254三角形的内切圆

1、2.5.4 2.5.4 三角形的内切圆三角形的内切圆 1.1.使学生了解画三角形的内切圆的方法，了解三角形的使学生了解画三角形的内切圆的方法，了解三角形的 内切圆、圆的外切三角形、三角形内心的概念内切圆、圆的外切三角形、三角形内心的概念. . 2.2.应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生 研究问题的能力研究问题的能力. . 3.3.激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动的热情激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动的热情 （2 2）直线）直线l和和O O相切相切 （3 3）直线）直线l和和O O相交相交 drdr d=rd=r drdr d

2、 o r l d o r l o d r l 圆和直线的位置关系圆和直线的位置关系 （1 1）直线）直线l和和O O相离相离 从一块三角形材料中从一块三角形材料中, ,能否剪下一个圆能否剪下一个圆, ,使其与各边都相切使其与各边都相切? ? A B C A B C I 所求圆的作法：所求圆的作法： D M N 【探究一探究一】 （1 1）作）作ABCABC，ACBACB的平分线的平分线BMBM和和CNCN，交点为，交点为I.I. （2 2）过点）过点I I作作IDBCIDBC，垂足为，垂足为D.D. （3 3）以）以I I为圆心，为圆心，IDID为半径作为半径作I I，则，则I I就是所求作的

3、内切就是所求作的内切 圆圆. . 直线直线BMBM和和CNCN只有一个交点只有一个交点I,I,并并 且点且点I I到到ABCABC三边的距离相等，三边的距离相等， 因此和因此和ABCABC三边都相切的圆可三边都相切的圆可 以作出一个以作出一个, ,并且只能作一个并且只能作一个. . A B C I M N 定义：定义：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆. .这这 个三角形叫作圆的外切三角形个三角形叫作圆的外切三角形. . 内切圆的圆心叫作三角形的内心，是三角形三条角平内切圆的圆心叫作三角形的内心，是三角形三条角平 分线的交点分线的交点. . 这样的

4、圆可以作出几个呢这样的圆可以作出几个呢? ?为什么为什么? ? D 分别作出锐角三角形分别作出锐角三角形, ,直角三角形直角三角形, ,钝角三角形的内切圆钝角三角形的内切圆, , 并说明它们内心的位置情况并说明它们内心的位置情况. . A A B B C C A A B B C C C C A A B B 【探究二探究二】 判断题：判断题： 1.1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等. .（ ） 2.2.三角形的外心到三角形各边的距离相等三角形的外心到三角形各边的距离相等. .（ ） 3.3.等边三角形的内心和外心重合等边三角形的内心和外心重合. .（

5、 ） 4.4.菱形一定有内切圆菱形一定有内切圆. .（ ） 5.5.矩形一定有内切圆矩形一定有内切圆. .（ ） 6.6.三角形的内心一定在三角形的内部三角形的内心一定在三角形的内部. .（ ） 错错 错错 对对 对对 错错 对对 【跟踪训练跟踪训练】 例例 如图，在如图，在ABCABC中，点中，点O O是内心，是内心， （1 1）若）若ABC=50ABC=50， ACB=70ACB=70， 则则BOCBOC的度数为的度数为_ （2 2）若）若A=80A=80，则，则BOC=_ BOC=_ （3 3）若）若BOC=110BOC=110，则，则A=_A=_ A A B B C C O O 130

6、130 4040 120120 【例题例题】 . 1 2 543 r . 2 cba r A A B BC C A A B BC C O O O D D E E F F 直角三角形的三边长与其内切圆半径间的关系直角三角形的三边长与其内切圆半径间的关系 b b a a c c 【跟踪训练跟踪训练】 1.1.已知已知: :如图如图,O,O是是RtRtABCABC的内切的内切 圆圆,C,C是直角是直角, AC=3,BC=4., AC=3,BC=4. 求求O O的半径的半径r. r. 2.2.已知已知: :如图如图, ,ABCABC的面积的面积S=4cmS=4cm2 2, , 周长等于周长等于10cm

