灰色系统基本方法

1、 无规律，其发展态势是摆动的。 如果将原始数据作累加生成，已将个累加生成数为x(1)(k), 并且 X(1)(1)= X(0)(1)=1 X(1)(2)= X(0)(1)+ X(0)(2)=1+2=3 X(1)(3)= X(0(1)+ X(0)(2)+ X(0)(3)=1+2+1.5=4.5 X(1)(4)= X(0)(1)+ X(0)(2)+ X(0)(3)+ X(0)(4)=7.5 要素间的关系是相对的、多重的 要素分析，系统行为研究，不应该停留在一种关系上，而应 该考虑其发展变化，即动态变化。 为了将控制理论中卓有成效的方法、成果推广到社会、经济 等系统，模型应控制化。 要通过模型了解系

2、统的基本控制性能，如是否可控，变化过 程是否可以观测。 应从模型获得尽可能多的信息，特别是发展变化的信息。 建立模型要为使用先进的实验科学手段，使用自然科学方法 研究社会、经济等系统提供基础，特别要为电子计算机对抽象 系统进行数字仿真模拟提供条件。 建立模型常用的数据：科学实验数据、统计数据、经验数据、 生产数据（实验室化验分析）、决策数据。前三种数据有较大 局限性；生产数据较易获得，包涵难以用语言文字描述的全部 因素，有丰实的内涵。 建模的目的不仅仅是为了认识世界，更重要的是为了改造世 界。 五步建模的基本任务，是沟通社会科学与自然科学，使社会 科学研究做到数学化、计算机化、自然科学化。 五

3、步建模的灰色建模思路（如下图说明），用原始数据 ，经生成得到 ，对 按GM建模，得模型计算值 ，将 与 进行比较，得到残差 ，用残差对模型GM作修正。残差 = - ， min，通过； max，修正GM。 所建立的模型是多要素的、关联的、整体的，决定系统发展 态势，不是某个因素，而是所有因素协调发展的结果。 )0( x ) 1 ( x )1( x ) 1 ( x ) 1 ( x ) 1 ( x )1( x )1( x )1( x ) 1 ( x )1( x )1( x 数列预测 对系统行为特征值大小的发展变化进行预测，称为系 统行为数据列的变化预测，简称数列预测。例如 粮食产量的预测 商品销售量

4、发展变化的预测 年平均降水量发展变化的预测 人口的预测 货运量的预测 外贸额发展变化的预测 这种预测的特点是：对行为特征量等时距地观测。 预测的任务是：了解这些行为特征量在下一个时刻有多 大。 灾变预测 对系统行为特征量超出某个阈值（界限值）的异常值 将在何时出现的预测称为灾变预测。所以说，灾变预测 即对异常值出现时刻的预测。由于异常值往往会使人们 的生活、生态环境、农业生产等的正常活动带来异常结 果，造成灾害，所以也称为这种预测为灾变预测。如 年平均降水量大于某个阈值（可容许值）便是涝灾 年平均降水量小于某个阈值是旱灾 年产量大于某个指定值，是丰年 年产量小于某个指定值，是欠年 环境中某种物

5、质含量超出某个阈值，是污染 人体中某个参数（如体温、血压、血中成分）超出一定范围就发生病变 银行存款超出某个值是经济跃变 灾变预测的特点是：对异常值出现的时间进行预测。预测的任务不是 确定异常值的大小（因为异常值的大小是指定的灰数），而是确定异常值 出现的时间。灾变预测建模所用数据已不是行为特征量本身，而是异常行 为特征值发生的时间，这是对时间来说不是等间距的，或者说建模数据的 序列，是按序号给出的时间间隔。 季节灾变预测 若行为特征量异常值的出现，或者某种事件的发生是在一年中个特定 时区，则这种预测称为季节灾变预测。 云南春雨是在春天出现 临西早霜是在秋末冬初的9、10、11月出现 洪水是在

