时间序列预测

1、2021/3/11 1 时间序列预测时间序列预测 l什么是时间序列预测 l时间序列预测的常用方法 l时间序列预测法的优缺点分析 2021/3/11 2 时间序列预测的概述时间序列预测的概述 l时间序列预测的概念 l时间序列预测的原理与依据 2021/3/11 3 时间序列预测的概念时间序列预测的概念 l时间序列预测法是一种定量分析方法，它是在时间序列 变量分析的基础上，运用一定的数学方法建立预测模型， 使时间趋势向外延伸，从而预测未来市场的发展变化趋 势，确定变量预测值。 l时间序列预测法也叫历史延伸法或外推法。 l时间序列预测法的基本特点是： 假定事物的过去趋势会延伸到未来； 预测所依据的数

2、据具有不规则性； 撇开了市场发展之间的因果关系。 2021/3/11 4 时间序列预测的原理与依据时间序列预测的原理与依据 l时间序列是指同一变量按事件发生的先后顺序排列起来 的一组观察值或记录值。构成时间序列的要素有两个： 其一是时间，其二是与时间相对应的变量水平。实际数 据的时间序列能够展示研究对象在一定时期内的发展变 化趋势与规律，因而可以从时间序列中找出变量变化的 特征、趋势以及发展规律，从而对变量的未来变化进行 有效地预测。 l时间序列的变动形态一般分为四种：长期趋势变动，季 节变动，循环变动，不规则变动。 2021/3/11 5 平均数预测平均数预测 l平均数预测是最简单的定量预测

3、方法。平均数预测法的 运算过程简单，常在市场的近期、短期预测中使用。 l最常用的平均数预测法有： 简单算术平均数法 加权算术平均数法 几何平均数法 2021/3/11 6 简单算术平均数法（简单算术平均数法（1） l简单平均数法是用一定观察期内预测目标的时间序列的 各期数据的简单平均数作为预测期的预测值的预测方法。 l在简单平均数法中，极差越小、方差越小，简单平均数 作为预测值的代表性越好。 l简单平均数法的预测模型是： n x n xxxx xx n i i n 1321 . 2021/3/11 7 简单算术平均数法（简单算术平均数法（2） l例 观察期123456预测值 观察值105010

4、80 1030 1070 1050 10601057 2021/3/11 8 加权算术平均数法（加权算术平均数法（1） l加权算术平均数法是简单算术平均数法的改进。它根据 观察期各个时间序列数据的重要程度，分别对各个数据 进行加权，以加权平均数作为下期的预测值。 l对于离预测期越近的数据，可以赋予越大的权重。 l加权算术平均数法的预测模型是： 1. . 321 1 332211 n n i iinn wwww xwxwxwxwxwxx 其中 2021/3/11 9 加权算术平均数法（加权算术平均数法（2） l例 观察期123456预测值 观察值10501080 1030 1070 1050 1

5、060 1056 权重(w) 2021/3/11 10 几何平均数法（几何平均数法（1） l几何平均数法是以一定观察期内预测目标的时间序列的 几何平均数作为某个未来时期的预测值的预测方法。 l几何平均数法一般用于观察期有显著长期变动趋势的预 测。 l几何平均数法的预测模型是： n n n n n n n a a a a a a a a a a xx xxxxxx 012 3 1 2 0 1 321 . . 或 2021/3/11 11 几何平均数法（几何平均数法（2） l例（本例中几何平均增长速度为3.87%。） 观察期01234567预测值 观察值11

6、501210129013601380141514701500 1558 环比速度-105.2106.6105.4101.5102.5103.9102.0 2021/3/11 12 移动平均数预测移动平均数预测 l移动平均法根据时间序列逐项移动，依次计算包含一定 项数的平均数，形成平均数时间序列，并据此对预测对 象进行预测。 l移动平均可以消除或减少时间序列数据受偶然性因素干 扰而产生的随机变动影响。 l移动平均法在短期预测中较准确，长期预测中效果较差。 l移动平均法可以分为： 一次移动平均法 二次移动平均法 2021/3/11 13 一次移动平均法（一次移动平均法（1） l一次移动平均法适用于

7、具有明显线性趋势的时间 序列数据的预测。 l一次移动平均法只能用来对下一期进行预测，不 能用于长期预测。 l必须选择合理的移动跨期，跨期越大对预测的平 滑影响也越大，移动平均数滞后于实际数据的偏 差也越大。跨期太小则又不能有效消除偶然因素 的影响。跨期取值可在320间选取。 2021/3/11 14 一次移动平均法（一次移动平均法（2） l一次移动平均数的计算公式如下： n xxxx Mx ntttt tt )1(21 )1( 1 . 2021/3/11 15 一次移动平均法（一次移动平均法（3） l例 观察年份观察年份时时 序序实际观察值实际观察值Mt(1)(n=4) 1991138 199

