无穷小量与无穷大量阶的比较PPT学习教案

1、会计学1 无穷小量与无穷大量阶的比较无穷小量与无穷大量阶的比较 1.定义: 极限为零的变量称为无穷小. 定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),), 总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 0 0 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值 )(xf都满足不等式都满足不等式 )(xf, , 那末那末 称函数称函数)(xf当当 0 xx ( (或或 x) )时为无穷小时为无穷小, , 记作记作 ).0)(lim(0)(lim 0 xfxf xxx 或或 例如, ,

2、 0sinlim 0 x x .0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx 第1页/共36页 , 0 1 lim x x . 1 时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 x x , 0 )1( lim n n n . )1( 时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 n n n 注意 1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 变化过程； 2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 3.零是可以作为无穷小的唯一的数. 第2页/共36页 2.无穷小与函数极限的关系: 定理定理 1 1 ),()()(lim 0 xAxfAxf xx 其中其中)(x 是当是当 0 xx 时的无穷小时的无穷小. 证必要性 ,)

3、(lim 0 Axf xx 设设 ,)()(Axfx 令令 , 0)(lim 0 x xx 则有则有).()(xAxf 充分性 ),()(xAxf 设设 ,)( 0时 时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim 00 xAxf xxxx 则则)(lim 0 xA xx .A 第3页/共36页 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); ).(,)( )(. 2 0 xAxf xxf 误误差差为为 附附近近的的近近似似表表达达式式在在给给出出了了函函数数 3.无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 ,时的两个无穷小时的两个无

4、穷小是当是当及及设设 x 使得使得, 0, 0, 0 21 NN 第4页/共36页 ; 2 1 时恒有时恒有当当Nx; 2 2 时恒有时恒有当当Nx ,max 21 NNN 取取恒有恒有时时当当,Nx 22 , )(0 x 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 是无穷小，是无穷小，时时例如例如 n n 1 , .1 1 不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但 n n 第5页/共36页 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 内有界，内有界，在在设函数设函数),( 10 0 xUu . 0, 0, 0 101 Mu xxM 恒有恒有 时时使得当使得当则则 , 0时的无穷小 时的无穷小

5、是当是当又设又设xx . 0, 0, 0 202 M xx 恒有恒有 时时使得当使得当 第6页/共36页 ,min 21 取取恒有恒有时时则当则当,0 0 xx uu M M , ., 0 为无穷小为无穷小时时当当 uxx 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. x x x xx 1 arctan, 1 sin,0, 2 时时当当例如例如 都是无穷小 第7页/共36页 二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数M( (不论它多么不论

6、它多么 小小),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 0 0 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,所对应的函数所对应的函数 值值 )(xf 都满足不等式都满足不等式 Mxf )(, , 则称函数则称函数 )(xf 当当 0 xx ( (或或 x) )时为无穷小时为无穷小, , 记作记作 ).)(lim()(lim 0 xfxf xxx 或或 第8页/共36页 特殊情形：正无穷大，负无穷大 )(lim()(lim )()( 00 xfxf x xx x xx 或或 注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; .)(lim. 2 0

7、 认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xf xx 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 第9页/共36页 ., 1 sin 1 ,0, 但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量 时时当当例如例如 xx yx xx y 1 sin 1 ), 3 , 2 , 1 , 0( 2 2 1 )1( 0 k k x取取 , 2 2)( 0 kxy .)(, 0 Mxyk 充分大时充分大时当当无界， ), 3 , 2 , 1 , 0( 2 1 )2( 0 k k x取取 , k xk充分大时充分大时当当 kkxy k 2sin2)(但但.0M 不是无穷大 第10页/共3

8、6页 . 1 1 lim 1 x x 证明证明例例 证 1 1 x y . 0 M , 1 1 M x 要使要使 , 1 1 M x 只要只要, 1 M 取取 , 1 10时时当当 M x . 1 1 M x 就有就有. 1 1 lim 1 x x . )(,)(lim: 0 0 的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线 是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxf xx 第11页/共36页 三、无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 .)(lim 0 xf xx 设设 , 1 )( 0, 0, 0 0 xf xx 恒有恒有

9、 时时使得当使得当 . )( 1 , 0 为无穷小为无穷小时时当当 xf xx 第12页/共36页 . 0)(, 0)(lim, 0 xfxf xx 且且设设反之反之 , 1 )( 0, 0, 0 0 M xf xxM 恒有恒有 时时使得当使得当 . )( 1 , 0 为无穷大为无穷大时时当当 xf xx 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 第13页/共36页 极限运算法则的证 明 定理 . 0, )( )( lim)3( ;)()(lim)2( ;)()(lim)1( ,)(lim,)(lim B B A xg xf BAxgxf BAxgxf BxgAxf 其中其中 则则

10、设设 证 .)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其中其中BxgAxf 由无穷小运算法则,得 第14页/共36页 )()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立 )()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立 B A xg xf )( )( B A B A )( BB AB . 0 AB , 0, 0 B又又, 0 ,0 0 时时当当 xx , 2 B BBBB 2 1 B 2 1 第15页/共36页 , 2 1 )( 2 BBB , 2 )( 1 2 BBB 故故 有界， .)3(成立成立 注 此定理对于数列同样成立 此定理证明的基本原则

