4向量组的线性相关性PPT学习教案

1、会计学1 4向量组的线性相关性向量组的线性相关性PPT课件课件 第1页/共77页 第2页/共77页 个数组成的有序数组个数组成的有序数组 12 , n a aa 称为一个称为一个维向量维向量，其中称为第个，其中称为第个分量分量（坐标坐标）. . i a i 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行矩阵行矩阵，也就是，也就是行向量行向量， 1 2 n a a a 如：如： 记作记作, , ,. . 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列矩阵列矩阵，也就是，也就是列向量列向量， （VectorVector） ）（ n aaa,., 21 第3页/共77页 2 2、元素全为零的向量称为元素全为

2、零的向量称为零向量零向量（Null VectorNull Vector）. . 3 3、维数相同的列（行）、维数相同的列（行）向量同型向量同型. . 元素是复数的向量称为元素是复数的向量称为复向量复向量（Complex VectorComplex Vector）. 1 1、元素是实数的向量称为元素是实数的向量称为实向量实向量（Real VectorReal Vector）. . 4 4、对应分量相等的、对应分量相等的向量相等向量相等. 第4页/共77页 1122 (), nn ababab 12 , n kkkakaka 1122 , nn ababab 1212 (),(), nn aaab

3、 bb,.,., 向量的加法与数乘合称为向量的向量的加法与数乘合称为向量的线性运算线性运算. . Rkaaa n ），），（,., 21 第5页/共77页 （1 1） （交换律）（交换律） （2 2） （结合律）（结合律）()() （3 3 ） O （4 4）()O ( (设设, , ,均是维向量均是维向量, ,，为实数为实数) ) （5 5）1 （6 6）( )()() （7 7）( ) （8 8） () 第6页/共77页 . ,),( 21 T 21 维维向量空间向量空间叫做叫做 集合集合维向量的全体所组成的维向量的全体所组成的 n RxxxxxxXR n nn n . ,),( 3 叫做

4、叫做三维向量空间三维向量空间 的集合的集合三维向量的全体所组成三维向量的全体所组成 RzyxzyxrR T 第7页/共77页 第8页/共77页 1 1,1,0 T ，设设 3 (3,4,0)T 2 0,1,1 T ， 123 31 ,(,)21 . 11 其中( , )求求 解解 123123 32， (4,4, 1) . T 123 32 103 3 12 11 4 010 (0,1,2) . T 123 0 1 2 103 1 11 11 4 010 4 4 1 第9页/共77页 1122nn xxxb 线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应方程组

5、与增广矩阵的列向量组之间一一对应 11112211 21122222 1122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb axaxaxb 1 2 12 (,.,) n n x x b x 即即Axb 或或 第10页/共77页 1 2 m A 其第其第个个列列向量向量记作记作 1 2 j j j mj a a a 12 (,.,) n A 个维个维行向量行向量. . 按行分块按行分块 11121 21222 11 n n mmmn aaa aaa A aaa 按列分块按列分块 个维个维列向量列向量. . 其第其第个个行行向量向量记作记作 12 , iiiin aaa

6、矩阵与向量的关系中矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的注意什么是向量的个个 数数、什么是向量的、什么是向量的维维 数数，二者必须分清，二者必须分清. . 第11页/共77页 第12页/共77页 1212 ,0k kkk 向向量量共共线线不不全全为为零零的的数数使使得得 123123 ,0k kkkkk 向向量量共共面面不不全全为为零零的的数数, , 使使得得 1212 ,0,0kkkk 向向量量不不共共线线若若则则 123123 ,0,0kkkkkk 向向量量不不共共面面若若则则 线性相关 线性无关 第13页/共77页 的一个的一个线性组合线性组合 则称则称 为向量为向量 定义定义 2 2 m

7、ma kakak 2211 使得使得一组实数一组实数 若存在若存在设设n n维向量维向量 , , 21 21 m m kkk aaa ， , m a a 12 a 线性表示线性表示 或称或称 能由向量能由向量 , m a a 12 a )( 组成的集合叫做组成的集合叫做向量组向量组. . 所所或同维数的行向量或同维数的行向量若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量 第14页/共77页 16 12 ,.,(s1), s 向向量量组组称称为为线线性性相相关关 如如果果定义3 12 ,., , s k kk存存在在不不全全为为零零的的数数使使得得 0. 2211 sS kkk 112212 .0,.

