抛物线的简单几何性质教学课件

1、 方程 性质 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 图形 范围bybaxa,Ryaxax,或 对称性轴及原点对称关于yx,轴及原点对称关于yx, 顶点坐标 ), 0(), 0( )0 ,(),0 ,( 21 21 bBbB aAaA )0 ,(),0 ,( 21 aAaA 叫短轴叫长轴 2121 ,BBAA 叫虚轴叫实轴 2121 ,BBAA 离心率) 10( ,e a c e ) 1( ,e a c e 结合抛物线结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形的标准方程和图形,探索探索 其的几何性质其的几何性质: (1)范围

2、范围 (2)对称性对称性 (3)顶点顶点 类比探索类比探索 x0,yR 关于关于x轴对称轴对称,对称轴对称轴 又叫抛物线的轴又叫抛物线的轴. 抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点. （0,0） 二、讲授新课：二、讲授新课： . y xo F （4 4）离心率）离心率 抛物线上的点与焦点的抛物线上的点与焦点的距距 离离和它到准线的和它到准线的距离距离 之比，叫之比，叫 做抛物线的离心率，由抛物线做抛物线的离心率，由抛物线 的定义，可知的定义，可知e=1e=1。 （5 5）焦半径）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线：连接抛物线任意一点与焦点的线 段叫做抛物线的段叫做抛物线的焦半径焦半径。 x

3、 O y 00 (,)P xy F 0 2 p PFx （6 6）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与通过焦点且垂直对称轴的直线，与 抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物 线的线的通径通径。 通径长为通径长为2p (, )(,) 22 pp ApBp、 A B 通过焦点的直线，与抛物通过焦点的直线，与抛物 线相交于两点，连接这两点的线相交于两点，连接这两点的 线段叫做抛物线的线段叫做抛物线的焦点弦焦点弦。 x O y F A 焦点弦：焦点弦： 焦点弦公式：焦点弦公式： ),( 11 yx B ),( 22 yx 12 p xx 思考：焦点

4、弦何时最短？思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短过焦点的所有弦中，通径最短 方程方程 图图 形形 范围范围 对称性对称性 顶点顶点 焦半径焦半径 焦点弦焦点弦 的长度的长度 y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） l F y x O l F y x O l F y x O x0 yRx0 yR xR y0 y0 xR l F y x O 12 pxx 12 ()pxx 12 pyy 12 ()pyy 0 2 p x 0 2 p x 0 2 p y 0 2 p y 关于关于x轴对称轴对称 关于关于x轴对称轴对

5、称 关于关于y轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称 （0,0）（0,0）（0,0）（0,0） 特点：特点： 1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无 限延伸限延伸,但它但它没有渐近线没有渐近线; 2.抛物线只有抛物线只有一条一条对称轴对称轴,没有对称中心没有对称中心; 3.抛物线只有抛物线只有一个一个顶点、顶点、一个一个焦点、焦点、一条一条准线准线; 4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的e=1; 5.抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响. P越大越大,开口越开阔开口越开阔-本质是成比例地放大！本质是成比例

6、地放大！ 例例1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在轴，焦点在 直线直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是上，那么抛物线通径长是 .16 三、典例精析三、典例精析 1lyx的方程为： 2 2 1 610 4 yx xx yx 解法解法1 1 F1(1 , 0), 12 12 32 232 2 22 222 2 xx yy 或 2 22 2 1 12 21 12 2 A AB B = = ( (x x - -x x ) ) + +( (y y - -y y ) ) = = 8 8 1lyx的方程为： 2 2 1 610 4 yx xx yx 22

7、 =116418 AB 2 2 1212 14kxxx x 解法解法2 2 F1(1 , 0), 1 12 21 1 2 2 x x + +x x = =6 6, , x xx x = =1 1 2 2 1 610 4 yx xx yx 解法解法3 3 1 12 21 1 2 2 x x + +x x = =6 6, , x xx x = =1 1 |AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 | =(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8 A B F A1 B1 解法解法4 4 8 45sin 22 sin 2 22 p AB 一、复习回顾：一、复习回顾： 直线

8、与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法： 1、根据几何图形判断的直接判断、根据几何图形判断的直接判断 2、直线与圆、直线与圆 锥曲线的公锥曲线的公 共点的个数共点的个数 Ax+By+c=0 f(x,y)=0(二次方程二次方程) 解的个数解的个数 形形数数 判断直线与双曲线位置关系的步骤：判断直线与双曲线位置关系的步骤： 把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程 直线与双曲线的直线与双曲线的 渐进线平行渐进线平行 相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式 0

9、=00=00=00)的位置关系及的位置关系及 判断方法判断方法. 1.点在抛物线外点在抛物线外 2.点在抛物线上点在抛物线上 3.点在抛物线内点在抛物线内 y02-2px00 y02-2px0=0 y02-2px00)的焦点的一条直线和的焦点的一条直线和 抛物线相交抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则 (1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2 p (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; (4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2 O y A B F 4. 在抛物线在抛物线 上求一点，使它到直线上求一点，使它到

10、直线2x-y-4=0的距的距 离最小离最小. 2 xy 5 |31)(x| 5 |4x2x| 5 |4y2x| d 22 解：设解：设P(x,y)为抛物线为抛物线 上任意一点，则上任意一点，则P到直到直 线线2x-y-4=0的距离的距离 2 xy 此时此时 y=1，所求点的，所求点的 坐标为坐标为P(1,1). 5 3 d min 当且仅当当且仅当 x=1 时，时， ， 法二法二: 观察图象可知观察图象可知,平移直线至与抛物线相切平移直线至与抛物线相切,则切点则切点 即为所求即为所求. 2 xy联立联立 得得 设切线方程为设切线方程为 2x-y+C=0， 0C2xx2) 1 ( 由由 得得 C=-10C)(42)( 2 又由（又由（ ）得）得 x=1x=1，y