常系数线性差分方程的求解

1、6.4 6.4 常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解 主要内容主要内容 重点：重点：用时域经典法求常系数线性差分方程用时域经典法求常系数线性差分方程 求解常系数线性差分方程的方法求解常系数线性差分方程的方法 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应 线性时不变离散系统的差分方程是常系数线性线性时不变离散系统的差分方程是常系数线性 差分方程，基本形式：差分方程，基本形式： )() 1() 1()( 110 NnyaNnyanyanya NN M)x(nb)Mx(b)x(nbx(n)b NN 11 110 M r r N k k rnxbknya 00 )()(或写成或写成 在差分

2、方程中，各序列的序号自在差分方程中，各序列的序号自n n以递减方式给以递减方式给 出，称为后向出，称为后向( (或右移序或右移序) )差分方程。差分方程。 4 4、变换域法（、变换域法（Z Z变换法）变换法） 逐次代入求解，逐次代入求解， 概念清楚，概念清楚， 比较简便，比较简便， 适用于计算机，缺点是不易得出通式解答。适用于计算机，缺点是不易得出通式解答。 1 1、迭代法、迭代法 2 2、时域经典法、时域经典法 3 3、全响应零输入响应零状态响应、全响应零输入响应零状态响应 零输入响应求解与齐次通解方法相同零输入响应求解与齐次通解方法相同 零状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要。零状态响应

3、求解利用卷积和法求解，十分重要。 求解过程比较麻烦求解过程比较麻烦 一、求解常系数线性差分方程的方法一、求解常系数线性差分方程的方法 全响应齐次解全响应齐次解 特解特解 自由响应自由响应 强迫响应强迫响应 本章着重介绍时域中求常系数线性差分方本章着重介绍时域中求常系数线性差分方 法，下一章详细研究法，下一章详细研究Z Z变换方法。变换方法。 下面我们学习时域经典法解常系数线性差下面我们学习时域经典法解常系数线性差 分方程。分方程。 时域经典解法时域经典解法 1 1、齐次解、齐次解 一般差分方程对应的齐次方程的形式为一般差分方程对应的齐次方程的形式为 一般情况下，对于任意阶的差分方程，它们的齐次

4、一般情况下，对于任意阶的差分方程，它们的齐次 解的形式为解的形式为 的项组合而成。的项组合而成。 n C 0 0 N k kn kC a 消去常数消去常数C C，并逐项除以，并逐项除以 得到：得到： Nn 0 1 1 10 0 NN NN N k kN k aaaaCa 上式称为齐次微分方程的特征方程，其根上式称为齐次微分方程的特征方程，其根 称为差分方程的特征根。称为差分方程的特征根。 N , 21 0)() 1() 1()( 110 NnyaNnyanyanya NN 非重根时的齐次解非重根时的齐次解 N k n kk n NN nn CCCC 0 2211 K K次重根次重根时的齐次解时

5、的齐次解 K i niK i n KK KK nCCnCnCnC 1 111 2 2 1 1 )( 共轭根共轭根时的齐次解时的齐次解 0 2, 1 j ejba nn jbaCjbaCny)()()( 21 有一个有一个K K重复根重复根时的齐次解时的齐次解 01 2 2 1 1 01 2 2 1 1 sin)( cos)()( nDnDnDnD nCnCnCnCny n KK KK n KK KK 0201 sincosnCnC nn 0)(6) 1(5) 2(nynyny 初始条件为初始条件为y(0)=2y(0)=2和和y(1)=3y(1)=3，求方程的齐次解。，求方程的齐次解。 例例.系

6、统的差分方程系统的差分方程 特征根为特征根为 . 3, 2 21 nn h CCny) 3()2()( 21 于是于是 由初始条件由初始条件 21 2)0(CCy 21 323) 1 (CCy 解得：解得：1, 3 21 CC 故齐次解故齐次解 nn h ny3)2( 3)( 0) 3)(2(65 2 解：特征方程为解：特征方程为 2 2、特解、特解 特解得求法：将激励特解得求法：将激励x(n)x(n)代入差分方程右端得到代入差分方程右端得到 自由项，特解的形式与自由项及特征根的形式有关。自由项，特解的形式与自由项及特征根的形式有关。 （1 1）自由项为）自由项为n nk k的多项式的多项式

