空间向量及其运算的坐标表示PPT学习教案

1、会计学1 空间向量及其运算的坐标表示空间向量及其运算的坐标表示 建立三条数轴：建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，它们都叫做坐标轴，它们都叫做坐标 轴轴.这样就建立了一个空间直角坐标系这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,通过通过 每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。 2空间直角坐标系（右手）：空间直角坐标系（右手）： O Z Y X x轴：横坐标轴：横坐标 y轴：纵坐标轴：纵坐标 z轴：竖坐标轴：竖坐标 坐标平面：坐标平面：xoy,yoz,zox 第1页/共19页 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一中，对空间任一 点点A,对应一个向量对

2、应一个向量OA，于是存在唯一的有序实，于是存在唯一的有序实 数组数组x,y,z，使，使 OA=xi+yj+zk 在单位正交基底在单位正交基底i, j, k中与向量中与向量 OA对应的有序实数组对应的有序实数组(x,y,z)， 叫做点叫做点A在此空间直角坐标系在此空间直角坐标系 中的坐标，记作中的坐标，记作A(x,y,z)，其中，其中 x叫做点叫做点A的横坐标，的横坐标，y叫做点叫做点A 的纵坐标，的纵坐标，z叫做点叫做点A的竖坐标的竖坐标. 3空间中点的直角坐标表示空间中点的直角坐标表示 x y z O A(x,y,z ) i j k 第2页/共19页 O Z Y X P(x,y,z ) y

3、z x 第3页/共19页 设设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则 AB=OB-OA=(x2,y2,z2)- (x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中一个向量在直角坐标系中 的坐标等于表示这个向量的坐标等于表示这个向量 的有向线段的终点的坐标的有向线段的终点的坐标 减去起点的坐标减去起点的坐标. . 4空间向量的直角坐标表示空间向量的直角坐标表示 OA=(x1,y1,z1) OB=(x2,y2,z2). 第4页/共19页 则设),(),( 321321 bbbbaaaa ;ab ;ab ;a ;a b /; . ab ;ab 11

4、2233 (,)ab ab ab 112233 (,)ab ab ab 123 (,),()aaaR 1 12233 a ba ba b 112233 ,()ab ab abR 112222 /ababab 1 12233 0a ba ba b 第5页/共19页 2222 123 | aa aaaa 2222 123 | bb bbbb 1.1.距离公式距离公式 （1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。角线的长度。 第6页/共19页 | AB ABAB AB 212121 (,)xxyyzz

5、 222 212121 ()()()xxyyzz 222 ,212121 ()()() A B dxxyyzz （2 2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式 （3）中点坐标公式：）中点坐标公式：) 2 , 2 , 2 ( 212121 zzyyxx 第7页/共19页 cos, | | a b a b ab 1 1223 3 222222 123123 ; a ba ba b aaabbb 2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式 注意：注意： （1）当）当 时，同向；时，同向； （2）当）当 时，反向；时，反向； （3）当）当 时，。时，。 cos,1 a b 与 ab cos,1 a

6、 b 与 ab cos,0 a b ab 思考：当思考：当 及及 时，时， 的夹角在什么范围内？的夹角在什么范围内？ 1cos,0 a b,10cos a b 第8页/共19页 平面向量空间向量 2 2 ),( ,)()(| );,( ),(),( . ;),( );,( ),(),( 21 21 2 12 2 12 1212 2211 2121 11 2121 2211 yy y xx x AByxC yyxxAB yyxxAB yxByxA yyxx Ryx yyxx yxyx 的中点，则是 则 若 平面向量的坐标运算： ba a ba ba 2 2 2 ),( ,)()()(| );,(

7、 ),(),( . ;),( );,( ),(),( 21 21 21 2 12 2 12 2 12 121212 222111 212121 111 212121 222111 zz z yy y xx x AByxC zzyyxxAB zzyyxxAB zyxBzyxA zzyyxx Rzyx zzyyxx zyxzyx 的中点，则是 则 若 空间向量的坐标运算： ba a ba ba 第9页/共19页 平面向量空间向量 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 2211 | cos ),(),( yxyx yyxx yxyx ba ba ba, ba 平面向量的夹角： 2 2 2 2 2

8、 2 2 1 2 1 2 1 212121 222111 | cos ),(),( zyxzyx zzyyxx zyxzyx ba ba ba, ba 空间向量的夹角： 0 0/ ),(),( 2121 1221 2211 yyxx yxyx yxyx ba ba ba 垂直与平行： 0 (?)/ ),(),( 212121 2 1 2 1 2 1 222111 zzyyxx z z y y x x zyxzyx ba ba ba 垂直与平行： 第10页/共19页 平面向量空间向量 . , , 21 21 ee a ee yx yxa ，使，有且仅有一对实数向量 平面内的任一的向量，那么对于这

9、个 共线是同一平面内的两个不如果 平面向量基本定理： .),( , 321 321 eeea eee zyxzyx a 使实数对 ，存在唯一的有序于空间中任一向量 不共面，那么对如果三个向量 空间向量基本定理： ., /,: ba ba0b 使实数 存在则共线向量定理 bap bapba yxyx使、存在实数共面 与不共线，、共面向量定理 , ,: 第11页/共19页 练习一：练习一： 1.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦： (1)(2,3,3),(1,0,0) ;ab (2)( 1,1,1),( 1,0,1) ; ab 2.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离： (1

10、)(1,1,0) ,(1,1,1) ;AB (2)( 3,1,5) ,(0,2,3) .CD 第12页/共19页 例例1已知、，求：已知、，求： （1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度； (3,3,1)A(1,0,5)B AB 解：设是的中点，则解：设是的中点，则(, )M xy zAB 113 ()(3,3,1)1,0,52,3 , 222 OMOAOB 点的坐标是点的坐标是.M 3 2,3 2 222 , (13)(03)(5 1)29 . A B d O A B M 第13页/共19页 （2）到两点距离相等的点的）到两点距离相等的点的 坐标满足的条件。坐标满足的条件。 、AB

11、(, )P xy z ,xy z 解：点到的距离相等，则解：点到的距离相等，则(, )P xy z 、AB 222222 (3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz 化简整理，得化简整理，得46870 xyz 即到两点距离相等的点的坐标满即到两点距离相等的点的坐标满 足的条件是足的条件是 、AB (, )xy z 46870 xyz 第14页/共19页 例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中， ，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。 1111 ABCDA BC D 11 B E 11 11 4 A B D F 1 BE 1 DF F1 E1 C1 B1 A1 D1 D AB

12、 Cy z x O 解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建 立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz 1 3 (1,1,0) ,1,1 , 4 BE 1 1 (0,0,0) ,0, 1 . 4 ，DF 1 31 1,1(1,1,0)0,1 , 44 BE 第15页/共19页 例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中， ，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。 1111 ABCDA BC D 11 B E 11 11 4 A B D F 1 BE 1 DF F1 E1 C1 B1 A1 D1 D AB C x y z O 1 11 0, 1(0,0,0)0, 1 . 44 ，DF 11 1115 001 1, 4416 BE DF 11 1717 |, |. 44 BEDF 11 11 11 15 15 16 cos,. 17| |1717 44 BE DF BEDF BEDF 第16页/共19页 。求证： 的值；求 的长；求 的中点，、分别为 、，棱， 中，底面：直三棱柱如图例 MCBA3) CB,cos2) BN1) AABAN M2AA90BCA1