轮转过的角度；飞轮转过的角度； (2) 闸瓦对飞轮施加的摩擦力矩所作的功。闸瓦对飞轮施加的摩擦力矩所作的功。 d 飞轮飞轮 闸瓦闸瓦 f N 解：为了求得飞轮从制动到停止所转过的角度解：为了

23、求得飞轮从制动到停止所转过的角度 和摩擦力矩所作的功和摩擦力矩所作的功 A , 必须先求得摩擦力必须先求得摩擦力、摩擦力矩和飞轮的角加速度。摩擦力矩和飞轮的角加速度。 ,250NNf ,mN d fM z 75 2 2 /30srad J M z (1) rad 2 2 0 2 108 . 2 2 (2) JMA z 4 101 . 2 29 第5章刚体的定轴转动 例例5.7 质量为质量为 m，长为，长为 l 的均质细杆，上端与光滑的支点相连接，下端自由。的均质细杆，上端与光滑的支点相连接，下端自由。 最初处于水平位置，释放后自由向下摆动，如图所示。最初处于水平位置，释放后自由向下摆动，如图所

24、示。 （1） 求杆摆动至竖直位置时，下端点线速度：求杆摆动至竖直位置时，下端点线速度： （2）* 求杆摆动至竖直位置时，杆对支点的作用力。求杆摆动至竖直位置时，杆对支点的作用力。 C 零势能面零势能面 hc C Ft F Fn 解：（解：（1）细杆摆至竖直位置时，细杆质心）细杆摆至竖直位置时，细杆质心 下降。确定零势能面后，由机械能守恒有下降。确定零势能面后，由机械能守恒有 2 2 1 Jmghc 222 )( 3 1 2 1 2 1 l v mlJmghc glv3 （2）根据质心运动定理，有：）根据质心运动定理，有： 0 2 ctt c c n c maF r v mmgF amgmF m

25、gFF n 2 5 30 第5章刚体的定轴转动 一、角动量一、角动量 vmrL mv L L r r mv (相对相对O点点 ) 大小：大小： sinrmvL 方向：方向： 满足右旋法则满足右旋法则 单位：单位： smkg/ 2 质点对质点对 Oz 轴的角动量轴的角动量 cosLLz 0 2 0 2 z z L， L， 时时 时时 31 第5章刚体的定轴转动 二二 刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量 0 z ri vi mi 体元体元 对转轴对转轴 的角动量可表示为的角动量可表示为: i m Oz sin iiizi vmrl 考虑到考虑到 ii vr 则则 iizi mrl 2 JmrlL

26、 iiziz )( 2 JLz 作定轴转动的刚体对转轴的角动量等于刚体对同一转轴作定轴转动的刚体对转轴的角动量等于刚体对同一转轴 的转动惯量与角速度的乘积。的转动惯量与角速度的乘积。 32 第5章刚体的定轴转动 )( J dt d M z 作定轴转动刚体对转轴的角动量的时间变化率，作定轴转动刚体对转轴的角动量的时间变化率， 等于刚体相对于同一转轴所受外力的合力矩。等于刚体相对于同一转轴所受外力的合力矩。 0 0 JJdtM t t z 微分形式微分形式 积分形式积分形式 33 第5章刚体的定轴转动 角动量定理应用举例角动量定理应用举例 1、陀螺、陀螺 0L gmrc （1）陀螺）陀螺不转动不转

27、动即即 时，在时，在重力矩重力矩 作用下，作用下， 陀螺将陀螺将绕垂直于绕垂直于黑板的轴转动，黑板的轴转动，即倒地即倒地。 （2）陀螺自转即）陀螺自转即 时，时， 将不改变将不改变 的大小，只改变的大小，只改变 的方向。陀螺的方向。陀螺 绕绕竖直竖直轴轴旋转旋转旋进旋进(进动进动)。 L 0L Lgmrc )( L 2、回转仪：、回转仪： 如图所示的杠杆陀螺仪。当如图所示的杠杆陀螺仪。当陀螺仪陀螺仪A高速旋高速旋 转时，移动平衡物转时，移动平衡物B，杆不会倾斜，而是在水杆不会倾斜，而是在水 平面内绕平面内绕 O 旋转。这种运动称为旋进，它是旋转。这种运动称为旋进，它是 在外力矩作用下产生的回转

28、效应在外力矩作用下产生的回转效应。 34 第5章刚体的定轴转动 恒恒量量则则如如果果 JLM zz , 0 如果作用于质点的合力对参考点的力矩始终如果作用于质点的合力对参考点的力矩始终 为为0 0，则质点对同一参考点的角动量将保持不变。，则质点对同一参考点的角动量将保持不变。 0 z M的三种情形的三种情形 rF F r / 0 0外力矩作用于转轴；外力矩作用于转轴； 外力矩为外力矩为0； 平行或反平行。（有心力符合此条件）平行或反平行。（有心力符合此条件） 35 第5章刚体的定轴转动 图图5-95-9花样滑冰运动员花样滑冰运动员 图图5.115.11角动量守恒实例之一角动量守恒实例之一图图5

29、-105-10 陀螺仪陀螺仪 A A环环 B B环环 C C环环 陀螺仪陀螺仪 o o oo A A B B b a b a 36 第5章刚体的定轴转动 为什么猫从高处落下时总能四脚着地？为什么猫从高处落下时总能四脚着地？ 被被 中中 香香 炉炉惯性导航仪（陀螺）惯性导航仪（陀螺） 37 第5章刚体的定轴转动 一维平动一维平动定轴转动定轴转动 力力力矩力矩 质量质量转动惯量转动惯量 动量动量角动量角动量 动量定理动量定理角动量定理角动量定理 动量守恒动量守恒 定律定律 角动量角动量 守恒定律守恒定律 牛顿第一定律牛顿第一定律角动量守恒定律角动量守恒定律 牛顿第二定律牛顿第二定律转动定律转动定律

30、 牛顿第三定律牛顿第三定律 平动与转动的物理量和动力学公式比较平动与转动的物理量和动力学公式比较 F M mJ vmp JL 0 0 vmvmdtF t t 0 0 JJdtM t t 恒矢恒矢时时 外外 i iv m，F 0恒矢恒矢时时 外外 i i J，M 0 恒矢恒矢时时 vF ,0恒矢恒矢时时 ,0M dt pd FamF 或或 dt Ld MJM 或或 2112 FF 2112 MM 38 第5章刚体的定轴转动 一维平动一维平动定轴转动定轴转动 功功力矩的功力矩的功 功率功率力矩的功率力矩的功率 动能动能转动动能转动动能 动能定理动能定理转动动能定理转动动能定理 rdFA MdA Fv t A P M t A P 2 2 1 mvEk 2 2 1 JEk 2 0 2 2 1 2 1 mvmvA 2 0 2 2 1 2 1 JJA 自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律 2 动量守恒定律动量守恒定律 2能量守恒定律能量守恒定律 2角动量守恒定律角动量守恒定律 2电荷守恒定律电荷守恒定律 2质量守恒定律质量守恒定律