用正交变换化二次型为标准形PPT学习教案

1、会计学1 用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形 二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形 利用正交变换化二次型为标准形的方法（熟练掌握）：利用正交变换化二次型为标准形的方法（熟练掌握）： (1) 写出二次型的矩阵形式；写出二次型的矩阵形式； (2) 求出求出A的全部特征值的全部特征值1, 2, ， n ； (3) 对每一个特征值对每一个特征值i , 解方程解方程 (i E-A )X=0, 求出基础解系，求出基础解系， 然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化；然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化； (4) 将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构

2、成一将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一 个矩阵就得到了正交矩阵个矩阵就得到了正交矩阵P，所求的正交变换为，所求的正交变换为 XPY； (5) 所求二次型的标准形为所求二次型的标准形为 222 1122 . nn fyyy 下页 第1页/共12页 例例1.1. 用正交变换化下列二次型为标准形用正交变换化下列二次型为标准形 323121 2 3 2 2 2 1321 484363),(xxxxxxxxxxxxf 解解: : 二次型的二次型的 f 系数矩阵为系数矩阵为 324 262 423 A 矩阵的特征方程为：矩阵的特征方程为： 324 262 423 AE 0)7)(2( 2 解

3、得，解得，1 1=-2,=-2,2 2=3 3=7=7724 )7(262 023 124 262 023 )7( 124 0210 023 )7( 210 23 )7( 下页 第2页/共12页 323121 2 3 2 2 2 1321 484363),(xxxxxxxxxxxxf 对于对于1 1=-2 =-2 ，解方程组，解方程组 ( (-2E-A-2E-A) )X X=0=0 T )2 , 1 , 2( 1 对于7 32 ，解方程组 (7E-A)X=0 得基础解系得基础解系 T ) 1, 0 , 1 ( 2 ， T )2 , 4, 0( 3 . 将其正交化得将其正交化得 将其单位化得将其

4、单位化得 T ) 3 2 , 3 1 , 3 2 ( 1 将其单位化得将其单位化得 T ) 2 2 , 0 , 2 2 ( 2 T ) 6 2 , 3 22 , 6 2 ( 3 解得，解得，1 1=-2,=-2,2 2=3 3=7=7 T ) 1, 0 , 1 ( 2 3 ,(1, 4,1)T 得基础解系得基础解系 例例1.1. 用正交变换化下列二次型为标准形用正交变换化下列二次型为标准形 下页 第3页/共12页 323121 2 3 2 2 2 1321 484363),(xxxxxxxxxxxxf 6 2 2 2 3 2 3 22 0 3 1 6 2 2 2 3 2 , 321 P 令 则

5、通过正交变换则通过正交变换 3 2 1 3 2 1 6 2 2 2 3 2 3 22 0 3 1 6 2 2 2 3 2 y y y x x x 将二次型),( 321 xxxf化为标准形式 2 3 2 2 2 1 772yyyf 例例1.1. 用正交变换化下列二次型为标准形用正交变换化下列二次型为标准形 下页 第4页/共12页 例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),( 32 2 3 2 2 2 1321 axaxxxxxxxf 通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形 ,442 2 3 2 2 2 1 yyyf 求求a及正交变换矩阵及正交变换矩阵P 解：解：f 的矩阵的

6、矩阵A及标准形的矩阵及标准形的矩阵 分别为分别为 30 30 004 a aA 200 ,040 004 由已知条件得由已知条件得 即即 4(9- a2) =32 解得解得 a=1, a= -1 (舍去舍去) 由由A相似于对角阵相似于对角阵，得，得A的的 特征值为特征值为 1 1=2=2，2 2=3 3=4=4 对于对于1 1=2 =2 ，解方程组，解方程组 (2E-A)X=0 得基础解系得基础解系 T ) 1, 1, 0( 1 下页 故故A相似于对角阵相似于对角阵，所以，所以 A T P AP 1 P AP 第5页/共12页 把把 单位化，得对应于 单位化，得对应于1 1=2=2 的单位特征

7、向量的单位特征向量 T ) 2 1 , 2 1 , 0( 1 对于对于2 2=3 3=4 =4 ，解方程组，解方程组 ( (4E-A4E-A) )X X=0=0 （注意求基础解系的过程）（注意求基础解系的过程） 4EA 4- 4 0 0 0 0-1 4-3 3 0 4-3 0-1 0 0 0 0 -1 1 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),( 32 2 3 2 2 2 1321 axaxxxxxxxf 通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形 ,442 2 3 2 2 2 1 yyyf 求求a及正交变换矩阵及正交变换

8、矩阵P 下页 第6页/共12页 4EA 4-4 0 0 0 0-1 4-3 0 4-3 0-1 0 0 0 0 -1 1 0 1 -1 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 得得 (4E A)X 0 的一般解为的一般解为 x2 0 x1 x3 其基础解系为其基础解系为 T )0, 0, 1 ( 2 T ) 1, 1, 0( 3 例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),( 32 2 3 2 2 2 1321 axaxxxxxxxf 通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形 ,442 2 3 2 2 2 1 yyyf 求求a及正交变换矩阵及

9、正交变换矩阵P 下页 第7页/共12页 正交化标准化得将 32, T )0, 0, 1 ( 2 T ) 2 1 , 2 1 , 0( 3 所求的正交矩阵为所求的正交矩阵为 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 010 ),( 321 P 例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),( 32 2 3 2 2 2 1321 axaxxxxxxxf 通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形 ,442 2 3 2 2 2 1 yyyf 求求a及正交变换矩阵及正交变换矩阵P 下页 得得 (4E A)X o的一般解为的一般解为 x2 0 x1 x3 其基础解系为其基础解系为 T )0,

10、0, 1 ( 2 T ) 1, 1, 0( 3 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 第8页/共12页 例例3. 已知二次型已知二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 222),(xxxxxbxxaxxxxxf 通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形 2 3 2 2 4yyf ，求a , b的值 及正交变换矩阵及正交变换矩阵P 解：解：f 的矩阵的矩阵A及标准形的矩阵及标准形的矩阵 分别为分别为 111 1 11 ab b A 000 ,010 004 由由A相似于对角阵相似于对角阵，得的，得的 特征值为特征值为 1 1=0=0，2 2=1,=1,3 3=4=4 对于

11、对于1 1=0 =0 ，解方程组，解方程组 (0E - A)X=0 得基础解系得基础解系 T ) 1, 0, 1 ( 1 下页 由已知条件得由已知条件得 故故A相似于对角阵相似于对角阵，所以，所以 A Tr(A)= Tr() T P AP 1 P AP 2 (1)0 2 5 b a 3 1 a b 解得解得 即即 第9页/共12页 把把 单位化，得对应于 单位化，得对应于1 1=0=0 的单位特征向量的单位特征向量 T ) 2 1 , 0, 2 1 ( 1 类似可得对应于类似可得对应于 = =的单位 的单位 特征向量为特征向量为 T ) 3 1 , 3 1 , 3 1 ( 2 对应于对应于 = =的单位特征向量为 的单位特征向量为 T ) 6 1 , 6 2 , 6 1 ( 3 所求的正交矩阵为所求的正交矩阵为 6 1 3 1 2 1 6 2 3 1 0 6 1 3 1 2 1 ),( 321 P 例例3. 已知