8、0 Sss kkkkkk若若则则 否否则则称称线线性性无无关关, , 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关. 一个向量a=0线性相关,而 时线性无关0 两个向量线性相关 它们对应分量成比例 即即 第15页/共77页 17 12 ,., s 向向量量组组线线性性相相关关方方程程 1122 .0 . ss xxx 有有非非零零解解 i.e. 12 1112121 1212222 n11n22 (,.,) , .0 .0 . . .0 T iiiin ss ss nss aaa a xa xa x a xa xa x a xa xa x 设设方方程程组组 有有非非零零解解 二、判别方法 1.

9、向量个数 未知数的个数 向量维数 方程的个数 (无) (没) (没) 第16页/共77页 18 12 1(1,2,3,4,3) ,(1,2,0,5,1) , TT 例例 . .设设 34 (2,4, 3, 19,6) ,(3,6, 3, 24,7) TT 1234 ,. 试试判判断断的的线线性性相相关关性性 11223344 :0kkkk解解 设设 1234 1234 134 1234 1234 23 0 2246 0 3 33 0 4519240 367 0 kkkk kkkk kkk kkkk kkkk 即即 第17页/共77页 19 对对系系数数矩矩阵阵进进行行初初等等行行变变换换 11

10、23 2246 3033 451924 3167 A 1011 0134 .0000 0000 0000 同同解解方方程程组组 134 234 0 340 kkk kkk 34 1,0,kk有有无无穷穷多多解解. .取取 得得到到方方程程组组的的一一组组解解 1234 1, 3,1,0kkkk (,)=()(,)=() 1234 300,即即有有: : 1234 ,. 故故线线性性相相关关 第18页/共77页 12 12 6 , (,) ( ). m m aaa Aaaam R Am 定定理理 向向量量组组线线性性相相关关它它所所构构成成的的 矩矩阵阵的的秩秩小小于于向向量量个个数数； 向向量

11、量组组线线性性无无关关 0|,| 1 21 n aaan n线性无关线性无关维向量维向量个个推论推论 线性相关线性相关维向量维向量个个时时当当推论推论nm nm, 2 线性相关线性相关维向量维向量个个特别地特别地n n1: 2. 第19页/共77页 21 12s ,.,(2)s 定定理理1:1:向向量量组组线线性性相相关关 存存在在一一个个向向量量是是其其余余向向量量的的线线性性组组合合 或或可可被被其其他他向向量量线线性性表表出出( (示示).). 维维单单位位向向量量为为），（例例n,.,2 , 1.,0 1 . 0 2n i i 12 ,., n 故故线线性性相相关关 第i个分量 12

12、,.,), n n ( (为为任任意意 维维向向量量 1122 . nn 则则 12 ,.,. n 而而线线性性无无关关 3. 第20页/共77页 22 12s ,.,(2)s 定定理理: :向向量量组组线线性性相相关关 存存在在一一个个向向量量是是它它前前面面向向量量的的线线性性组组合合 12s ,.,(2)s 推推论论: :设设是是由由非非零零向向量量组组成成的的 ,(2) i is 向向量量组组 若若每每个个向向量量都都不不是是它它 12s ,., 前前面面向向量量的的线线性性组组合合, ,则则 线线性性无无关关. . 从向量组中找尽量多的线性无关向量 第21页/共77页 例例 2 2,

13、 7 4 2 , 5 2 0 , 1 1 1 321 aaa已知已知 . , 21321 相关性相关性 的线性的线性及向量组及向量组试讨论向量组试讨论向量组aaaaa 解解 ，矩阵矩阵 梯形梯形施行初等行变换成行阶施行初等行变换成行阶对矩阵对矩阵),( 321 aaa 第22页/共77页 321 ,aaa ，可见可见2),( 321 aaaR 751 421 201 550 220 201 000 220 201 12 rr 13 rr 23 2 5 rr ；线性相关线性相关故向量组故向量组 321 ,aaa ,2),( 21 aaR同时同时., 21 线性无关线性无关故向量组故向量组aa 第