11、： )()()(limxAxfAxf (1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数 (2)有两个重要的推论 第16页/共36页 四、无穷小的比较 例如, . 1 sin,sin,0 22 都是无穷小都是无穷小时时当当 x xxxxx 观察各极限 x x x 3 lim 2 0 , 0 ;3 2 要快得多要快得多比比 xx x x x sin lim 0 , 1 ;sin大致相同大致相同与与xx 2 2 0 1 sin lim x x x x x x 1 sinlim 0 .不存在不存在 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 第17页/共36页 定义: . 0, 且且穷小穷

12、小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设 );( , 0lim)1( o记作记作 高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比就说就说如果如果 ;),0(lim)2(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 CC ; ;, 1lim 记作记作 是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地 . ),0, 0(lim)3( 无穷小无穷小 阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCC k 第18页/共36页 例1 .tan4 ,0: 3 的四阶无穷小的四阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 解 4 3 0 tan4 lim x xx x 3 0 ) tan (lim4 x x x ,

13、4 .tan4 ,0 3 的四阶无穷小的四阶无穷小为为时时故当故当xxxx 例2 .sintan,0的阶数的阶数关于关于求求时时当当xxxx 解 3 0 sintan lim x xx x ) cos1tan (lim 2 0 x x x x x , 2 1 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 第19页/共36页 常用等价无穷小: ,0时时当当 x . 2 1 cos1,1,)1ln( ,arctan,tan ,arcsin,sin 2 xxxexx xxxx xxxx x xx 2 1 11 x n x n 1 11 xx 1)1( 注1.上述10个等价无穷小（包括反、对、幂

14、、指、三）必须熟练掌握 都成立都成立换成换成将将0)(. 2 xfx 第20页/共36页 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: , 1lim , 0lim ),( o即即 ).( o于是有于是有)( o 同理也有同理也有 一般地有 )( o 即与等价 与互为主要部分 例如, ),(sinxoxx ).( 2 1 1cos 22 xoxx 第21页/共36页 补充 高阶无穷小的运算规律 ,min )()()().1( nmk xoxoxo knm 其中其中 )()()().2( nmnm xoxoxo )()().3( nmnm xoxox 为有界为有界其中其中)( )()()().4( x x

15、oxox nn 第22页/共36页 五、等价无穷小替换 定理(等价无穷小替换定理) .limlim,lim, 则则存在存在且且设设 证 lim)lim( limlimlim.lim 意义 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。 第23页/共36页 例3 . cos1 2tan lim 2 0 x x x 求求 解 .22tan, 2 1 cos1,0 2 xxxxx 时时当当 2 2 0 2 1 )2( lim x x x 原式原式. 8 注意 不能滥用等价无

16、穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 等价关系具有：自反性，对称性，传递性 第24页/共36页 例4 . 2sin sintan lim 3 0 x xx x 求求 解 .sin,tan,0 xxxxx时时当当 3 0 )2( lim x xx x 原式原式. 0 错 解 ,0时时当当 x,22sinxx )cos1(tansintanxxxx , 2 1 3 x 3 3 0 )2( 2 1 lim x x x 原式原式. 16 1 第25页/共36页 例5 . 3sin 1cos5tan lim 0 x xx x 求求 解 tan55( ),xx o x),(33sinxoxx )

17、.( 2 1 cos1 22 xoxx )(3 )( 2 1 )(5 lim 22 0 xox xoxxox x 原式原式 x xo x xo x x xo x)( 3 )( 2 1)( 5 lim 2 0 . 3 5 第26页/共36页 例6 求 )1ln()cos1( 1 cossin lim 2 0 xx x xx x 解一 x x x x x x x x)1ln( )cos1( 1 cos sin lim 0 原原式式 12 01 2 1 解二 xx x xx x )cos1( 1 cossin lim 2 0 原原式式 ) 1 cos sin ( cos1 1 lim 0 x x x

18、 x x x 2 1 第27页/共36页 解三 x x x x xxx x I x 1 cos )1ln(cos1 1 )1ln()cos1( sin lim 0 01 2 1 2 1 2 1 例7 求 1 3 1 )1( )1()1)(1( lim n n x x xxx 解 1 xu令令ux 1则则 得得由由uu 1)1( 第28页/共36页 1 3 0 )11()11)(11( lim n n u u uuu I 1 0 1 3 1 2 1 lim n u u u n uu ! 1 n 关于1型极限的求法 )( )(lim xg xf )(lim, 1)(limxgxf )( )(lim xg xf )(ln)( lim xfxg e )(ln)(limxfxg e 第29页/共36页 )( 1 )1)(1ln lim)(ln)(lim xg xf xfxg )( 1 1)( lim xg xf 1)()(lim xfxg )( )(lim xg xf 1)()(lim xfxg e 第30页/共36页 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意: （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数 混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小