大学物理03刚体力学基础

1、第第 3 章章 刚体力学基础刚体力学基础 第第 3 章章 刚体力学基础刚体力学基础 3.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 3.2 刚体的定轴转动定理刚体的定轴转动定理 3.3 刚体的转动惯量刚体的转动惯量 3.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 3.5 刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理 3.6 回转仪回转仪 进动进动 3.7 刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体：刚体： 既考虑物体的质量既考虑物体的质量, 又考虑形状和大小，但忽又考虑形状和大小，但忽 略其形变的略其形变的物体模型物体模型。 3.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 刚体可看作是质量连续分布的且任

2、意两质量元之间刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间 相对距离保持不变的质点系。相对距离保持不变的质点系。 一、刚体运动的基本形式一、刚体运动的基本形式 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。 刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。 1. 平动平动 刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行。刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行。 a. 定轴转动定轴转动 b. 定点转动定点转动 如：门、如：门、 窗的转动等。窗的转动等。 如：陀螺的转动。如：陀螺的转动。 3. 平面运动平面运动 可以分解

3、为刚体随质心的平移和绕质心垂直于运动平可以分解为刚体随质心的平移和绕质心垂直于运动平 面的定轴转动。面的定轴转动。 刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面。刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面。 如：车轮滚动。如：车轮滚动。 可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动。可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动。 4. 刚体的一般运动刚体的一般运动 刚体上所有质点都绕同一直线刚体上所有质点都绕同一直线(即转轴即转轴)作圆周运动。作圆周运动。 2. 转动转动 研究方法：研究方法：作定轴转动时，刚体内平行于转轴的直线上作定轴转动时，刚体内平行于转轴的直线上 各点具有相同的运动状态各点具有相同的运

4、动状态(速度和加速度速度和加速度)，因此，只要研，因此，只要研 究刚体内某一究刚体内某一垂直于转轴的平面垂直于转轴的平面(转动平面转动平面)上各点的运动，上各点的运动， 就可了解整个刚体的运动。就可了解整个刚体的运动。 转动平面内：取转心转动平面内：取转心O，参考轴，参考轴x， 1. 刚体的角位置与角位移刚体的角位置与角位移 2. 刚体的角速度刚体的角速度 角加速度角加速度 t d d 二、二、定轴转动的描述定轴转动的描述 角量角量 x O P r 转动平面转动平面 2 2 d d t P点：角位置点：角位置 角位移角位移 3. . 线量与角量的关系：线量与角量的关系： t v at d d

5、2 2 r r v an 的的单单位位分分别别是是 SI:.rad/srad/s,rad, 2 rv rv 角速度角速度 的方向：的方向： r v / 角加速度的方向：角加速度的方向： 加速转动时，两者同方向，减速转动时，两者反方向。加速转动时，两者同方向，减速转动时，两者反方向。 r t r d d 对于对于匀角加速转动匀角加速转动，则有：，则有： t 0 2 2 1 00 tt )(2 0 2 0 2 式中：式中： 00 , 是是 t =0 时刻的角速度和角位置时刻的角速度和角位置。 说明：说明：作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量，作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量， 但不同位置的

6、质点具有不同的线量。但不同位置的质点具有不同的线量。 匀加速直线运动：匀加速直线运动： )(2 2 1 0 2 0 2 2 00 0 xxavv attvxx atvv 刚体是一个质点系，描述质点系转动的动力学方程：刚体是一个质点系，描述质点系转动的动力学方程： t L M d d 1. 刚体是质点系，刚体所受关于原点刚体是质点系，刚体所受关于原点O 的力矩的力矩 等于合外力矩。等于合外力矩。 2. 只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力矩只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力矩 Mz ，而平行于转轴的外力分量产生的力矩，而平行于转轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则被轴则被轴 承上支承

7、力的力矩所抵消。承上支承力的力矩所抵消。 3.2 刚体的定轴转动定理刚体的定轴转动定理 一、刚体所受的力矩一、刚体所受的力矩 说明说明 o x y z F 取惯性坐标系取惯性坐标系 ， xyz o 轴为固定转轴z F i 设第设第 i 个质元受外力个质元受外力 ， F i 并假定并假定 垂直于转轴。垂直于转轴。 iii FRM 轴轴z/ ii rooR x y z o o Ri F i i r i m i o o iii FrooM iii FrFoo 轴轴z 也被抵消也被抵消 iiiiiiz FrFrMsin 所受关于所受关于O 点的外力矩为：点的外力矩为： 刚体所受的关于定轴的合力矩：刚体