14、23页/共77页 例例 3 3 . ., , , ,., , , , )2(. , , 211322 21121 线线性性相相关关性性讨讨论论 设设线线性性无无关关已已知知向向量量组组 sss s bbbaabaab aabsaaa 证一证一 1122 .0, ss x bx bx b设设 , 0)(.)()( 1322211 aaxaaxaax ss 即即 , 0)(.)()( 122111 ssss axxaxxaxx亦即亦即 ，故有，故有线性无关线性无关因因 s aaa., 21 第24页/共77页 ., 21 线性无关线性无关为奇数时向量组为奇数时向量组所以当所以当 s bbbs 为偶

15、数为偶数 为奇数为奇数 列式列式由于此方程组的系数行由于此方程组的系数行 s s ; 0 ; 2 1)(1 11.000 . . 00.110 00.011 10.001 s1 0 . 0 0 0 1 32 21 1 ss s xx xx xx xx ., 21 线性相关线性相关为偶数时向量组为偶数时向量组当当 s bbbs 第25页/共77页 12 1. 2 ,. m 定定理理如如果果向向量量，线线性性无无关关， ., 21 线线性性表表示示且且表表达达式式唯唯一一，能能由由则则 m 三、性质 12 ,., m 而而向向量量组组，线线性性相相关关 第26页/共77页 28 12s : ,.,

16、 定定理理3 3 若若线线性性无无关关 12 3: ,., r 2 2. .定定理理若若线线性性相相关关 整体无关部分无关 部分相关整体相关 12r+1 ,.,.,. rm 则则也也线线性性相相关关 .则则它它的的任任一一部部分分组组也也线线性性无无关关 第27页/共77页 3. 4 定定理理设设 1 2 1 2 ,(1,2,), r p jj p jj jj rjp j aa aa jm aa 有相同的线性相关性有相同的线性相关性与与则则 mm ,., ,., 2121 的一个排列的一个排列为为其中其中nppp n ,.,2 , 1,., 21 第28页/共77页 30 12 121 12s

17、12s 12s12 (,.,),1,2,., (,.,), ,.,.,. ,.,., iiiin iiiinin s aaais aaaa 设设 则则称称为为的的延延长长向向量量组组 也也称称为为的的截截短短向向量量组组 定义 12s 5: ,.,. 4 4 定定理理若若线线性性无无关关 则则其其延延长长组组也也线线性性无无关关 1: r, n.nr 推推论论维维向向量量组组线线性性无无关关 在在每每个个向向量量相相同同的的位位置置 添添加加个个分分量量后后得得到到的的 维维向向量量组组仍仍线线性性无无关关 12s 5 : ,.,. 定定理理 若若线线性性相相关关 则则其其截截短短组组也也线线

18、性性相相关关 第29页/共77页 练习练习 设向量组设向量组 1 30, T k ， 2 12, T k ， ， 3 021 ，线性相关，则线性相关，则 . .3 .1kor k 第30页/共77页 第31页/共77页 第32页/共77页 12 12 , :, . m l R SS R 设有两个向量组：及 若组中的每个向量都能由 向 量组线性表示 1.1.定义定义4 4 SR组组能能由由组组线线性性表表示示， ,), 2 , 1(lj j 即对每个向量即对每个向量 使使存在数存在数, 21mjjj kkk 一、向量组等价一、向量组等价 . RS若向量组与向量组能相互线性表示， 则称这两个向量组

19、等价 SR称组能由组线性表示 第33页/共77页 1122jjjmjm kkk 11121 21222 1212 12 , l l lm mmml kkk kkk kkk 从而从而 1 2 12 , j j m mj k k k .)(数矩阵数矩阵称为这一线性表示的系称为这一线性表示的系矩阵矩阵 ijlm kK 第34页/共77页 ，由此可知由此可知 ； ln21 22221 11211 2121 , bbb bbb bbb aaaccc ll n n ln ，若若 nllmnm BAC :一表示的系数矩阵一表示的系数矩阵为这为这B ，线性表示线性表示的列向量组的列向量组组能由矩阵组能由矩阵量