7、1 1不是特征根：不是特征根： k kk p DnDnDny 1 10 )( 1 1是是K K重特征根：重特征根： )()( 1 10k kkK p DnDnDnny （2 2）自由项为）自由项为 n a 不是特征根，不是特征根，则特解则特解a n p Dany)( 是特征单根，是特征单根，则特解则特解a n p aDnDny)()( 21 是是k k重特征根，重特征根，则特解则特解a n k kk p aDnDnDny)()( 1 1 21 （3 3）自由项为正弦）自由项为正弦 或余弦或余弦 表达式表达式 0 cosn 0201 cossin)(nDnDny p 0 sinn （4 4）自由

8、项为正弦）自由项为正弦)cossin( 0201 nAnA n 不是特征根不是特征根 0 j e )cossin()( 0201 nDnDny n p )cossin()( 0201 nDnDnny nk p 是特征根是特征根 0 j e 例例6-96-9： 求下示差分方程的完全解求下示差分方程的完全解 ) 1()() 1(2)(nxnxnyny 其中激励函数其中激励函数 ，且已知，且已知 2 )(nnx 1) 1(y 解：特征方程：解：特征方程： 02 2 齐次通解：齐次通解： n c)2( 将将 代入方程右端，得代入方程右端，得)(nx 12)1()1()(22nnnnxnx 设特解为设特

9、解为 形式，代入方程得形式，代入方程得 21 DnD 12) 1( 2 2211 nDnDDnD 比较两边系数得比较两边系数得 123 23 12 1 DD D 解得解得 完全解为完全解为 9 1 3 2 )2()(ncny n 代入边界条件代入边界条件 ，求，求1) 1(yc 9 1 ) 1( 3 2 )2(1 n c 9 8 c得得 9 1 3 2 )2( 9 8 )(nny n 9 1 , 3 2 21 DD 经典法不足之处经典法不足之处 (1).(1).若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 (2).(2).若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。

10、若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 (3).(3).若初始条件发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 (4).(4).这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统 响应的物理概念。响应的物理概念。 二、零输入响应和零状态响应二、零输入响应和零状态响应 系统的完全响应（差分方程的完全解）可表示为自由系统的完全响应（差分方程的完全解）可表示为自由 响应分量与强迫响应分量（齐次解与特解）之和。响应分量与强迫响应分量（齐次解与特解）之和。 )()( 1 nDCny N k n kk 根据边界条件及激励的不同，完全响应也可分为根据边界条件

11、及激励的不同，完全响应也可分为 零输入响应和零状态响应之和。零输入响应和零状态响应之和。 )()()(nynyny zszi 当起始状态当起始状态y(-1)=y(-2)= =y(-N) y(-1)=y(-2)= =y(-N) =0=0时，由系统的激励时，由系统的激励xnxn所产生的响应。它是自所产生的响应。它是自 由响应的另外部分加上强迫响应。由响应的另外部分加上强迫响应。 )(nyzs 当激励当激励x(n)=0 x(n)=0时，由系统的起始状态时，由系统的起始状态y(-1), y(-1), y(-2), y(-N)y(-2), y(-N)所产生的响应。它是齐次解所产生的响应。它是齐次解 的形

12、式，它是自由响应的一部分。的形式，它是自由响应的一部分。 )(nyzi 1 N n kkp k y nCyn 强 迫 响 应 自 由 响 应 11 NN nn zikkzskkp kk CCyn 零输入响应零状态响应 () kzikzsk CCC 1 1、零输入响应、零输入响应 输入为零，响应由齐次差分方程求得，是仅由初输入为零，响应由齐次差分方程求得，是仅由初 始储能引起的响应。始储能引起的响应。 注意：注意： 确定零输入响应的系数时，必须用仅由初始状态确定零输入响应的系数时，必须用仅由初始状态 引起的初始条件；引起的初始条件； 初始条件为初始条件为 M 个任意时刻的响应值，故零输入响个任意

13、时刻的响应值，故零输入响 应的表达式不再加写后缀应的表达式不再加写后缀 n n0。 例例 描述离散时间系统的差分方程为描述离散时间系统的差分方程为 ，)()(8) 1(12)2(6) 3(nxnynynyny 解：特征方程为解：特征方程为0)2(8126 323 n zi nCnCCny)2)()( 2 321 23) 3(2)2(1) 1 ()()(yyynunx，初始条件为初始条件为激励激励 在差分方程中，令在差分方程中，令n=-1,n=-1,得得 0) 1() 1(8)0(12) 1 (6)2(xyyyy 可见可见 y(2) , y(1) , y(0) 和和 y(-1) 与激励无关与激励