7、.10cm. 求内切圆求内切圆O O的半径的半径r.r. 4 rcm. 5 . 2 cba S r 1 Sr abc . 2 斜三角形的三边长及面积与其内切圆半径间的关系斜三角形的三边长及面积与其内切圆半径间的关系 A A B BC C O O E E D D F F 3.3.如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建 造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象. .已知雕塑已知雕塑 中心中心M M到道路三边到道路三边ACAC，BCBC，ABAB的距离相等，的距离相等，ACBCACBC， BC=30BC=3

8、0米，米，AC=40AC=40米米. .求镇标雕塑求镇标雕塑 中心中心M M离道路三边的距离有多远？离道路三边的距离有多远？ A A C C B B 古镇区古镇区 镇镇 商商 业业 区区 镇工业区镇工业区 M M E E D D F F a b c30 40 50 r10 (. 22 米) 【解析解析】 由由ACBCACBC，BC=30BC=30米，米，AC=40AC=40米得米得AB=50AB=50米米. .所以所以 答：镇标雕塑中心答：镇标雕塑中心M M离道路三边的距离有离道路三边的距离有1010米远米远. . 1.1.（兰州（兰州中考）如图，正三角形的内切圆半径为中考）如图，正三角形的内

9、切圆半径为1 1， 那么这个正三角形的边长为（那么这个正三角形的边长为（ ） 【答案答案】D D 3C C32D D A A2 2 B B3 3 A B C .o 2.2.设设ABCABC的边的边BC=8BC=8，AC=11AC=11，AB=15AB=15，内切圆，内切圆I I和和BCBC，ACAC，ABAB 分别相切于点分别相切于点D D，E E，F.F. 求求AEAE，CDCD，BFBF的长的长. . 【解析解析】设设 AE=xAE=x，BF=yBF=y，CD=zCD=z 答：答： AE AE ，CD CD ，BFBF的长分别是的长分别是9 9，2 2，6.6. x+yx+y=15=15，

10、 y+zy+z=8=8， x+zx+z=11=11， x=9x=9， y=6y=6， z=2.z=2. 则则 解得解得 3.3.（黄冈（黄冈中考）如图，点中考）如图，点P P为为ABCABC的内心，延长的内心，延长APAP交交 ABCABC的外接圆于的外接圆于D D，在，在ACAC延长线上有一点延长线上有一点E E，满足，满足ADAD2 2 ABAEABAE，求证：，求证：DEDE是是O O的切线的切线. . A B C D E O P 证明：证明：连接连接DCDC，DODO并延长交并延长交O O于于F F，连接，连接AF.AF. ADAD2 2ABABAEAE，BADBADDAEDAE， B

11、ADBADDAEDAE，ADBADBE.E. 又又ADBADBACBACB， ACBACBE E，BCDEBCDE， CDECDEBCDBCDBADBADDACDAC， 又又CAFCAFCDFCDF， FDEFDECDE+CDFCDE+CDFDAC+CAFDAC+CAFDAFDAF9090， 故故DEDE是是O O的切线的切线. . 4.4.（衡阳（衡阳中考）如图，在中考）如图，在RtRtABCABC中，中，ABC=90ABC=90， 以以ABAB为直径的为直径的O O交交ACAC于点于点D D，过点，过点D D的切线交的切线交BCBC于点于点E E （1 1）求证：）求证： 1 . 2 DE

12、BC 2 5 （2 2）若）若tan C=tan C= ，DE=2DE=2，求，求ADAD的长的长 【解析解析】(1)(1)连接连接BDBD， ABAB为直径，为直径，ABC=90ABC=90， BEBE切切O O于点于点B B，DEDE切切O O于点于点D D， DE=BEDE=BE， EBD=EDBEBD=EDB， ADB=90ADB=90， EBD+C=90EBD+C=90，BDE+CDE=90BDE+CDE=90， C=EDCC=EDC， DE=CEDE=CE， BCDE 2 1 1 , 2 DEBC(2) (2) 因为因为DE=2DE=2， AB , BC 所以所以BC=4BC=4，在，在RtRtABCABC中，中，tan C=tan C= 2 5 5, 所以所以AB=BCAB=BC=2=2 AC AB AB AD 6 52 52 AD 又因为又因为ABDABDACBACB，所以，所以 ，即，即 10 . 3 所以所以AD=AD= 22 BCAB 在