20、量列向列向的的则矩阵则矩阵AC 第35页/共77页 1 2 m 11121 1 21222 2 12 l l mmml l aaa aaa aaa ：为这一表示的系数矩阵为这一表示的系数矩阵 的行向量组线性表示，的行向量组线性表示，的行向量能由的行向量能由同时同时 A BC, 第36页/共77页 2.2.性质性质 1 1）自反性）自反性 2 2）对称性）对称性 3 3）传递性）传递性 具有以上性质的关系称为等价关系具有以上性质的关系称为等价关系 第37页/共77页 1 1 定义定义7 7 12 , r Raaa设设向向量量组组的的一一个个部部分分组组，满满足足 ;,)( 21 线性无关线性无关

21、 r aaai () R则则称称此此部部分分组组 是是向向量量组组的的一一个个极极大大线线性性无无关关组组 简简称称极极大大无无关关组组 ( ).iiR向向量量组组中中任任意意向向量量可可由由此此部部分分组组线线性性表表示示 二、极大线性无关组与向量组的秩二、极大线性无关组与向量组的秩 极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩 第38页/共77页 .0组组的的秩秩为为规规定定只只含含零零向向量量的的向向量量 组等价组等价向量组与它的极大无关向量组与它的极大无关 .般不是惟一的般不是惟一的向量组的极大无关组一向量组的极大无关组一 .含向量的个数相等含向量的个数相等但每一个极大无关组中但每一个极

22、大无关组中 第39页/共77页 7 定定 理理向向 量量 组组 与与 它它 的的 任任 意意 一一 个个 极极 大大 线线 性性 无无 关关 组组 等等 价价 R,S,rs定定理理8 8 设设向向量量组组的的秩秩为为向向量量组组 的的秩秩为为 RS.rs 若若 向向量量组组能能由由向向量量组组 线线性性表表示示，则则 第40页/共77页 01 01 : : , :, . r s ARaa BSbb rs 证证明明 设设 向向量量组组 的的一一个个极极大大无无关关组组为为 向向量量组组 的的一一个个极极大大无无关关组组为为， 要要证证 0 , RRRS因因为为组组能能由由组组 线线性性表表示示组

23、组能能由由 组组线线性性表表示示， 使使得得即即存存在在系系数数矩矩阵阵),( ijsr kK 000 , SSRS组组能能由由组组线线性性表表示示 所所以以组组能能由由组组线线性性表表示示， 第41页/共77页 srs r sr kk kk 1 111 11 ),(),( )0( 0 1 KX x x Ksr r sr 简记为简记为，则方程组，则方程组如果如果 有有非非零零解解， 0),( 1 Kx s 有非零解，有非零解，即即0),( 1 X r 0 .Srs 与与线线性性无无关关矛矛盾盾，所所以以 ），从而方程组），从而方程组有非零解（因有非零解（因rsKR )( 第42页/共77页 7

24、 R,S,rs定定理理设设向向量量组组的的秩秩为为向向量量组组 的的秩秩为为 RS.rs 若若 向向量量组组能能由由向向量量组组 线线性性表表示示，则则 等等价价的的向向量量组组的的秩秩相相等等推推论论 1 2 推推论论任任意意连连个个线线性性无无关关的的等等价价的的向向量量组组 所所含含向向量量个个数数相相等等 ( (反反之之不不对对) ) 第43页/共77页 三、向量组的秩与矩阵秩的关系三、向量组的秩与矩阵秩的关系 第44页/共77页 1 2 m A 其第其第个个列列向量向量记作记作 1 2 j j j mj a a a 12 (,.,) n A 个维个维行向量行向量. . 按行分块按行分

25、块 11121 21222 11 n n mmmn aaa aaa A aaa 按列分块按列分块 个维个维列向量列向量. . 其第其第个个行行向量向量记作记作 12 , iiiin aaa 矩阵与向量的关系中矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的注意什么是向量的个个 数数、什么是向量的、什么是向量的维维 数数，二者必须分清，二者必须分清. . 第45页/共77页 ，：向向量量组组对对于于只只含含有有限限个个向向量量的的 m aaaA, 21 .),( 21m aaaA 它可以构成矩阵它可以构成矩阵 . 8行秩行秩列秩列秩矩阵的秩矩阵的秩定理定理 第46页/共77页 .)0()(),( 21 时显

