【精品课件】第三章3.2.4二面角及其度量VIP

1、 一个一个平面平面内的一条内的一条直线直线把这个把这个平面平面分成分成 两个部分两个部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做半平面半平面。 一条一条直线直线上的一个上的一个点点把这条把这条直线直线分成两分成两 个部分个部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做射线射线。 2 O B A A B 从一条直线出发的两个半平面所组成的从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做图形叫做二面角二面角。 这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱。 这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。 3 定义: A B 二面角二面角 AB l 二面角二面角 l 二面角二面角CAB D A

2、 B C D 5 O B A AOB 表示方法： l O O1 A B A1 B1 A O BA1O1B1 ？ 以二面角的以二面角的棱棱上任意一点为端点，在上任意一点为端点，在 两个面内两个面内分别作分别作垂直垂直于棱的两条射线，这于棱的两条射线，这 两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。 平面角是平面角是直角直角的二的二 面角叫做面角叫做直二面角直二面角 9 二面角的大小用它的平面角来度量二面角的大小用它的平面角来度量 度量： 二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足： 3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上角的顶点

3、在棱上 2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 以二面角的以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点，为端点，在在 两个面内两个面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线，这的两条射线，这 两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。 10 l O A B :0,范 围 二面角的计算：二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角 2、证明证明 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小计算出此角的大小 一一“作作”二二“证证”三三“计算计算” 16 .如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角中，二面

4、角C1-BD-C 的正切值是的正切值是_. 2 练习 l l 三、面面角：三、面面角： 二面角的范围：0, 法向量法法向量法 1 n 1 n 2 n 2 n 12 n n ， 12 n n ， 12 n n ， 12 n n ， cos 12 cos, n n cos 12 cos, n n 注意注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 l 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的（在二面角

5、的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。夹角。如图，设二面角如图，设二面角 的大小为的大小为 ， 其中其中 l ,ABl ABCDl CD coscos, AB CD AB CD AB CD D C B A 三、面面角：三、面面角： 方向向量法：方向向量法： 二面角的范围：0, 例例1 1、已知在一个二面角的棱上有两个点、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱都垂直于棱AB，AB=4=4cm，AC=6=6cm，BD=8=8cm， CD= =2 17cm，求二面角的度数，求二面角的度数 C D A B 2

6、 2 2222 () (2 17)6482cos, CDCA AB BD CA BDCA BD 解： 1 cos, 2 1 cos, 2 CA BD AC BD 3 E 所以二面角为所以二面角为 例例2.正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的中点，的中点， 当当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。 111 CBAABC 11 BCABCBCD 1 C A D B C1B1 A1 )0, 2 1 , 2 3 (aaA )0 ,0(aB )0 , 4 1 , 4 3 (aaD), 0 , 0( 1 bC),0( 1 baB 解：如图，以解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空

7、间直角坐标系C-xyz。设底面三。设底面三 角形的边长为角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b, 则则 故 ), 2 1 , 2 3 ( 1 baaAB), 0( 1 baBC 11, ABBC 22 11 1 0 2 AB BCab 2 2 ba 则可设 =1， ，则B(0,1,0) a 2 2 b )0 , 4 1 , 4 3 (D) 2 2 , 0 , 0( 1 C y x z C A D B C1B1 A1 在坐标平面在坐标平面yoz中中 1 CC B 设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 BDC1 ),(zyxm 可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 BCC1 n )

8、0 , 4 3 , 4 3 (DB ) 2 2 , 4 1 , 4 3 ( 1 DC y x z C A D B C1B1 A1 由由 得得mDBmDC, 1 1 312 0, 442 CD mxyz 0 4 3 4 3 yxmDB 解得解得 zyx 2 6 3 所以，可取所以，可取 )6, 3, 3(m cos = nm , 2 2 23 3 nm nm 即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 CBCD 1 2 2 证明：以证明：以 为正交基底，为正交基底， 建立空间直角坐标系如图。则可得建立空间直角坐标系如图。则可得 1 DA DC DD 、 、 1 (2 0 0)(0 2 0)(0 01

9、) (2 2 2)(110) ACM BO ， ， ， ， ， ， ，。 1 (2 01)(0 21) ( 112) MAMC BO 所以， ， ， ， ， ， ， 11 20200220BO MABO MC ， 11 BOMABOMC 所以 ， 11 BOMABOMCMAMCC即 ， 。又 1 BOMAC所以平面 例例. .已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2， O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为 的中点的中点 （1 1）求证：）求证： 直线直线 面面MAC; （2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值. . 1111 DCBAABCD 1 DD OB1 1 BMA C B

10、1 A1 C1 D1 D C B A O M x y z 1 BOMAC由知 平面 B1 A1 C1 D1 D C B A O M x y z 1 BOMAC 所以是平面的一个法向量 1 (2 0 0)(0 01)(2 2 2)AMB由， ， ， ，得 1 ()B MAnxyz 设平面的一个法向量为， ， 1 (2 01)(2 21)MAMB ， ， ， ， 1 00 200 21-2 220 n MAn MB xz zxy xyz 所以， 即 取 = 得 = ， = 1 (12 2) B MA n 所以平面的一个法向量为 ， ， 1 ( 112)BO 且， ， 1 1246 cos 669

11、BO n ， 1 6 6 BMAC所以二面角的余弦值为。 , 1 ,1, 2 . AABCD SAABBCADSCDSBA 0 如所示，ABCD是一直角梯形， ABC=90 S平面求面与面 所成二面 例 ： 角的余弦值 4 A B C D S x z y A- xyz解： 建立空直角坐系如所示, A( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) , 1 ,0), 2 D ( 0, (0,0,1)S 1 1 (0,0) 2 SBAnAD易知面的法向量 11 (1,0),(0, 1) 22 CDSD 2 ( , , ), SCDnx y z的法向量 22 , nCD nSD由得：设平面设平面 0 2 0 2 y x y z 2 2 y x y z 2 (1,2,1) n任取 12 12 12 6 cos, 3| n n n n nn 6 3 即所求二面角得余弦值是 小结：小结： 1.异面直线所成角： cos|cos,| a b 2.直线与平面所成角： sin cos, n AB | A B CD 1 D A B O n a