8、所受的关于定轴的合力矩： i iii i izz FrMMsin 刚体所受的关于刚体所受的关于O 的角动量：的角动量： )( i iii i i vmRLL iiiiii RvLrRzv ),( iiii vmRL 共面共面 iiiz LLsin 二、刚体定轴转动的角动量二、刚体定轴转动的角动量 x z o o i R i r i m o o i v i L i y i iiii vmRsin iii vmr 对整个刚体：对整个刚体： i izz LL JLz 称为刚体对转轴称为刚体对转轴 z 的的转动惯量转动惯量。 为刚体关于转轴为刚体关于转轴 z 的角动量。的角动量。 2 i i ir m

9、J i ii i iii rmvmr)( 2 关于刚体角动量的补充说明关于刚体角动量的补充说明 m m b b L R sinbvrv vmrL sin22 2 mbmbvL 222 2sin2sinmRmbLLz J 结论：结论： 1、角动量和角速度一般并不在同一个、角动量和角速度一般并不在同一个 方向上方向上 2、角动量与角速度在数值上也并不是、角动量与角速度在数值上也并不是 以转动惯量为比例系数的正比关系以转动惯量为比例系数的正比关系 t L M z z d d 得到：得到： t J M d d J t JM d d = 刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律： 设转动过程中设转动过程中J不

10、变不变， 则有：则有： 由质点系的角动量定理：由质点系的角动量定理： t L M d d 对刚体的定轴转动，有：对刚体的定轴转动，有： zz MMJL 而且而且 刚体在作定轴转动时，刚体的角刚体在作定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯 量成反比。量成反比。 三、刚体定轴转动定律三、刚体定轴转动定律 推广到推广到 J 可变可变情形：情形： JtMdd 00 000 dd JJJtM J J t t t t tM 0 d称为在称为在 t0 到到 t t 时间内作用在刚体时间内作用在刚体 上的上的角冲量角冲量。 刚体定

11、轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 是关于刚体定轴转动的动力学方程。是关于刚体定轴转动的动力学方程。 (与与 F = ma 比较比较) J t JM d d = 例例 3-1 定滑轮：定滑轮：m， r，J ，物体：，物体：m1， m2， 轻绳不能伸轻绳不能伸 长，无相对滑动。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。长，无相对滑动。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。 amTgm 111 amgmT 222 JrTrT 21 解：解： 由于考虑滑轮的质量，由于考虑滑轮的质量， 21 TT 问题中包括平动和转动。问题中包括平动和转动。 轮不打滑：轮不打滑： ra 联立方程，可解得联立方程，可解得 T1

12、 ，T2，a， 。 此装置称阿特伍德机此装置称阿特伍德机可用于测量重力加速度可用于测量重力加速度 g gm 1 gm 2 1 T 1 T 2 T 2 T a a r 例例3-2 均质细棒：均质细棒： m ， l ，对水平轴，对水平轴O： ，铅，铅 直位置时，一直位置时，一水平力水平力 F 作用于距作用于距 O为为 l 处，计算处，计算O 轴对棒轴对棒 的作用力的作用力( (称轴反力称轴反力) )。 2 3 1 mlJ F l O 解：解： JlF xx maNF c yy mamgN c 得：得： 1 2 3 l l FN x mgN y 设轴反力为设轴反力为 Nx，Ny。 由转动定律：由转动

13、定律： 由质心运动定律：由质心运动定律： 当当 l =2l/3 时，时， Nx =0 ，此时的打击点称，此时的打击点称打击中心打击中心。 l 2l/3 时，时，Nx 0 ，l 2l/3 时，时， Nx 0 。 y N x N gm c 讨论：讨论： 2 2 l m 2 l m 0 例例3-3 半径为半径为 R1 和和 R2、转动惯量为、转动惯量为 J1 和和 J2 的两个圆的两个圆 柱体，可绕垂直轴转动，最初大圆柱体的角速度为柱体，可绕垂直轴转动，最初大圆柱体的角速度为 0，现，现 将小圆柱体靠近碰到大圆柱体。由于摩擦，小圆柱体被带将小圆柱体靠近碰到大圆柱体。由于摩擦，小圆柱体被带 着转动，当

