角平分线的性质梁劼2

1、 复习提问复习提问 1 1、角平分线的概念、角平分线的概念 o B C A 1 2 练习1 如图所示：如图所示：OD、OE分别是分别是AOB、 AOC的角平分线，请问的角平分线，请问DOE多少度？多少度？ AB D C E 尺规作图：尺规作图： 作法：作法：1 1、以、以_ _为圆心，为圆心， _长为半径作圆弧，长为半径作圆弧， 与角的两边分别交于与角的两边分别交于C C、 D D两点；两点； 2 2、分别以分别以_为圆心，为圆心， _的长为半径的长为半径 作弧，两条圆弧交于作弧，两条圆弧交于 AOBAOB内一点内一点_； 3 3、作射线、作射线_； _就是所求作的射线。就是所求作的射线。 点

2、点O O 适当适当 C、D 超过超过CDCD一半一半 E OE OE 为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？ 想一想：想一想： 已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC。 求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB。 证明：在证明：在OMCOMC和和ONCONC中，中， OM=ONOM=ON， MC=NCMC=NC， OC=OCOC=OC， OMC OMC ONCONC MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB 1、尺规作图作的、尺规作图作的 平分线方法如下：平分线方法如下： 以以O为圆心，任意长为半径画弧交为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB

3、于于C、D，再分别以点，再分别以点C、D为圆心，以大于为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点长为半径画弧，两弧交于点P，作射，作射 线线OP，由作法得的根据是（，由作法得的根据是（ ） ASAS BASA CAAS DSSS AOB 1 2 CD O D P C A B 1 1平分平角平分平角AOBAOB 2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后， 把它反向延长得到直线把它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线 ABAB是什么关系？是什么关系？ 3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到由此也得到过

4、直线外一点作这条直线的垂过直线外一点作这条直线的垂 线的方法。线的方法。 活活 动动1 AB O C D 复习提问复习提问 2 2、点到直线距离、点到直线距离: : 从直线外一点从直线外一点到这条直线的垂线段到这条直线的垂线段的的长度长度， 叫做叫做点到直线的距离。点到直线的距离。 O P A B 线段的线段的长度长度 A B O A O EB C P D 将将 AOBAOB对折对折, ,再折出一个直角三角形再折出一个直角三角形( (使第一条折痕为斜边使第一条折痕为斜边),), 然后展开然后展开, ,观察两次折叠形成的三条折痕观察两次折叠形成的三条折痕, ,你能得出什么结论你能得出什么结论?

5、? 可以看一看可以看一看, ,第一条折痕是第一条折痕是AOBAOB的平分线的平分线OC,OC,第二次折叠第二次折叠 形成的两条折痕形成的两条折痕PD,PEPD,PE是角的平分线上一点到是角的平分线上一点到AOBAOB两边的距两边的距 离离, ,这两个距离相等这两个距离相等. . 折一折折一折 角平分线的性质角平分线的性质活活 动动2 探究角平分线的性质探究角平分线的性质 (1)实验实验：画一个画一个AOB,用尺规作出用尺规作出AOB的平的平 分线分线OP,过过P作作PD OA,PE OB 问题：问题：比较比较PD和和PE 的大小关系（量一量）。的大小关系（量一量）。 PD=PE 再换一个新的位

6、置看看情况会怎样？再换一个新的位置看看情况会怎样？ 活活 动动3 (2)(2)猜想猜想: : 角的平分线上的角的平分线上的 点到角的两边的距离相等点到角的两边的距离相等. . P P A A OO B B C C E E DD 证明证明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分线的定义）（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已证）（已证） 1= 2 （已证）（已证） OP=OP （公共边）（公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等

7、三角形的对应边相等） P P A A OO B B C C E E DD 12 已知已知：如图，如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDPDOAOA于点于点D D，PEOBPEOB于于 点点E E 求证求证: PD=PE: PD=PE (3)验证猜想验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知已知“一个点在一个角的平分线上一个点在一个角的平分线上”。结论为。结论为“这个点到这个角两边得距离相这个点到这个角两边得距离相 等等” 得到角平得到角平 分线的性分线的性 质：质： 利 用 此 性 质利 用 此 性 质 怎样书写

8、推理过怎样书写推理过 程程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知） PD=PE（角平分（角平分 线的性质）线的性质） P P A A OO B B C C E E DD 12 归纳：归纳： 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。 AD C B BD CD （） 如图，如图， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。 A D C B BD CD （） AD平分平分BA

9、C, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC 在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。 A D C B 不必再证全等不必再证全等 ， 1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB， 垂足为垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ A BC D E 2 2、如图、如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线, ,点点P P在在OCOC上上,PD ,PD OA,PEOB,OA,PEOB,垂足分别是垂足分别是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则

10、 PE=_cm.PE=_cm. A D O B E P C 在在OAB中，中，OE是它的角平分线，且是它的角平分线，且EA=EB， EC、ED分别垂直分别垂直OA，OB，垂足为，垂足为C，D. 求证：求证：AC=BD. O O A AB BE E C CD D 在在ABC中，中， C=90 ，AD为为BAC 的平分线，的平分线，DEAB，BC7，DE3. 求求BD的长。的长。 E DC B A 1 1、如图、如图（1） ，在，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB， 1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么线段，那么线段BEBE是是ABCABC的的 ，AE+DE=A

11、E+DE=。 2 2、如图、如图（2） ，在，在ABCABC中，中，C=90C=90，AC=BCAC=BC， ADAD平分平分CAB，并交，并交BC于于D， DEAB于点于点E， 若若AB=8CM，求，求DEB的周长？的周长？ A B C （1） （2） D E 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到 铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺 为120000） 解决问题 S 公路公路 铁路铁路 20000 1 D C s 公路公路 铁路铁路 O 500 X 解解： 设设OD=Xm 则由题得则由题得 = 解得解得x=0.025m 即即OD=2.5cm 作

12、夹角的角平分线作夹角的角平分线OC，截取，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。即为所求。 反过来，到一个角的两边的距离相等的反过来，到一个角的两边的距离相等的 点是否一定在这个角的平分线上呢？点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QDOA，QEOB， 点D、E为垂足，QDQE 求证：点Q在AOB的平分线上 证明证明: QDOA，QEOB（已知），（已知）， QDOQEO90（垂直的定义）（垂直的定义） 在在RtQDO和和RtQEO中中 QOQO（公共边）（公共边） QD=QE RtQDO RtQEO（HL） QODQOE 点Q在AOB的平分线上 已知：如图,QDOA，QEOB， 点D

13、、E为垂足，QDQE 求证：点Q在AOB的平分线上 判定：到角的两边的距离相判定：到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上。等的点在角的平分线上。 QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上 用数学语言表示为： 例：如图，例：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P.P. 求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等. . 证明：证明：过点过点P作作PD 、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA， 垂足为垂足为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE （在角平分线上

14、的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点即点P到边到边AB、BC、 CA的距离相等的距离相等 A BC M N P D E F 怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？ 练习：如图，练习：如图，的的的外角的平分线的外角的平分线 与与的外角的平分线相交于点的外角的平分线相交于点 求证：点到三边，所在直线求证：点到三边，所在直线 的距离相等的距离相等 F F G H 更上一层楼！更上一层楼！ 利用结论，解决问题 练一练 1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 想一想 在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的? 拓展与延伸 2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处 分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。 拓展与延伸 3、