乘法公式与多项式.doc

1、一乘法公式與多項式多項式的乘法公式除了用來簡化多項式的乘法運算外，還可運用於因式 分解。在本章中，我們首先來複習已經學過的平方公式，然後再延伸到立方 公式。1-1平方公式【二項式相乘公式】我們可利用分配律來展開(d+b)(C + d)的乘積而得到下列的公式：(a + b)(c + d) = ac + ad + be + bd【公式 1 】acadbebdb另一方面，也可利用幾何圖形來解釋這個公式。如上圖，一個邊長 分別為(a + b)和(c + d)的長方形，可由四個面積分別為ac、ad、be和bd 的長方形所組成。我們可從大長方形的面積為四個較小的長方形的面積總 和而得到這個公式。在應用上，

2、d、C及d可為數字或任何文字符號。【範例1】利用公式1展開下列各式：(1) (1 + d)(1 + 历(2) (x+2)(x + 3)(3) (2x + y)(3x - y)【解】(1) (1 + g)(1 + /?)= ll + lb + al + ob=1 + a + b + ab(2) (x+2)(x + 3)= xx+x3 + 2x+23=x2 + 5x + 6(2x + y)(3x-y)= (2x + y)3x + (-y)=2x 3x + 2x - (-y) + y 3x + y (一y)=6x2 - 2xy + 3xy 一 y2=6x2 +xy-y2在上例的第題中，x2+5x +

3、 6的“項(或稱二次項)係數為1項(或 稱一次項)係數為5，常數項為6，其中最高次項為二次，所以稱F +5x+6為 x的二次多項式，並簡稱為一元二次式。在第題中，6疋+心一)，2有兀、),兩個變數，其中6疋、小和一 )2都是 二次項。因此，它的最高次項為二次，所以稱它為x和y的二次多項式， 並簡稱為二元二次式。【類題練習1】展開下列各式：(1) (5x + 2)(2x 3)(2) (-2x + 3y)(3x-4y)二項式相乘公式也常運用於來簡化數的計算過程，例如：求 123x279+ 127x121 + 123x121 + 127x279 的值。在上面的算式中，我們觀察到123x279與123

4、x121有公因數123, 127x121 與127x279有公因數127，所以123x279 + 127x121 + 123x121 + 127x279=123x279 + 123x121 + 127x279 + 127x121=123x(279 + 121)+ 127x(279 + 121)= (279+121)x(123+ 127)=400x250=100000【完全平方公式】將公式1中的c、d分別以a b代入，即可得(a + b)(a + b)= aa + ab-ba + bb=a2 + 2ab + b2，因而得到和的平方公式：【公式2】(a + b)2= a2 +2ab + b2【範例

5、2】利用公式2展開下列各式：(1) (1)2(2) (2x + 3y)2【解】(x + l)2= x2+2-x-1 + 12=x2 +2x + (2) (2x + 3y)2= (2h+2(2x)(3y) + (3y)2=4x2 + 12xy + 9y2同樣的/若將公式1中的byd分別以一 by b代入/即可得(a -b)(a-Z?)= a a + a (-b) + (_b)a + (-Z?)(-Z?)=a2 -2ab + b2，因而得到差的平方公式：(a-b)2 = a2 -2ab + b2【公式 3】其實，只要將公式2中的改為b、也可得到公式3。【範例3】利用公式3展開下列各式：(1) (x

6、 d)2(23，)2【解】(x-a)2= x -2-x a + a-x1 -2ax + a2(2) (2x-3y)2= (2x)2-2 (2x).(3y) + (3y)2=4xz-12xy + 9y2我們也常用和或差的平方公式來簡化數的計算，例如：在求1092時，可將109寫成100 + 9 再利用公式2即可求得：1092= (100 + 9)2= 1002+2x100x9+92=10000+1800 + 81=11881我們知道a += (a + Z?) + c，所以利用和的完全平方公式，即可得到：(“ + b + c)2 = (a + Z?) + cj2=(a + b)2 + 2-(a +

7、 b)-c + c2=a2 + lab + b + lac + 2bc + c2=a2 +b2 +c + lab + 2bc + lac因此，得到三項和的完全平方公式：( + /? + )2= x2 + y2 + 32 + 2 x y + 2 y 3 + 2 3 x=x2 + y2 + 9 + 2xy + 6y + 6x=x2 + 2xy + y2 + 6x + 6y + 9(2) (a + 2b-3c)2= a + (2b) + (3c)2=a2 + (2b)2 + (-3c)2 + 2a(2b) + 2(2Z?)(3c) + 2(3c)d=)& +纟上 + 上)232 9643233 22