8、2245 1993335 199444941.75 199557049.75 199664349.25 199774652.00 199885553.50 199994547.25 2000106552.75 2001116457.25 2002124354.25 2021/3/11 16 二次移动平均法（二次移动平均法（1） l二次移动平均法是对一次移动平均数再次进行移 动平均，并在两次移动平均的基础上建立预测模 型对预测对象进行预测。 l二次移动平均法与一次移动平均法相比，其优点 是大大减少了滞后偏差，使预测准确性提高。 l二次移动平均只适用于短期预测。而且只用于 的情形。 0T 2021

9、/3/11 17 二次移动平均法（二次移动平均法（2） l二次移动平均法的预测模型如下： )( 1 2 2 . . )2()1( )2()1( )1( )1( )1( 2 )1( 1 )1( )2( )1(21 )1( ttt ttt ttTt ntttt t ntttt t MM n b MMa Tbax n MMMM M n xxxx M 其中 2021/3/11 18 二次移动平均法（二次移动平均法（3） l例 观察年份观察年份时时 序序实际观察值实际观察值Mt(1)(n=4)Mt(2)(n=4) 1991138 1992245 1993335 199444941.75 19955704

10、9.75 199664349.25 199774652.0048.19 199885553.5051.13 199994547.2550.50 2000106552.7551.38 2001116457.2552.69 2002124354.2552.88 2021/3/11 19 二次移动平均法（二次移动平均法（4） l根据模型计算得到 53.561913.062.55 913.062.55 913.0)88.5225.54( 14 2 )( 1 2 62.5588.5225.5422 112 12 )2( 12 )1( 1212 )2( 12 )1( 1212 x Tx MM n b MM

11、a T 预测2003年 所以有 2021/3/11 20 指数平滑法预测指数平滑法预测 l指数平滑法来自于移动平均法，是一次移动平均 法的延伸。指数平滑法是对时间数据给予加工平 滑，从而获得其变化规律与趋势。 l根据平滑次数的不同，指数平滑法可以分为： 一次指数平滑法 二次指数平滑法 三次指数平滑法 2021/3/11 21 一次指数平滑法（一次指数平滑法（1） l公式： 基本计算公式 一次指数平滑预测模型 当时间序列数据大于50时，初始值S0(1)对St(1)计算结果影响极小， 可以设定为x1；当时间序列数据小于50时，初始值S0(1)对St(1)计算 结果影响较大，应取前几项的平均值。 t

12、tt xxx )1( 1 )1( 1 2 2 1 )1( 1 )1( )1(.)1()1( )1( tt t ttt ttt xxxx SxS 2021/3/11 22 一次指数平滑法（一次指数平滑法（2） l例（ , S0(1) 取为前三项的平均值） 时 序 12345678910111213 销售量 10158201016182022242026 St(1) 1110.512.810.415.212.614.322.021.023.5 5.0 2021/3/11 23 二次指数平滑法（二次指数平滑法（1） l二次指数平滑的计算公式 l预测的数学模型 )2( 1 )1

13、()2( )1( ttt SSS )( 1 2 )2()1( )2()1( ttt ttt ttTt SSb SSa Tbax 其中 2021/3/11 24 二次指数平滑法（二次指数平滑法（2） l例：有关数据的计算见下表( )。根据例中数据，有 观察年份时 序观察值 St(1)St(2) 199614041.53442.655 199724745.90645.256 199835653.98152.236 199946562.79660.684 200057068.55966.984 200167573.71272.366 200278280.34278.747 TTbax SSb SSa

14、 T 38.6937.81 38.6)747.78342.80( 8 .01 8 .0 )( 1 937.81747.78342.8022 777 )2( 7 )1( 77 )2( 7 )1( 77 8 . 0 2021/3/11 25 三次指数平滑法（三次指数平滑法（1） l当时间序列为非线性增长时，一次指数平滑与二次指数 平滑都将失去有效性；此时需要使用三次指数平滑法。 l三次指数平滑法建立的模型是抛物线模型。 l三次指数平滑的计算公式是： )3( 1 )2()3( )2( 1 )1()2( )1( 1 )1( )1( )1( )1( ttt ttt ttt SSS SSS SxS 202