6、汛期出现 季节灾变预测，是一种特定时区内的灾变预测。其特点是：灾变一般 仅仅发生在一年的某个特定时段。 决策的执行称为控制。所谓灰色控制是指本征 性灰色系统的控制，或系统中含灰参数的控制，或 用GM（1，1）模型构成的预测控制。 k i ixkx 1 )0()1( )()( k i rr ixkx 1 )1()( )()( 0)( )0( kx 2 1 ) 0() 0() 0() 1 ( ) 0() 1 ( 5 . 63 . 32 . 3) 2 () 1 ()() 2 (, 2 2 . 3) 1 () 1 (, 1 i xxixxk xxk 5 1 )0() 1 ()0() 1 ( )0()

7、1 ( 4 1 )0() 1 ( )0() 1 ( 3 1 )0() 1 ( 3 .178 . 35 .13) 5 () 4()() 5 (, 5 5 .136 . 39 . 9) 4() 3 ()() 4(, 4 9 . 94 . 35 . 6) 3 () 2()() 3 (, 3 i i i xxixxk xxixxk xxixxk 某市的汽车销售量 递增的规律 原始数列作图 1AGO作图 有明显的指数关系的规律 某钢厂产量 某地区作物产量 s型变化规律 )(i 次累减为 次累减为 从而有关系式即无累加次累减为式中， i 1 ),53(,0 )1()()( )1()()( )1()()(

8、)()( )( 1 0 )(1)(1)()( )()1()()1()()2( )()()()0()()1( )()()0( i ririri rrr rorr rr kxkxkx kxkxkx kxkxkx kxkx )()( )()( )()( )()()( ) 1()()1()()( )0()()( )()()( )2()()2( ) 1( 1 1 ) 1( 1 ) 1( )()()(0)(0)() 1 ( kxkx kxkx kxkx kxixix kxkxkCxkxkx rr irri rr r k i r k i r rrrrr 1),1()()( )()()( )11,11,10,

9、 5 ,4, 5(IGAO 11)5()6()6(,6 11)4()5()5(, 5 10)3()4()4(,4 5)2()3()3(, 3 4)1 ()2()2(,2 5)1 ()0()1 ()1 (, 1 0)0(,0 )1()()( )46,35,24,14,9 , 5()6(),5(),4(),3(),2(),1 ( 1 0 )0( )1()1()0( )1()1()0( )1()1()0( )1()1()0( )1()1()0( )1()1()1()0( )1( )1()1()0( )1()1()1()1()1()1()1( lim tkxkxkx t tkxkx dt kdx x

10、xxxk xxxk xxxk xxxk xxxk xxxxk xk kxkxkx xxxxxxx t 相当于而 有求导性质，这是因为不难看出，累减生成具 ）（从而有： 若 解： ）（ 系统行为数据列往往是没有规律的，是随机变化的。对随机 变量、随机过程，人们往往用概率统计的方法进行研究。而概 率统计的方法要求数据量大，必须从大量数据找统计规律，只 便于处理统计规律中有较典型的概率分布，有平稳过程的这一 类，对其它非典型分布、非平稳过程、有色噪音的处理，都感 到很棘手。总之，概率统计的研究方法，计算工作量大，且可 以解决和处理的问题较少。而灰色理论，则将一切随机变量看 作是在一定范围内变化的灰色

11、量，将随机过程看作是在一定范 围内变化的灰色量，将随机过程看作是在一定范围内变化的、 与时间有关的灰色过程。对灰色量不是从找统计规律的角度， 通过大样本量进行研究，而是用数据处理的方法（灰色理论称 为数据生成），将杂乱无章的原始数据整理成规律较强的生成 数列再作研究。灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的， 数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的，因此杂 乱无章的数据后面，必然潜藏着某种规律，而灰数的生成，就 是从杂乱无章的原始数据中去开拓、发现，寻找这种内在规律， 这是一种现实规律，不是先验规律。 灰色理论通过多个GM（1，N）模型来解决高阶系统的建 模问题。 灰色理论通过模型计算值与实际值之差（残差）建立 GM（1，1）模型，作为提高模型精度的主要途径。残差的 GM（1，1）模型，一般只注重现实规律，最新数据的修正， 因此残差GM（1，1）与主模型之间在时间上一般是不同步 的。所以灰色预测模型经常是差分微分模型。 用灰色理论建模，一般都采用三种检验方式： a.残差大小