8、=gR 戻278【類題練習1 (1)展開(5冷)(25亍+甞+手)。(2) 展mi(x2 -xy-6y2)(x2 -2xy + 4y2)(x2 +3xy+9y2)。(3) 已知x3 =2 求(x-3)(x2 +3x + 9)的值。【完全立方公式】在展開(a + b)3時、可先將(a+b)3寫成(a + b)(a + b)2，再利用和的平方公式與分配律展關即可，也就是說：(a + b)3 = (a + b)(a + b)2=(a + b)(a2 + 2ab + b)=a +2a2b + ab + ab + 2ab + b=a3 + 3a2b + 3ab + b由此，我們可得到和的完全立方公式：【

9、公式8】(a + by = a +3a2b + 3ab2 +b同樣的，展開(a-b)3的乘積，並經化簡後即可得到差的完全立方公式:【公式9】(d - by = a - 3a1 b + 3ab2 -1其實，只要將公式8中的以-方代入，同樣可得上式。【範例3】展開下列各式：(1) (x + 2)3(2) (3x + 2y)(3) (4a 5【解】(x + 2)3= x3 + 3-x2-2 + 3-x-22 + 23=x3 +6x2 +12x+8(2) (3x + 2)y 二(3xT+3(3x)2(2刃 + 3(3x)(2y)2 + (2y)3=27十+54x) +36x)“ +(3) (4d 5Z

10、?)二(4d)3(4d)2(5Z0 + 3(4d)(5b)2(5Z?)=64a 240a% + 300ab2 -125戻【類題練習2展開下列各式:3(1)(尹【家庭作業】1. 展開下列各式：（一2）3(2a-3b)3 （X + 1）（A - 1）（X2 一 X + 1）（X2 + X + 1） 3 一 9）（，+ 3a+ 9）3 - 3a+ 9）2. 回答下列各題：1 2 求（5-）3 + （4-）3的值。 已知a +方二3且ab二2，求o + b的值。 已知a_b = _且/+庆=5，求/_戻的值。已关牙 =2 ，求（牙2 _ 1）（/4 + X2 + 1）白勺值1-3多項式的除法在小學時，

11、我們會以下列的長除法(直式計算法)來求出58除以13 得到商數4，餘數6 ：413526同時，我們也知道：58= 13x4 + 6事實上，在自然數的除法中，我們有下列的規則：被除數二除數X商數+餘數，其中，商數和餘數為非負整數，且餘數小於除數。同樣的，在多項式的除 法中，我們也有類似的規則：被除式二除式X商式+餘式，其中，商式的次數等於被除式的次數減去除式的次數，且餘式的次數要小於 除式的次數。類似於自然數的除法，多項式的除法運算也有直式計算法(長除法)； 為了簡化計算，也常使用分離係數法。事實上，這兩種方法的差別在於計算 過程中，有沒有將文字符號寫出來而已。【範例1】求(x2+4x + 2)

12、4-(x + 1)的商式及餘式。【解】 方法一：直式計算法方法二：分離係數法1 + 31+1 )1+4+21 + 13 + 23 + 3-1x+ 3x+ 1 ) x2 + 4x+2 x(x+ 1) L=C + x3x+23 (x+ 1) i3x+3-1商式為x + 3 、餘式為1 在完成多項式的除法後，為了驗證所得結果是否正確，除了重新檢視 運算過程外也常用上述被除式二除式X商式+餘式的概念來驗算。 例如：(x + l)(x + 3) + (-l) =x2 +4x + 3-l =X2 + 4x + 2(除式X商式+餘式)(被除式)【範例2】未(2.2+5,+x+ 5)+ (x +2)的商式及餘

13、式【解】2+1-11+2 ) 2 + 5+1+5-2 + 41+2-1 + 51 27商式為l + x- 1，餘式為7。做分離係數法時，當除式或被除式缺項時，需要補0 O【解】【範例3】求(3x2 + 2)v(2x-1)的商式及餘式o因為3F + 2 = 3F+o* + 2，所以用3 + 0 + 2來表示3* + 2。3 3+2 42-1 丿 3 + 0 +2.332商式為才兀+ - 餘式為2上o 2 44【範例4】求(6x3-7x2 -4x + 8)-(3x2 +x-2)的商式及餘式。【解】2-33+1-2 ) 6 74+86 + 2 4-9+0+8一9一3+63 + 2商式為2x-3，餘式

14、為3x+2。【範例5】求(3? + 8“ + 7兀+ 2片(W + 2X+1)的商式及餘式。 【解】3 + 21+2+1)3+8+7+23 + 6 + 32 + 4 + 22 + 4 + 20商式為3x + 2、餘式為0。當餘式為0時，我們稱除式整除被除式，例如：在上例中，以+ +1 整除30 + 8界+ 7兀+2。【類題練習】求下列各除法運算的商式及餘式：(1) (2疋+x + 5)*?(x + 3)(2) (-6a2 +5x + 1)4-(2x-1)(3) (x4 l)-e-(x 1)(4) (2a2 +5x)4-(x + 5)【家庭作業】1. 求下列各除法運算的商式及餘式：(7x2+11x-3)-(2j + 3)(x+ 2人 一1) 一 (x-5)(9x2 +18x + 8) 4- (3x + 4) (x3 + l)-(x-l)(