14、相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿着转动，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿 相反方向转动。求小圆柱的最终角速度多大？相反方向转动。求小圆柱的最终角速度多大？ 11 , RJ 22 , RJ 0 11 , RJ 22 , RJ 0 设垂直于纸面向里为正向：设垂直于纸面向里为正向： 01111 JJtfR 无相对滑动：无相对滑动： 2211 RR 2 12 2 21 0211 2 RJRJ RRJ 分别对分别对 o1 轴和轴和 o2 轴运用角动量定理。轴运用角动量定理。解：解： ff o1 1 N f 1 F o2 2 F 2 f N 222 JtRf 定义：定义： i iir m

15、J 2 1. 刚体由分立的质点组成时：刚体由分立的质点组成时： i iir mJ 2 2. 刚体为质量连续体时：刚体为质量连续体时： mrJd 2 单位单位( SI )： 2 mkg 转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的形转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的形 状、大小、质量分布以及转轴的位置有关状、大小、质量分布以及转轴的位置有关。 一、刚体的转动惯量及其计算一、刚体的转动惯量及其计算 3.3 刚体的转动惯量刚体的转动惯量 例例3-4 求均质细棒求均质细棒( m ，l ) 的转动惯量：的转动惯量： (1) 转轴通过中心与棒垂直，转轴通过中心与棒垂直， (2) 转轴通过棒的一端与棒

16、垂直。转轴通过棒的一端与棒垂直。 解：解： x l m mdd mxJd 2 22 12 1 d 2 2 mlxx l m l l l mlxx l m J 0 22 3 1 d (1) (2) 可见，转动惯量因转轴位置而变，故必须指明可见，转动惯量因转轴位置而变，故必须指明 是是关于某轴的转动惯量关于某轴的转动惯量。 mrJd 2 Ox Oxdx dm dx dm 例例3-5 求质量求质量 m 半径半径 R 的的 (1) 均质圆环，均质圆环， (2) 均质圆盘均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。对通过直径的转轴的转动惯量。 解：解： d 2 dR R m m mrJd 2 2 0 2 d

17、2 )sin(R R m R 2 2 1 mR (1) 圆环：圆环： dsin 2 2 0 2 2 mR dm 2 4 1 mR o dm (2) 圆盘：圆盘： d2d 2 R m m mJJd 2 1 d 2 可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。 R R m 0 2 2 d2 2 1 刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量 J 等于对通过质心的平行等于对通过质心的平行 转轴的转轴的转动惯量转动惯量 Jc 加上刚体质量加上刚体质量 m 乘以两平行转轴乘以两平行转轴 间距离间距离 d 的平方。的平方。 2 c mdJJ 2 ioioi i ioi r

18、rmrmJ i iii drdrm cc i ii i ii rmdmdrm c 22 c 2 证明：证明： 0 c rm 二、平行轴定理二、平行轴定理 c o JcJ d io r c i r mi 2 c mdJ 例例3-6 计算挂钟摆锤对计算挂钟摆锤对O轴的转动惯量。轴的转动惯量。 m l 1 O m R 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 RlmRmlmJ 21 JJJ 2 11 3 1 lmJ 2 c2 mdJJ 解：解： 2 2 2 2 2 1 RlmRm 例例3-7 设一薄板，已知对板面内两垂直轴的转动惯量分设一薄板，已知对板面内两垂直轴的转动惯量分 别为别为Jx、Jy，

19、计算板对，计算板对z 轴的轴的转动惯量转动惯量Jz。 O x y z 解：解： i iiz rmJ 2 xy JJ 称称垂直轴定理垂直轴定理 (适用于薄板适用于薄板)。 如圆盘如圆盘(m、R)对过圆心的垂直轴的转动惯量对过圆心的垂直轴的转动惯量： yx JJJ yi xi r im i i iii yxm 22 222 2 1 4 1 4 1 mRmRmR 例例3-8 质量为质量为M=16kg的实心滑轮，半径为的实心滑轮，半径为R=0.15m。一。一 根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为 m 的物体。求的物体。求( (1) )由由 静止开始静止开始1 1秒钟后，物体

