102高数数列的极限PPT课件PPT学习教案

1、会计学1 102高数数列的极限高数数列的极限PPT课件课件 v引例引例 如可用渐近的方法求圆的面积如可用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接用圆内接正多边形的面积正多边形的面积近似近似圆的面积圆的面积S. . 下页 A1A2A3 A1表示圆内接正表示圆内接正6边形面积边形面积, A2表示圆内接正表示圆内接正12边形面积边形面积, A3表示圆内接正表示圆内接正24边形面积边形面积, An表示圆内接正表示圆内接正6 2n-1边形面积边形面积, , . . 显然显然n越大越大, An越接近于越接近于S. . 因此因此, 需要考虑当需要考虑当n时时, An的变化趋势的变化趋势. . 第1页/共23页 v

2、数列数列 如果按照某一法则如果按照某一法则, , 对每一对每一n N , 对应着一个确定的对应着一个确定的 实数实数xn, , 则得到一个序列则得到一个序列 x1, , x2, , x3, , , , xn , , , , 这一序列叫做数列这一序列叫做数列, , 记为记为xn, , 其中第其中第n项项xn叫做数列的一叫做数列的一 般项般项. . 下页 数列举例数列举例: : 2, 4, 8, , 2n , ; 2 1 , 4 1 , 8 1 , , n 2 1 , ; 1, -1, 1, , (-1)n1, . 2 1 , 3 2 , 4 3 , , 1n n ; 第2页/共23页 x1x5x

3、4x3x2xn 数列数列xn可以看作数轴上的一个动点可以看作数轴上的一个动点, , 它依次取数轴它依次取数轴 上的点上的点x1, , x2, , x3, , , , xn , , . . 数列的几何意义数列的几何意义 v数列数列 如果按照某一法则如果按照某一法则, , 对每一对每一n N , 对应着一个确定的实数对应着一个确定的实数xn, , 则得到一个序列则得到一个序列 x1, , x2, , x3, , , , xn , , , , 这一序列叫做数列这一序列叫做数列, , 记为记为xn, , 其中第其中第n项项xn叫做数列的一般项叫做数列的一般项. . 下页 第3页/共23页 数列数列xn

4、可以看作自变量取正整数可以看作自变量取正整数n的函数的函数 xn= =f(n), , n N . . 数列与函数数列与函数 v数列数列 如果按照某一法则如果按照某一法则, , 对每一对每一n N , 对应着一个确定的实数对应着一个确定的实数xn, , 则得到一个序列则得到一个序列 x1, , x2, , x3, , , , xn , , , , 这一序列叫做数列这一序列叫做数列, , 记为记为xn, , 其中第其中第n项项xn叫做数列的一般项叫做数列的一般项. . 下页 ,1, 2, 3, 1 n n xn n = 2 1 , 3 2 , 4 3 , , 1n n ; 例如例如: :数列数列

5、即函数即函数 第4页/共23页 例如例如: : 当当n无限增大时无限增大时, , 如果数列如果数列xn的一般项的一般项xn无限接近无限接近 于常数于常数a, , 则常数则常数a称为数列称为数列xn的极限的极限, , 或称数列或称数列xn收敛收敛 于于a, , 记为记为 axn n = lim. 下页 v数列极限的通俗定义数列极限的通俗定义 1 1 lim= n n n 0 2 1 lim= n n 1 ) 1( lim 1 = - - n n n n 1 1 lim= n n n , 0 2 1 lim= n n , 1 ) 1( lim 1 = - - n n n n . 第5页/共23页

6、当当n无限增大时无限增大时, , xn无限接近于无限接近于a . . 当当n无限增大时无限增大时, , |xn- -a|无限接近于无限接近于0 . . 当当n无限增大时无限增大时, , |xn- -a|可以任意小可以任意小, , 要多小就能有多小要多小就能有多小. . 当当n增大到一定程度以后增大到一定程度以后, , |xn- -a|能小于事先给定的任能小于事先给定的任 意小的正数意小的正数. . 分析分析 因此因此, , 如果如果 n 增大到一定程度以后增大到一定程度以后, , |xn- -a|能小于事先能小于事先 给定的任意小的正数给定的任意小的正数, , 则说明当则说明当n无限增大时无限