14、无关,仅由初始储能引起。仅由初始储能引起。 1) 1 () 1 (, 2)2()2( zizi yyyy 。试求零输入响应试求零输入响应 在差分方程中，令在差分方程中，令 n = 0n = 0，得，得 可见，可见，y(3)y(3)与激励有关与激励有关, ,是初始储能和激励共同引起的是初始储能和激励共同引起的, , 不能用来确定零输入响应的待定系数。不能用来确定零输入响应的待定系数。 将将y(1)=1,y(2)=2,y(3)=-23y(1)=1,y(2)=2,y(3)=-23代入上式代入上式, ,可得第三个零输可得第三个零输 入条件：入条件： )0(0)0( zi yy 1)0()0(8) 1

15、(12)2(6) 3(xyyyy 1 0)0(Cyzi 321 2221) 1 (CCCyzi 321 16842)2(CCCyzi 于是得到于是得到 4 3 4 5 0 321 CCC，解解得得 n zi nnny) 2)( 4 3 4 5 ()( 2 所所以以 n zi nCnCCny)2)()( 2 321 1) 1 (, 2)2( zizi yy0)0( zi y 2 2、零状态响应、零状态响应 离散时间系统求解零状态响应，可以直接求解非齐离散时间系统求解零状态响应，可以直接求解非齐 次差分方程得到。求解方法与经典法计算连续时间系次差分方程得到。求解方法与经典法计算连续时间系 统零状态

16、响应相似。即首先求齐次解和特解，然后代统零状态响应相似。即首先求齐次解和特解，然后代 入仅由激励引起的初始条件入仅由激励引起的初始条件 若激励在若激励在n= 0时接系统，时接系统， 根据系统的因果性，零状态条件为根据系统的因果性，零状态条件为y(-1)=y(-2)=. . .=0 确定待定系数。但当激励信号较复杂，且差分方程阶确定待定系数。但当激励信号较复杂，且差分方程阶 数较高时，上述求解非齐次差分方程的过程相当复杂，数较高时，上述求解非齐次差分方程的过程相当复杂， 因此，与连续时间系统的时域分析一样，离散时间系因此，与连续时间系统的时域分析一样，离散时间系 统计算零状态响应也常用卷积分析法

17、。统计算零状态响应也常用卷积分析法。 差分方程的边界条件不一定差分方程的边界条件不一定由由 这一组数字给出。对于因果系统，常给定这一组数字给出。对于因果系统，常给定 为边界条件为边界条件。 若激励信号在若激励信号在n=0n=0时接入系统时接入系统，所谓零状态是指所谓零状态是指 都等于零，而不是指都等于零，而不是指 等于零等于零。 如果已知如果已知 欲求欲求 可用迭代求出可用迭代求出。 ) 1(,),2(),1 (),0(Nyyyy )(,),3(),2(),1(Nyyyy ) 1(,),2(),1 (),0(Nyyyy ) 1(,),2(),1 (),0(Nyyyy )(,),3(),2(),

18、1(Nyyyy )(,),3(),2(),1(Nyyyy 例例: 已知描述系统的一阶差分方程为已知描述系统的一阶差分方程为 （1）边界条件）边界条件 ，求，求 （2）边界条件）边界条件 ，求，求 , ; zizs ynyny n和 11 1 23 y ny nu n 11y 10y , zizs ynyny n和。 解解:（1）起始时系统处于零状态，所以，）起始时系统处于零状态，所以， 0 zi yn 3 1 2 1 DD , 3 2 D 12 ( ) 23 n zs y nynC 齐次解为齐次解为 , 设特解为设特解为D, 1 ( ) 2 n C 由由y-1=0可求出可求出, 3 1 C 所以，所以， 1 12 ( )(0) 3 23 n zs y nynn （2 2） 先求零状态响应，此即为（先求零状态响应，此即为（1 1）的结果）的结果 1 12 ( )(0) 3 23 n zs ynn 再求零输入响应，令再求零输入