两角和差正余弦公式的证明

1、两角和差正余弦公式的证明F面我们就它们的推导证明方两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。法进行探讨。由角a, 0的三角函数值表示 a士厲的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦 公式的功能。换言之，要推导两角和差的正余弦公式 ，就是希望能得到一个等式或方 程,将口决Qf）或与a,的三角函数联系起来。根据诱导公式，由角0的三角函数可以得到&的三角函数。 因此，由和角公式容易得到对应的差角公式，也可以由差角公式得到对应的和角公式。 又因为即原角的余弦等于其余角的正弦，据此，可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此，只要解决这组公式中的一个，其余的公式将很容易得到。（一）在单位圆的框架下推

2、导和差角余弦公式注意到单位圆比较容易表示2，0和a士0，而且角的终边与单位圆的交点坐标可以用三角函数值表示，因此，我们可以用单位圆来构造联系试比I）与CE，0的三角函数值的等式。1.和角余弦公式（方法1）如图所示在直角坐标系中作单位圆0,并作角必，0和使角必的始边为Or,交匚0于点a终边交L于点b；角0始边为0$，终边交0于点C;角卩始边为0X ,终边交 0 于点 。从而点A B, C和D的坐标分别为由两点间距离公式得A?3=(aa+/r)-I)3+gn3(a+/5 = 2-2cos(tt+/5 ；BD1 =(cos/l-OTsa)2+(-an/J-aiia)2 = 2-2(CDsacDs/J

3、-suiCSUl/J)。注意到丄RD,因此匚珂at的匚储Qcos0 血卩血戸。注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架，利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段，从而得到我们所要的等式。注意，公式中的和0为任意角。2.差角余弦公式仍然在单位圆的框架下，用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段，也可以得到我们希望的三角等式。这就是(方法2)如图所示，在坐标系丄中作单位圆0,并作角和”，使角。和 0的始边均为伍，交DO于点c角加终边交DO于点A,角0终边交DO于点。 从而点A, b的坐标为加.曲上,11 d), A(匚s#,sin ff) o由两点间距离公式得2=(cosa-cos/

4、92+(ma/D = 2-2(z(：Ds/J+smasiii/J)。由余弦定理得Jff3 =0/ + 0B2-2OSDBmZJ0B=0 +O53-20ADBw(a=2-2诚z-妙从而有 c(K(6rl/9 coscos/ andn/f o注记：方法2中用到了余弦定理，它依赖于 M0U是三角形的内角。 因此，还需 要补充讨论角化和E的终边共线,以及 ZAOB 大于X的情形。容易验证，公式在以 上情形中依然成立。在上边的证明中，用余弦定理计算的过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明。f 八(CO u , Mil II).由向械数撤积的定九有()A * ()fh * |()B| cos(i

5、r3) -cos(a/?).由向最数fit积的坐标表示.有(cos sm ,、=cos acos 0亠 sitk asin &cost a 屏) c门歩 acos A sin sin ;1（二）在三角形的框架下推导和差角正弦公式除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式，还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。1.和角正弦公式（一）（方法3）如图所示,8D为人饥 的M边上的高,血为边上的高。设JC=b, ZCfB=a, ZCBA#,则。 从而有AE=bcnsa, CE=bsna,BE-CEal/i=baiLa（xtfl,因此 曲二廊+M = fi（ciisi+sinacot0） l

6、iD=Alisnk（L=lrnsaism（ZGdLfmao 注意到 BD二an（a+/9 , 从而有：（啊代+血忆诚甸血a匸曲, 整理可得：血血+Q二NacDsn+cosasin*。注记：在方法3中，用j!C和与底角 ff ,相关的三角函数,从两个角度来表示/C边上高ED,从而得到所希望的等式关系。这一证明所用的图形是基于钝角三角形的，对基于直角或锐角三角形的情形，证明过程类似。利用方法3中的图形，我们用类似于恒等变形的方式，可以得到下面的（方法4）如图所示,BD为 MIC的/C边上的高，|伽为屈边上的高。设M扰虫，八血0，则山小为AE AD注意到AACJiL 4D，则有处 BD，即。ASlB

7、C注意证明利用的图形现5上二竺尊从 而 有ADCE RBRE利用正弦定理和射影定理，将得到下面这个非常简洁的证法。 框架与方法3,4 所用的图形框架是相同的。（方法5）如图所示，CD为人饥的也边上的高。设ZCiS a，/0,则有乙4CR-X也m。由正弦定理可得AC SC AB 3 an fl sna on(a+/F)其中d为lABC的外接圆直径。由 A& - BCvp得 dTnQr I 肋 Jsin fTuisa 山血亦心“从而有血口 +团二站 ucos/Hcosa鈕0。2.和角正弦公式（二）方法3,4和5利用的图形框架是将角d,放在三角形的两个底角上。如果将这（方法 611）。（方法6）如图

8、所示,作 AELSC 于d,交MBC外接圆于e,连E和。 设ZBAEa, Z伽#,则饭E二a, ZG#,皿C二冇p。设的外接圆直径为d,则有,iE=dsnaBQ二胚cos#二ddnCEcos#,滋二/sin*,仞二血啊盘二dsinficosdo所以有 HC - Hi) t CD -f M亦D”)。注意到 BC-dana+/J),从而+/D = deus/?+cusasm(方法7)如图所示,ED为人MJC的曲边上的高，?为曲边上的高。设ZJCEa, ZBCE=fi,则厶伽二时氏 设CE=h,则AE=ha , SE=hfi, BC=hsmfi , JB-AE+BE=IMaibsifi) 肋二屈si