20、下降的距离。秒钟后，物体下降的距离。( (2) )绳子的张力。绳子的张力。 解：解：maTmg R a MRTR 2 2 1 )sm(5 88 108 2 2 Mm mg a m)(5 . 215 2 1 2 1 22 ath N)(40516 2 1 T M m T gm 例例3-9 一质量为一质量为m ，长为，长为 l 的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在O点，点， 距距A端端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，点转动， 求求(1)水平位置的角速度和角加速度。水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置时的角垂直位置时的角 速度和角加速度。速度和角

21、加速度。 解：解： 2 c mdJJ 2 2 2 9 1 612 1 ml l mmlJ 0 0 l g ml mgl J M 2 3 9 6 2 方向：方向： c O B A gm c O B A (2) t JM d d t ml l mg d d 9 1 cos 6 2 dcos 2 3 d l g dcos 2 3 d 2 00 l g l g l g 2 3 sin 2 3 2 1 2 0 2 l g3 0 gm d d 9 1 2 ml 例例3-10 一半径为一半径为R，质量为，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的的均匀圆盘平放在粗糙的 水平面上。若它的初角速度为水平面上。若它的初角速度

22、为 0 0，绕中心，绕中心o o旋转，问经旋转，问经 过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为 ） drr 解：解： rmgFrMddd rr R m md2d 2 2 2d 2 d R rgrm M mgR R rmgr MM r 3 2d2 d 0 2 2 ! !ddrmgrF R o 2 d2 R rmr t JM d d t mRmgR d d 2 1 3 2 2 0 0 0 d 4 3 d g R t t g R t 4 3 0 t mRmgR d d 2 1 3 2 2 0 0 0 d 4 3 d g R 2 0 8 3 g R 为其转过的角度。为其

23、转过的角度。 mgRM 3 2 t mR d d d d 2 1 2 定轴转动角动量定理：定轴转动角动量定理： t J M d d 定轴转动角动量守恒定律：定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，当刚体在定轴转动中，当 对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保 持不变。持不变。 适用于刚体，非刚体和物体系。适用于刚体，非刚体和物体系。 3.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 0=M .0 d d t J 当当时，时， 有有 00 JJ 即即(常量常量) 一、一、 刚体刚体( J 不变不变)的角动量守恒的角动量守恒 若若

24、 M=0，则，则 J =常量，而刚体的常量，而刚体的 J 不变，故不变，故 的的 大小，方向保持不变。大小，方向保持不变。 此时，即使撤去轴承的支撑作用，此时，即使撤去轴承的支撑作用， 刚体仍将作刚体仍将作 定轴转动定轴转动定向回转仪定向回转仪 可以作定向装置。可以作定向装置。 如：直立旋转陀螺不倒。如：直立旋转陀螺不倒。 o 二、非刚体二、非刚体( J 可变可变)的角动量守恒的角动量守恒 当当 J 增大，增大， 就减小，就减小，当当 J 减小，减小， 就增大。就增大。 常量常量 00 JJ 如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动，如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动， 恒星塌缩恒星塌缩 (R0， 0) (R，

25、 ) 中子星中子星 的形成等。的形成等。 u 0 人与转台组成的系统对竖直人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒：轴的角动量守恒： JJ 00 ) 2 1 ( 2 1 22 2 2 10 2 1 tumRmRm 2 2 1 2 2 0 2 1t Rm um 例例3-11 水平转台水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角可绕竖直的中心轴转动，初角 速度速度 0 0，一人，一人( (m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度立在台中心，相对转台以恒定速度u沿沿 半径向边缘走去，计算经时间半径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。台转过了多少角度。 解：解： t t 0 dd 台

26、转过台转过的的角度角度： R m m ut m m u R 2/1 1 2 2/1 1 2 0 ) 2 ( arctan ) 2 ( 三、物体系的角动量守恒三、物体系的角动量守恒 若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的 力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒： 常量常量 i ii J 如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。 角动量守恒条件角动量守恒条件 例例3-12 摩擦离合器摩擦离合器 飞轮飞轮1：J1、 1 1 摩擦 摩擦轮轮2： J2 静静 止，