26、然成立时显然成立当当，设设 rrARaaaA m 证证 ，关关组组 无无的的列列向向量量组组的的一一个个极极大大列列是是所所在在的的因因此此ArDr r Dr得得知知所所在在的的列列线线性性无无关关； +1Ar又又由由中中所所有有阶阶子子式式均均为为零零， 1Ar 知知中中任任意意个个列列向向量量都都线线性性相相关关. . .0 r Dr 阶子式阶子式并设并设 , r所所以以列列向向量量组组的的秩秩等等于于 ().AR A类类似似可可证证矩矩阵阵的的行行向向量量组组的的秩秩也也等等于于 .为为系系数数矩矩阵阵的的齐齐次次线线性性方方程程组组只只有有零零解解 r否否则则以以这这 列列 1r 从从

27、而而原原矩矩阵阵存存在在非非零零的的阶阶子子式式，矛矛盾盾. . 第47页/共77页 1212 ,(,). mm aaaR aaa向向量量组组的的秩秩也也记记作作 ：从上述证明中可见从上述证明中可见 r DA若若是是矩矩阵阵的的一一个个最最高高阶阶非非零零子子式式， ，关组关组 向量组的一个极大无向量组的一个极大无的列的列列即是列即是所在的所在的则则ArDr . r列向量组的秩等于列向量组的秩等于 第48页/共77页 的的线线性性组组合合关关系系对对应应的的列列向向量量组组有有相相同同与与B 10 ABA 初初等等行行变变换换 定定理理矩矩阵阵，则则 的的列列向向量量 第49页/共77页 .,

28、 ERT if ABP is I MPAB 证明证明 1212 , ss n sn s AB ， ， ， ， ， 12 ， ， ， s PAP ii P 即即 12 ， ， s PPP 12s 设设的某些列的某些列 12 , p iii 有关系有关系 12 12 0 p iipi lll 则相应的则相应的 12 12 p iipi lll 12 12 p iipi l Pl Pl P 12 12 p iipi P lll0 具有相同的具有相同的线性关系线性关系. . 12 , p iii 即即中列向量组中列向量组 12 , p iii 与与中列向量组中列向量组 第50页/共77页 :例例 .

29、,(2,4,4,9),2,7)(1,1, 9)2,2,1,(,6,6)1,1,(,(2,1,4,3) 54 321 并并将将其其余余向向量量线线性性表表出出 的的一一个个极极大大线线性性无无关关组组 ，求求向向量量组组 TT TTT 第51页/共77页 解：解： 12345 21112 11214 (,) 46224 36979 A 设设矩矩阵阵 A对对施施行行初初等等行行变变换换变变为为行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵 1 12 14 0 11 10 . 0 0013 0 0000 A 行行 10104 01103 00013 00000 ， 第52页/共77页 3,故故列列向向量量组组的的极极大大

30、无无关关组组含含 个个向向量量 1 2 4而而三三个个非非零零行行的的非非零零首首元元在在 、 、 三三列列， 124 ,.aaa所所以以为为列列向向量量组组的的一一个个极极大大无无关关组组 ( )3R A 所所以以， 1234512345 , . a a a a ab b b b b因因为为向向量量之之间间与与向向量量 之之间间有有相相同同的的线线性性关关系系 第53页/共77页 现在现在 ,334 4215 bbbb 因此因此 3 b, 21 bb , 213 aaa .334 4215 aaaa 第54页/共77页 方法方法1：矩阵的初等行变换法矩阵的初等行变换法 （1 1）以向量组中的

31、向量为列向量作矩阵）以向量组中的向量为列向量作矩阵 （2 2）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形） （3 3）取每行第一个非零元所在的列，即为所求）取每行第一个非零元所在的列，即为所求 方法方法2：录选法录选法 （1 1）在向量组中选一个非零向量）在向量组中选一个非零向量 （2 2）再选一个与）再选一个与 1 1 的对应分量不成比例的向量的对应分量不成比例的向量 2 （3 3）再选一个不能）再选一个不能 由由 1 2 线性表出的向量线性表出的向量 3 线性表出的向量线性表出的向量 第55页/共77页 ()(, , )()()R AR PAR

32、AQR PAQ P Q 为为可可逆逆矩矩阵阵 四、矩阵的秩与矩阵的运算四、矩阵的秩与矩阵的运算 第56页/共77页 例例 14.14. ).,(),( 11nk aaAC 设设，而而)( ij bB ).(),(min)(BRARABR )()( ARABR 先先证证明明 kmknnm CBA 设设证证明明 : nkn k nk bb bb aa 1 111 11 ),(),( 则则 第57页/共77页 ).()(ARCR 因因此此 ),()(, TTTTT BRCRABC 由上面证明知由上面证明知因因 的的列列向向量量组组线线性性表表示示，的的列列向向量量组组能能由由即即矩矩阵阵AC ).(