7、增大时, , xn无限接近于常数无限接近于常数a. . 当当n无限增大时无限增大时, , 如果数列如果数列xn的一般项的一般项xn无限接近于常数无限接近于常数a, , 则数列则数列xn收敛收敛于于a. . 下页 第6页/共23页 v数列数列极限极限的精确定义的精确定义( (定量定义定量定义) ) 设设xn为一数列为一数列, , 如果存在常数如果存在常数a, , 对于任意给定的正对于任意给定的正 数数e e , , 总存在正整数总存在正整数N, , 使得当使得当nN 时时, , 不等式不等式 |xn- -a |N时时, , 点点xn全都落在邻域全都落在邻域( (a-e-e, , a e e) )

8、内内 任意给定任意给定a的的e e邻域邻域( (a-e-e, , a e e) ), , 当当 n N 时时,总有总有 ee-axa n )(Nn e- axn ),(eaxn)(Nn 第9页/共23页 分析分析: : 例例1 1 例 1. 证明1 ) 1( lim 1 = - - n n n n . 证明证明 |xn-1|= e=- - - nn n n 1 | 1 ) 1( | 1 , 所以 1 ) 1( lim 1 = - - n n n n . 下页 证明证明 因为e 0, 证明证明 因为e 0, 1 e=NN , 当 nN 时, 有 N , 当 nN 时, 有 axn n = lim

9、 e e 0, N N , , 当当n N时时, , 有有|xn- -a| e e . 对于e 0, 要使|xn-1|e , 只要 |xn-1|= nn n n 1 | 1 ) 1( | 1 =- - - . e 0, 要使|xn-1|e , 只要e n 1 , 即 e 1 n. 1 N e = 第10页/共23页 例例2 2 例 2. 证明0 ) 1( ) 1( lim 2 = - n n n . 所以0 ) 1( ) 1( lim 2 = - n n n . 证明证明 下页 axn n = lim e e 0, N N , , 当当n N时时, , 有有|xn- -a| e e . |xn

10、-0| 0 ) 1( ) 1( | 2 - - = n n 1 1 ) 1( 1 2 = nn . 对于e 0, 要使|xn-0|e , 只要e 0, 要使|xn-0|e , 只要e 1 1 n , 即1 1 - e n. 取取 , 1 1 -= e N 则当则当 Nn 时时, 就有就有 ,0e- n x 第11页/共23页 例例3 3 设设|q| N 时时, 就有就有 e- - 0 1n q 故故 0lim 1 = - n n q . ln ln 1 q n e 1- = n q 因为因为 ln0,q 第12页/共23页 对于某一正数对于某一正数e e 0, , 如果存在正整数如果存在正整数

11、N, , 使得当使得当n N时时, , 有有|xn- -a| e e 0. . 是否有是否有xna (n). . 讨论讨论 首页 axn n = lim e e 0, N N , , 当当n N时时, , 有有|xn- -a| e e . 第13页/共23页 v定理定理1(1(极限的唯一性极限的唯一性) ) 如果数列如果数列xn收敛收敛, , 那么它的极限唯一那么它的极限唯一. . 证明证明 假设同时有axn n = lim及bxn n = lim, 且 a N1 时时, 同理同理, 因因 ,limbxn n = 故存在故存在 N2 , 使当使当 n N2 时时, 有有 , 2 ab n bx

12、 - - 从而从而,得得 2 . a b n x ,max 21 NNN =取 则当则当 n N 时时, 同时有同时有 2 , b a e - = 即数列即数列xn的极限唯一的极限唯一. . 第14页/共23页 注注 如果如果 M 0, 使对使对 n N , , 有有|xn| M, , 则称数列则称数列 xn 是是 有界的有界的; ; 如果这样的正数如果这样的正数MM不存在不存在, , 就说数列就说数列xn是无界的是无界的. . 下页 二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 v定理定理1(1(极限的唯一性极限的唯一性) ) 如果数列如果数列xn收敛收敛, , 那么它的极限唯一那么它的极限唯一.