27、两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。 两轮对共同转轴的角动量守恒两轮对共同转轴的角动量守恒 2111 JJJ 21 11 JJ J 解：解： 试与下例的齿轮试与下例的齿轮啮合过程比较。啮合过程比较。 21 例例3-13 两圆盘形齿轮半径两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心垂直于对通过盘心垂直于 盘面转轴的盘面转轴的转动惯量为转动惯量为J1 、 J2，开始开始 1 1轮以轮以 0 0转动，然转动，然 后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。 两轮绕不同轴转动，故对两轴分两轮绕不同轴转动，故对两轴分

28、 别用角动量定理：别用角动量定理： 01111d JJtFr 222d JtFr 2211 rr 得：得： 2 21 2 12 2 201 1 rJrJ rJ 2 21 2 12 2101 2 rJrJ rrJ 解：解： 0 1 2 2 F 1 例例3-14 均质细棒：均质细棒：m1、 l ，水平轴水平轴O，小球：，小球：m2与棒与棒 相碰，碰前相碰，碰前 碰后碰后 如图，设碰撞时间很短，棒保如图，设碰撞时间很短，棒保 持竖直，求碰后棒的角速度。持竖直，求碰后棒的角速度。 v v 系统对系统对O轴角动量守恒轴角动量守恒 2 2 13 1 2 v lmlmlvm lm vvm 1 2 3 注意：

29、注意：系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。 只当碰撞在打击中心时，只当碰撞在打击中心时，Nx=0，系统的水平动量守恒：，系统的水平动量守恒： 解：解： vmlmvmvmvm 212 1 2c12 3 2 2 2 13 1 3 2 2 )(v lmlmlvm v v O 一、一、 刚体定轴转动的转动动能刚体定轴转动的转动动能 ii iiii rmvmE 222 k 2 1 2 1 2 c mdJJ 22 ck 2 1 mdJE 2 c 2 c 2 1 2 1 mvJ 定轴转动可分解为刚体绕过质心轴的转动和随质心定轴转动可分解为刚体绕过质

30、心轴的转动和随质心 （绕定轴作圆周运动）的平动。（绕定轴作圆周运动）的平动。 2 2 1 J 2 c 2 1 mv 3.5 刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理 o c 由平行轴定理：由平行轴定理： 222 c 2 1 2 1 mdJ 二、力矩的功二、力矩的功 1. 平行于定轴的外力对质元不做功。平行于定轴的外力对质元不做功。 2. 由于刚体内两质元的相对距离不由于刚体内两质元的相对距离不 变，一对内力做功之和为零。变，一对内力做功之和为零。 ijijij rfA dd i i AA i ij ijii rfFA d)( ijijij rrr d)(d ijijij frr 说明说明

31、r ij i r d j r d ijij rr d ij r d i j 0 iiiiii sFrFAdcosdd d i M 合外力对刚体做的元功：合外力对刚体做的元功： i i i i MAAddd 力矩的功：力矩的功： 0 dMA 功率：功率： t A P d d z P r i F i d i s d i 设作用在质元设作用在质元 mi上的外力上的外力 位于转动平面内。位于转动平面内。 i F iiii rFdsin dM M t M d d 三、刚体定轴转动的动能定理三、刚体定轴转动的动能定理 t JM d d 2 0 2 2 1 2 1 dd 00 JJJMA 合外力矩对刚体所作

32、的功等于刚体转动动能的增量。合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。 d d d d d d J t J 四、刚体的重力势能四、刚体的重力势能 以地面为势能零点，刚体和地球以地面为势能零点，刚体和地球 系统的重力势能：系统的重力势能： i ii gzmEp gmi z O i c r i ii m zm mg c mgz 五、五、 刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理 将重力矩作的功用重力势能差表示：将重力矩作的功用重力势能差表示： )(d 0ccp 0 mgzmgzM 得得 ) 2 1 () 2 1 (d 2 00c 2 c 0 JmgzJmgzM 其中，其中，M是除重力以外的