9、n /二屈cnsn二 畑口+阪血加a。又 Rf)-BCn(a I /9-As4T7in(fft/0从而I t3n/f)ctK7 see/fsin(a t 罚 o整理可得 an(cf Iondcos/f I c(KCzdn/fo（方法8）如图所示,作助丄0C于D,过D作DF丄Q4于F, DG丄肚于G 设乙 40C a, （：-“,则 /OR a W,设（M t ,从而RD = f血0,OD=FmsP, RG=肋皿a=siiL0cnsa,GE =DF=ODdnd=rmfiia o所以 Hl BG I GE r（sm /fcoscz f cos/fdn a） o注意到胚卩血丨切，则有sin（a *甸

10、二站 acos0+cosa血0。注记：我们用两种不同的方法计算BE,得到了和角的正弦公式。如果我们用两种方法来计算 0,则可以得到和角的余弦公式。由上图可得OF=ODcosa=rajsfiuysaF=GD=JtDifl（z=rgnMa从而有OE-Or EP-r 口畑“ !mT a刖。注意到0E - f i:頤Q仃0从而可得 （n/）-cus6) = i/cos/sin a + dcosaZdsin (3整理即得sin(a + /3) = sin a cos p+cos a sin 0（方法10）女口图所示，设/C为MSC的外接圆直径d,长度为d。设l（L4D a, MM卩，则山曲a * 0,从

11、而AB -dcos p BC - rfsin flCD = dnaRD = /sin(a + P)由托勒密定理知ACZBD = ABg + ADZBC即dZd sin(a+6) = dcossin a + dcos ad sin (3整理即得sin(tf + /3) - sin a cos p+cos 2f si n 0注记：这一证明用到了托勒密定理：若/C和是圆内接四边形的对角线 ，则有1O 血(a+购二办ns/Q/血代+dens oQf 血0（方法ii）如图所示, （刃为人椒： 的J/J边上的高。设 山CD a,ZBCD二E,则厶尬二a+#。设仙=h,则= AD + BD = h(tan

12、+ tanAC=hca BC = hsec/3I由正弦定理可得昇AB ACBCsin(tz +sin sin A即从而BP整理即得朋 _畀C _ RC sin(tZ + Q cos P coscrAB _ AC+BC sin(ff + /?) cos Q+ cos a/j(tana + tan p) _ /?(sec0) cos 4-cos asin(a + /?) = sin a cos/3 + cos tz si n方法10和11将某一线段作为基本量，利用与角CI ,相关的三角函数表示其它线段，再通过联系这些线段的几何定理（托勒密定理或正弦定理）,构造出我们希望的等式关系。3.差角正弦公式

13、仍然还是在三角形中 便是用这种想法来证明的。我们可以在三角形的内角里构造出差角来。方法12和13（方法12）如图所示ZACB-。设MC a,山吒0,记BD-b,作国E丄屈于e则0 = a一0, ZADE=a, 从而有CD = bsinDE = bn(a-fi)DA - DE sec a - b n(ap)sc a因此有AC CD -DA 方(sin Q+ P) sec OC)注意到BC-bcop AC -dcos/Jtac a从而整理可得sin /3+sin(a-/7)sec = costan asin p) sin 7cos cos ft sin (3（方法13）如图所示，AB为 L4BC的

14、外接圆直径，长度为d。设山辺 a,ZG4D=/?,则卩,ZCAB 二征-E 。 从而=d cos ct= aBC-dsin(a-p) AC -dcos(cr -p)DE -貝D tan p- d cos 負 tan /?RE = BC sec =)sec/?所以BD = AE + DE = (5in(迂sec 5+cos tan P)注意到BD :sitiCf = sin(df-)sec /?+ cosfftan 0整理可得sin(a - py = sin trcas J3-cosasin J3借此来构造等式方法12和13的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段 关系。很显然，在这十二种证法

15、中，方法1和2更具普遍性。换言之，这两种方法中出现的角 d,是任意角。而其余方法中，角a和”则有一定的限制，它们都是三 角形的内角（甚至都是锐角）。因此，对于方法313，我们需要将我们的结果推广到角 R讣旧圧和P是任意角的情形。具体而言，我们要证明：如果公式对任意丨2成立，则对任意角也成立。容易验证，角必和中至少有一个是轴上角 （即终边在坐标轴上的角 ），我们的 公式是成立的。下面证明，角和 都是象限角（即终边在坐标系的某一象限中的角）时，我们的公式也成立。不妨设a为第二象限角，0为第三象限角，从而有从而因此有a = 2mn+a, 0or, = （2m-l）jr+29neZsin ot cos cos a - sinsinp = sincos = cos=sin（2m+2n+）jt + （务 + 0J= _C0S（W +即= -cosaLcos d-sin sin A=cos G （- cos 坷）十（一 sin 务）（一 sin 0】）=sin a cos 0 + cos a sin 0同理可证，公式对于象限角的其它组合方式都成立。因此，我们可以将方法313推导的公式推广到角J ,是任意角的情形。两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。从上文中