线性代数newPPT学习教案

1、会计学1 线性代数线性代数new 第一章 行列式 行列式是为了求解线性方程组而引 入的，但在线性代数和其它数学领域以及 工程技术中，行列式是一个很重要的工具 。 第1页/共42页 第2页/共42页 二阶行列式与三阶行列式 注： 该定义称之为对角线法则。 1112 11 2212 21 2122 131112 11 22 3312 23 3113 21 32 232122 13 22 3112 21 3311 23 32 313233 aa a aa a aa aaa a a aa a aa a a aaa a a aa a aa a a aaa 第3页/共42页 n 第4页/共42页 一、定义

2、 11121 21222 12 . . . . n n nnnn aaa aaa aaa 12 12 ( 1).(1) n ppnp aaa 设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表 作出表中位于不同行不同列的n个元素的乘积，并冠以符号(-1)，得形如 的项，其中p1p2pn为自然数1、2、n的一个 第5页/共42页 排列，为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有 n! 个，因而形如(1)式的项共有 n! 项。所有这 n! 项的代数和 12 12 12 12 12 . 11121 21222 12 . 12 ( 1). . . ( 1). . . . . n n n n ppnp p pp

3、n n ppnp p pp nnnn aaa n aaa aaa Daaa aaa 称为阶行列式，记作 第6页/共42页 其中 p1 p2 pn是1 n 的任一排列， 是排列p1 p2 pn的逆序数，即 = ( p1 p2 pn )。 二、几个特殊的行列式 det()det() ijijij aaa简记为。数称为行列式的元素. 第7页/共42页 12 ( .)( ,1,.,2,1) 12.(2)(1) (1) 2 n p ppn n nn n n 1 2 12 1 (1) 22 12 0 . 0 0. 0 . . . . . 0 0 . ) 0 . 0 0 .0 ( 1). . . . . .

4、 0 0 n n nn n n 1)主对角行列式 2 次对角行列式 1. 1. 对对角角行行列列式式 第8页/共42页 11 2122 1122 12 11121 222 1122 0 . 0 . 0 . . . . . . 0. . . . . 00 . nn nnnn n n nn nn a aa a aa aaa aaa aa a aa a 1) 下三角行列式 2) 上三角行列式 2.2.三三角角行行列列式式 第9页/共42页 1,11,11, (1) 2,12,1 2 1,2,1, ,1 1, (1) 2,12, 2 1,2,1, ,1,1, . .0 ( 1). . . 000 0

5、.0 0 . ( 1). . . . nn n n n nnn n n n n n nn nnn n nn nn n aaa aa a aa a a aa a aa aaa 3) 次上三角行列式 4) 次下三角行列式 第10页/共42页 第11页/共42页 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行 第 j 列划去后，留下来的 n-1 阶行列式叫做元 素 aij 余子式，记作 Mij；记 Aij = (-1)i+j Mij， Aij 叫做元素 aij 的代数余子式。 一、余子式与代数余子式 1,11,11,1,11, 1,11,11,1,11, ,1,1,1, 1,11,11,1,1

6、1 ,1,1, . . . . . . . jjjn iijijijin ii ji ji ji n iijijijin nn jn j aaaaa aaaaa aaaaaD aaaaa aaa ,1, . n jn n aa 第12页/共42页 1,11,11,11, 1,11,11,11, 1,11,11,11, ,1,1,1, 1,11,11,1 . . . . . . . ( 1)( 1) jjn iijijin ij iijijin nn jn jn n jj ijij ijij aaaa aaaa M aaaa aaaa aaa AM 1, 1,11,11,11, 1,11,11,

7、11, ,1,1,1, . . . . . . n iijijin iijijin nn jn jn n a aaaa aaaa aaaa 第13页/共42页 第二章 矩阵及其运算 矩阵是线性代数的一个主要研究对象， 也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经 渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学 在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算 起着重要的作用。 第14页/共42页 第15页/共42页 1.定义定义 由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的数表 称m行n列矩阵，简称mn矩阵。记作 一、概念： 11121 21222 12 . . . . n n mmmn

8、aaa aaa aaa 11121 21222 12 . . . . n n mmmn aaa aaa aaa A 第16页/共42页 这 mn 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元，数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A的 ( i,j )元。以数 aij 为(i,j)元的矩阵可简记作 (aij) 或 (aij)mn，mn 矩阵 A也记作A mn。 元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵。 行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵，记作 An。 第17页/共42页 2. 矩阵的转置：矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，叫做

9、A的转置矩阵，记作AT。 如果 A是一个 mn 阶矩阵，那么 AT 就是一个 nm 阶矩阵。且 A 的行一定就是 AT中同序数的列 T 14 123 25 456 36 AA TTTTT TTTTT (1)() (2)() (3)() (4)() AAABAB AAABB A 第18页/共42页 第19页/共42页 设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 A B = B A = E 恒成立，则称矩阵 A 可逆；B 称为 A 的逆矩阵，记为 A1 = B 。 1.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。 一、可逆矩阵的定义 二、可逆矩阵的判断 第20页/共42页 2.若| A|0，