33、其它外力矩。是除重力以外的其它外力矩。 刚体的机械能守恒定律刚体的机械能守恒定律 2 0 2 2 1 2 1 JJA 刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理 若若M=0，则则 常量 2 c 2 1 Jmgz 例例 3-15 均质细棒均质细棒m， l ，水平轴水平轴O，开始棒处于水平状态，开始棒处于水平状态， 由静止释放，求棒摆到竖直位置时：由静止释放，求棒摆到竖直位置时： (1) 棒的角速度，棒的角速度，(2) 棒的转动动能，棒的转动动能，(3) 质心的加速度，质心的加速度，(4) 轴的支反力。轴的支反力。 解：解： 0 22 1 2 l mgJ l g3 (2) 2 k 2 1 JE

34、(3) 2 3 2 2 cn g l a F x F y 0 ct maFx(4) cn mamgFymgmgmgFy 2 5 2 3 (1) 2 l mg 0 2 ct l a 例例3-16 细杆细杆A ： (m, L)可绕可绕轴转动轴转动，水平处静止释放，水平处静止释放， 在竖直位置与静止物块在竖直位置与静止物块B； (m) 发生弹性碰撞，求碰后发生弹性碰撞，求碰后： (1) vB B ，(2) 2 ， (3) max 。 2 1 2 1 2 1 JmgL L g mLJ 3 3 1 1 2 解：解： 22 2 2 1 21 2 1 2 1 2 1 B B mvJJ LmvJJ L g g

35、LvB 3 2 1 3 2 1 2 碰后反方向转动。碰后反方向转动。 B A max 2 2 cos1 2 1 2 1 mgLJ 1 .41 4 3 cos maxmax B A 例例3-17 圆锥体圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以，表面有浅槽，令以0转动，转动， 小滑块小滑块m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑 块速度块速度、圆锥体角速度。圆锥体角速度。 解：解： 系统机械能守恒：系统机械能守恒： )( 2 1 2 1 2 1 22222 0 RumJmghJ h R u 对竖直轴的角动量守恒：对竖直轴的角动量守恒： ) 2 0 mRJJ （

36、 讨论刚体的定点转动。讨论刚体的定点转动。 回转仪：由厚而重，形状对称的刚体绕对称回转仪：由厚而重，形状对称的刚体绕对称 轴轴高速自转高速自转的装置。的装置。 当当 M =0 时，角动量及角速度矢量保持恒定时，角动量及角速度矢量保持恒定 定向回转仪定向回转仪。 当当 回转仪受到外力矩作用时，如：陀螺倾斜回转仪受到外力矩作用时，如：陀螺倾斜 ？ 进动进动 回转效应。回转效应。 3.6 回转仪回转仪 进动进动 设陀螺质量为设陀螺质量为m，以角速度，以角速度 自转。自转。 重力对固定点重力对固定点o o的力矩：的力矩： gmrM sinmgrM 绕自身轴转动的角动量：绕自身轴转动的角动量： c JL

37、 由角动量定理的微分式：由角动量定理的微分式： tMLdd 显然，显然， ,LM L时刻改变方向而大小不变时刻改变方向而大小不变进动进动。 1. 陀螺陀螺 mg o r L d d LL d tmgrtMLdsindd dsindsind c JLL tmgrJdsindsin c c d d J mgr t 进动角速度：进动角速度： 2. 进动轴通过定点且与外力平行。进动轴通过定点且与外力平行。 1. (或或p)与与 有关有关，与与无关无关。 3. 进动方向决定于外力矩和自转角速度的方向。进动方向决定于外力矩和自转角速度的方向。 4. 较小时，较小时， 有周期性变化，称为有周期性变化，称为章

38、动章动。 L LL d L d d o 说明说明 改变方向，情况如何？改变方向，情况如何？ mg o r L d LL d L 2. 杠杆回转仪杠杆回转仪 当重物移近时，受力矩当重物移近时，受力矩 M 作用，出现回转现象。作用，出现回转现象。 平衡时，保持平衡时，保持 大小方向不变。大小方向不变。 c JL c pc d d ddd J M t JLL d L d )(tL )d(ttL o 俯视图俯视图 M tMLdd 回转效应的应用：飞机，轮船，导弹中的指向仪，回转效应的应用：飞机，轮船，导弹中的指向仪， 炮筒内的旋转式来复线。炮筒内的旋转式来复线。 改变方向，情况如何？改变方向，情况如何