13、. v定理定理2(2(收敛数列的有界性收敛数列的有界性) ) 如果数列如果数列xn收敛收敛, , 那么数列那么数列xn一定有界一定有界. . 第15页/共23页 下页 二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 v定理定理2(2(收敛数列的有界性收敛数列的有界性) ) 如果数列如果数列xn收敛收敛, , 那么数列那么数列xn一定有界一定有界. . 证证: 设设 ,limaxn n = 取取 ,1=e,N 则则当当 Nn 时时, 从而有从而有 n xaaxn-a1 取取 ,max 21N xxxM=a1 则有则有 . ),2,1(=nMxn 由此证明收敛数列必有界由此证明收敛数列必有界. aaxn-=

14、)( , 1-axn 有有 第16页/共23页 1. . 发散的数列是否一定无界发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛有界的数列是否收敛? 例如例如 数列数列1, , - -1, , 1, , - -1, , , , (- -1)N 1, , 是是有界的，但有界的，但是不是不收敛收敛。 讨论讨论 下页 二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 v定理定理1(1(极限的唯一性极限的唯一性) ) 如果数列如果数列xn收敛收敛, , 那么它的极限唯一那么它的极限唯一. . v定理定理2(2(收敛数列的有界性收敛数列的有界性) ) 如果数列如果数列xn收敛收敛, , 那么数列那么数列xn一定有界一定

15、有界. . 答答:发散的数列不一定无界；有界的数列不一定收敛。发散的数列不一定无界；有界的数列不一定收敛。 第17页/共23页 下页 二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 v定理定理3(3(收敛数列的保号性收敛数列的保号性) ) 如果数列如果数列xn收敛于收敛于a, 且且a 0(或或a 0), , 那么存在正整那么存在正整 数数N, , 当当n N时时, , 有有xn 0(或或xn 0). . 推论推论 如果数列如果数列xn从某项起有从某项起有xn 0(或或xn 0), , 且数列且数列xn收收 敛于敛于a, , 那么那么a 0(或或a 0). . 证证:对对 a 0 , 取取 , 2 a =

16、e ,N N则 ,时当Nn -axn 2 a n x0 22 aa a-= (注注:用反证法证明用反证法证明) 因因 ,limaxn n = 第18页/共23页 注注: : 在数列在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原中任意抽取无限多项并保持这些项在原 数列中的先后次序数列中的先后次序, , 这样得到的一个数列称为原数列这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列的子数列. . v定理定理4(4(收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列如果数列xn收敛于收敛于a, ,那么它的任一子数列也收敛那么它的任一子数列也收敛, , 且极限也是且极限也是a. . 下页 例如例如,

17、 , 数列数列xn 1, , - -1, , 1, , - -1, , , , (- -1)n 1 的一个子的一个子 数列为数列为x2n - -1, , - -1, , - -1, , , , (- -1)2n 1 . . 第19页/共23页 1. . 数列的子数列如果发散数列的子数列如果发散, , 原数列是否发散原数列是否发散? ? 4. . 如何判断数列如何判断数列1, , - -1, , 1, , - -1, , , , (- -1)n 1, , 是发散的？是发散的？ 结束 v定理定理4(4(收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系) ) 如果数列如果数列xn收敛于收敛于a,

18、 ,那么它的任一子数列也收敛那么它的任一子数列也收敛, , 且极限也是且极限也是a. . 讨论：讨论： 3 3. . 发散的数列的子数列都发散吗？发散的数列的子数列都发散吗？ 2. . 数列的两个子数列收敛数列的两个子数列收敛, 但其极限不同但其极限不同, 原数列原数列 的收敛性如何的收敛性如何? 答：原数列一定发散答：原数列一定发散。 答：原数列一定发散答：原数列一定发散。 答：答：子数列子数列不一定发散不一定发散。 答：奇数项构成的子答：奇数项构成的子数列的极限为数列的极限为1，偶数项构成，偶数项构成 的子数列的极限为的子数列的极限为- -1，极限不同，故该数列发散，极限不同，故该数列发散。 第20页/共23页 结束 1. 数列极限的数列极限的 “ e e N ” 定义及应用定义及应用. 2. 收敛数列的性质收敛数列的性质: 唯一性唯一性 ; 有界性有界性 ; 保号性保号性; 任一子数列收敛于同一极