10、则 A可逆，且 1* 11211 11121 * 12222 21222 12 12 1 . . . . . . . n n n n nnnn nnnn ijij aaa aaa aaa a 其中是矩阵的元素 的代数余子式 A A A A A A A A A A A A A A A A。 第21页/共42页 1 * 1* 1 2 3 4 0 1 2 3 . 0 0 1 2 0 0 0 1 12 10 0 12 1 1 0 012 0 001 12 10 10 12 1 0 012 0 001 例设，求： 解：， 所以 AA AA AA A 第22页/共42页 第三章矩阵的初等变换 本章通过引进

11、矩阵的初等变换，建立 矩阵的秩的概念，然后再利用矩阵的初 等变换求矩阵的逆矩阵和解线性方程组. 第23页/共42页 第24页/共42页 在mn阶矩阵A中，任取k行与k列(km，k n)，位于这些行列交叉点处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。 mn阶矩阵A中的k阶子式共有 个。 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵的秩。记作R(A)。同时规定，零矩阵的秩等于0。 kk mn CC 第25页/共42页 由行列式性质可知，在 A中当所有r1阶子式全等于零时，所

12、有高于r1阶的子式也全等于零，因此 A的秩 R(A)就是 A中不等于零的子式的最高阶数。 由矩阵秩的定义可知，矩阵与它的转置矩阵的秩是相等的。 第26页/共42页 由行列式性质可知，在 A中当所有r1阶子式全等于零时，所有高于r1阶的子式也全等于零，因此 A的秩 R(A)就是 A中不等于零的子式的最高阶数。 求矩阵的秩的一种常用办法：对待求秩的矩阵进行行的初等变换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩阵的秩。 第27页/共42页 12 24 34 14 24 343 2443 2 3 3 214 16 2 1 8 3 71 0320 23 0 75036 35 32 5 8 0024 20 1

13、 0 3 2 00 121 7 1 0 3 201 0 3 2 0 0 1 21 70 1 21 7 0 0 0 0 140 0 0 0 0 16 rr rr rr rr rr rrr rrrr 解： 0 0 0 1 0 0 0 0 0 R( )3 A 2 1 8 3 7 23 0 75 1.A 32 5 8 0 1 0 3 2 0 A例 设 ，求矩阵 的秩 第28页/共42页 第四章 相似矩阵 本章通过矩阵的特征值、特征向 量以及相似矩阵的概念，进而找出对称 矩阵可对角化的条件。 第29页/共42页 第30页/共42页 . 1 . (1) ( ) 2 nn nn 0 A xA xx A xA

14、 AE x AE 定义 设是阶矩阵，如果有和维非 零列向量使关系式（） 成立，那么称实数 为方阵的特征值，非零 向量称为 的对应于特征值的特征向量 式也可写成（ ） 即是个未知量个方程的齐次线性方程组。 它有非零解的充分必要条件是系数行列式 0 (3) 第31页/共42页 1 2 1 2 ( ) . () ,., (i) . ijn n n f n n na A AE AA A A 上式是以为未知量的一元次方程，称为 方阵的特征方程。 其左端是的次多项式，记 为，称为方阵的特征多项式。显然， 的特征值就是特征方程的解。阶矩阵在复 数范围内有个特征值 设阶矩阵的特征值为， 由多项式根与系数的关系

15、，易得 1122 1 2 . (ii) . nnn n aaa A 第32页/共42页 ()0 , ( .) i i ii iii ii A AE x xppA p p 设是方阵的一个特征值，则由方程 可求得非零解那么便是的对应于 特征值的特征向量 若是实数，则可取 实向量；若是复数，则是复向量 。 第33页/共42页 2 2 12 1 1 2 31 . . 1 3 31 (3)1 86 13 (4)(2) 2 4 2 321 1 32 x x 例1A A A 求的特征值和特征向量 解：的特征多项式为 所以的特征值为 当时，对应的特征向量应满足 1 2 1 2 00 00 xx xx 即 第3

16、4页/共42页 12 T 1 1 2 2 1 12 2 T 2 (1,1) 3410 4 1 340 1 10 0 00 ( 1,1) xx x x x xx x p p 解得，所以对应的特征向量可取为 当时，由 即，解得 所以对应的特征向量可取为 (0) . ii ii kk pA p 显然，若是方阵 的对应于特征值 的特 征向量，则也是对应于的特征 向量 第35页/共42页 2 1 2 3 1 1 1 0 .4 3 0 . 1 0 2 110 430(2)(1) 102 2 1 2 (2)0 例2A A AE A AE x 求矩阵的特征值和特征向量 解：的特征多项式为 所以的特征值为 当时

17、，解方程即： 第36页/共42页 11 1 3 1 01 0 0 24 1 0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 0 (0) 1 2 kk AE pp得基础解系，所以是 对应于的全部特征向量。 第37页/共42页 11 1 3 1 01 0 0 24 1 0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 0 (0) 1 2 kk AE pp得基础解系，所以是 对应于的全部特征向量。 第38页/共42页 2 2 1 2 3 2 1 1 .0 2 0 . 4 1 3 211 020 413 21 (2)(2)(2) 43 (1)(2) 1 2 例3 求矩的特征值和特征向量 解： 所以的特征值 A AE A n n 第39页/共42