39、？ p M 改变方向，情况如何？改变方向，情况如何？ L d d )(tL )d(ttL o 俯视图俯视图 M 3.7 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动 基本方程：基本方程： 平面平行运动平面平行运动 自由度：自由度：3 平动（平动（2）+ 转动（转动（1） 质心运动定律：质心运动定律： t v mF c d d 相对质心的角动量定理：相对质心的角动量定理： t L M d d t v mF c d d t JM d d 若外力为保守力，则机械能守恒：若外力为保守力，则机械能守恒： EVJmvc 22 2 1 2 1 不是独立方程！不是独立方程！ 若运动受到约束，则所受外力中除主动力外还存

40、在着约束力，而若运动受到约束，则所受外力中除主动力外还存在着约束力，而 约束力在解出运动前是未知的，因此除基本方程外还需列出相应的约束力在解出运动前是未知的，因此除基本方程外还需列出相应的 约束方程，才能构成完整的方程组。约束方程，才能构成完整的方程组。 c maF cc JFdM 2 c 12 1 mlJ 2 c 12 ml Fd m F a 解：解： d =0 时，时， =0，刚体只有平动没有转动。，刚体只有平动没有转动。 例例3-18 长长 l 质量质量 m 的匀质细杆放在光滑的水平面上，以的匀质细杆放在光滑的水平面上，以 水平力水平力 垂直作用在细杆上，作用点距质心为垂直作用在细杆上，

41、作用点距质心为 d ，计算，计算 作用瞬间细杆的角加速度和质心的加速度。作用瞬间细杆的角加速度和质心的加速度。 F F c . d F 例例3-19 一匀质圆球一匀质圆球(r )从静止开始沿一粗糙斜面纯滚动从静止开始沿一粗糙斜面纯滚动 而下，斜面倾角为而下，斜面倾角为 ，球从上端滚到下端球心高度相差，球从上端滚到下端球心高度相差 为为 h ，计算小球滚到下端时质心的速度和转动角速度。，计算小球滚到下端时质心的速度和转动角速度。 c gm N F t F 解：解： ct sinmaFmg 0cos N mgF ct JrF ra c sin 7 5 c ga 2 c 5 2 mrJ 纯滚动条件：

42、纯滚动条件： rv c gh r7 101 sav cc 2 也可由机械能守恒计算：也可由机械能守恒计算： 2 c 2 c 2 1 2 1 Jmvmgh gh r7 101 ghha 7 10 sin/2 c sin 7 5 c ga rv c mg N f c mafmgsin JRf Rac )(sin 2 mRJmgR 上式即相对瞬心的转动定律上式即相对瞬心的转动定律 刚体作平面平行运动时，在一定条件下还可选瞬时转动中心作刚体作平面平行运动时，在一定条件下还可选瞬时转动中心作 为角动量定理的参考点。为角动量定理的参考点。 瞬时转动中心（瞬心）瞬时转动中心（瞬心） 刚体的平面平行运动可看作

43、每一时刻都绕平面上或平面外某点刚体的平面平行运动可看作每一时刻都绕平面上或平面外某点 的一个转动，一般而言，此点在不同时刻在不同的位置上。即的一个转动，一般而言，此点在不同时刻在不同的位置上。即 转动中心是随时间改变的，故称瞬时转动中心。转动中心是随时间改变的，故称瞬时转动中心。 A B A B A B A B p A B vA vBA B vA vB vB vA A B 长长2l，质量，质量m，均匀刚性棒，放在光滑水平面上，下端与水平面接，均匀刚性棒，放在光滑水平面上，下端与水平面接 触。棒的运动方程？触。棒的运动方程？ x y C O p 基本方法基本方法：mgNma c cos c NlJ mg N sin c ly 约束方程约束方程 sincos, cos 2 cc c llya l J N 2 c 3 1 mlJ 最后得最后得0coscossin 3 1 cos 2 l g 利用相对瞬心的角动量定理利用相对瞬心的角动量定理： 222 p cos 3 1 mlmlJ