33、)(BRCR 即即 第58页/共77页 练习练习 . . ()()().R ABR AB 第59页/共77页 .线性表示线性表示能由向量组能由向量组只需证明向量组只需证明向量组AB 组组组组和和，并并设设设设两两个个向向量量组组的的秩秩都都为为BAr . 00 组组线线性性表表示示组组能能由由组组线线性性表表示示，故故组组能能由由因因BABA 证明证明: : rrr Kbbaa),(),( 11 15 . ,.AB例例向向量量组组 能能由由向向量量组组 线线性性表表示示 且且它它们们的的秩秩相相等等 .等价等价与向量组与向量组则向量组则向量组BA ,:,: 1010rr bbBaaA和和的极大

34、无关组依次为的极大无关组依次为 使使阶方阵阶方阵即有即有 r Kr 第60页/共77页 raaRKR rr ),()( 1 故故 .),( 10 raaRA r 组线性无关，故组线性无关，故因因 .)()(rKRrKR rr ，因此，因此但但 ,),(),( 1 11 rrr r Kaabb K 可逆，并有可逆，并有于是矩阵于是矩阵 . 00 组组线线性性表表示示组组能能由由即即AB . 组线性表示组线性表示组能由组能由从而从而AB 第61页/共77页 第62页/共77页 第63页/共77页 说明说明 .,VRV 则则若若 ;,VVV 则则若若 . V V 所所谓谓封封闭闭，是是指指在在集集合

35、合中中可可以以进进行行加加法法 及及乘乘数数两两种种运运算算，结结果果还还在在集集合合中中 定义定义1 1设设V V 为为 n n 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合V V非空非空 ， 且集合且集合V V 对于对于加法加法及及数乘数乘两种运算两种运算封闭封闭，那么就称，那么就称 集合集合V V 为为向量空间向量空间 第64页/共77页 例例2 2是向量空间,),0( 2 T 2 RxxxxxV nn 因为若因为若 ,),0( ,),0( T 2 T 2 Vbbb Vaaa n n ,), , 0( T 22 Vbababa nn 则 .),0( T 2 V aa a n 例例1 1

36、.，就是一个向量空间，就是一个向量空间维向量的全体维向量的全体 n Rn 第65页/共77页 例例3 3.,),1 ( 2 T 2 不是向量空间RxxxxxV nn 因为若因为若 .)2,2,2(2 T 2 Vaaa n 则则 ，Vaaa n T 2 ),1( 例例4 4 .)0 , 0 ,0( T ，称为零空间，称为零空间是一个向量空间是一个向量空间 xV 练习练习1 1 . , 0),( 321 T 321 是否是向量空间？ RxxxxxxxxV i . , 1),( 321 T 321 是否是向量空间？ RxxxxxxxxV i 练习练习2 2 .是向量空间 .不是向量空间 第66页/共

37、77页 例例5 5n设设， 为为两两个个已已知知的的维维向向量量，集集合合 ,Lx R .是一个向量空间是一个向量空间 .这这个个向向量量空空间间称称为为由由向向量量， 生生成成的的向向量量空空间间 12m aaa一一般般地地，由由向向量量组组， ，生生成成的的向向量量空空间间为为 , 212211 RaaaxL mmm 第67页/共77页 12 (1),; r 线线性性无无关关 12 (2),.,. r V 中中任任一一向向量量都都可可由由线线性性表表示示 那么，向量组那么，向量组 就称为向量就称为向量的一个的一个 r , 21 V 基基， 称为向量空间称为向量空间 的的维数，维数，并称并称 为为 维向量维向量 空间空间 V rVr 定义定义2 2 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足 r , 21 V V r , 若若V V 的维数为的维数为r r，记做，记做dimdimV V= =r r 第68页/共77页 只含有零向量的向量空间只含有零向量的向量空间V称为称为0维向量空间，即维向量空间，即 dimV=0,它没有基它没有基 说明说明 6例 . , nR Rnn n n 的维数为且由