15、1/3/11 26 三次指数平滑法（三次指数平滑法（2） l三次指数平滑法的数学预测模型： )2( )1 (2 )34()45(2)56( )1 (2 33 )3()2()1( 2 2 )3()2()1( )3()2()1( 2 tttt tttt tttt tttTt SSSc SSSb SSSa TcTbax 其中 2021/3/11 27 趋势法预测趋势法预测 l分割平均法 直线趋势的分割平均法 抛物线趋势的分割平均法 l最小二乘法 l三点法 直线趋势预测模型 抛物线趋势预测模型 2021/3/11 28 直线趋势的分割平均法（直线趋势的分割平均法（1） l直线趋势的分割平均法的过程首先

16、将时间序列数据分为 前后相等的两段（当数据为奇数个时，去掉数列第1项 或中间1项），并分别求出两端数据对应观察值与时序 的平均值，并以此为坐标；假设两点的坐标分别 为 。则选定直线趋势方程为： 11 12 12 tbxa tt xx b btax 其中 )、( 2211 ,),(txtx 2021/3/11 29 直线趋势的分割平均法（直线趋势的分割平均法（2） l例 观察年份199419951996199719981999200020012002 时 序123456789 观察值131516181921232426 预测值2003（25.5） 2021/3/11 30 直线趋势的分割平均法（

17、直线趋势的分割平均法（3） l计算过程 tbtax tbxa tt xx b t t x x 6.15.9 5.15 6.1 5 8 5.25.7 5.155.23 5.7 4 9876 5.2 4 4321 5.23 4 26242321 5.15 4 18161513 11 12 12 2 1 2 1 2021/3/11 31 抛物线趋势的分割平均法（抛物线趋势的分割平均法（1） l抛物线趋势的分割平均法要求将时间序列数据划分为等 距离的三段。若数列不能被3整除，当余数为1时去掉数 列首项；当余数为2时，去掉三段中间所夹两项。抛物 线趋势的分割平均法的预测模型为： 、 可

18、以由下列方程组求得 2 ctbtax 2 333 2 222 2 111 tctbax tctbax tctbax a cb、 2021/3/11 32 抛物线趋势的分割平均法（抛物线趋势的分割平均法（2） l例 l将上表数据分为等距的三段，每段两个数据。分别计算三点坐标得到： 观察年份199719981999200020012002 时 序123456 观察值120014001620186221272413 5 . 5 2 65 2270 2 24132127 5 . 3 2 43 1741 2 18621620 5 . 1 2 21 1300 2 14001200 33 22 11 tx

19、tx tx 2021/3/11 33 抛物线趋势的分割平均法（抛物线趋势的分割平均法（3） l待定参数的联立方程组为： 2 2 2 2 115 .16525.1024 115 .16525.1024 5 . 55 . 52270 5 . 35 . 31741 5 . 15 . 11300 ttx cba cba cba cba 所以有 求解得 2021/3/11 34 最小二乘法（最小二乘法（1） l最小二乘法即适用于直线趋势的预测，也适用于曲线趋 势的预测。 l最小二乘法直线趋势预测模型为： tbxtbx n a ttn xttxn b btax )( 1 )( 22 其中 2021/3/1

20、1 35 最小二乘法（最小二乘法（2） l例 观察年份时 序(t)观察值(x)txt2趋势值 199311313112.7 199421530415.5 199531854918.2 1996420801620.9 19975241202523.6 19986271623626.3 19997302104929.1 20008322566431.8 20019353158134.6 2002103636010037.3 合计2501600385250 2021/3/11 36 最小二乘法（最小二乘法（3） l根据上表可知： tbtax tbxtbx n a ttn xttxn b t tx n

21、 x x n t t 727.210 105.5727.225)( 1 727.2 825 2250 5538510 25055160010 )( 3851600 25 10 250 5.5 10 55 222 2 2021/3/11 37 直线趋势预测模型（直线趋势预测模型（1） l若时间序列呈直线趋势，则选用三点法的直线趋势预测模型。当数据项大 于10时，取5项加权平均，在序列的首尾两端求得近期和远期两点坐 标 。 l直线趋势预测模型为： 将坐标点的值代入预测模型有 T)t (MRtM, 33 和 ), 1 ( 1 btax bRa n RT b bnaT baR 3 11 5 ) 3 4

22、 ( 3 11 即有 2021/3/11 38 直线趋势预测模型（直线趋势预测模型（2） l当数据项在610时，取3项加权平均，在序列的首尾两 端求得近期和远期两点坐标 。 l将坐标点代入到预测模型，有： T)t (MRtM, 和 ),( 3311 bRa n RT b bnaT baR 3 7 3 ) 3 2 ( 3 7 即有 2021/3/11 39 直线趋势预测模型（直线趋势预测模型（3） l例 观察年份时序t观察值x权数wwx加权平均 199314.4014.40 R199424.7829.56 199535.13315.39 199645.81合计29.354.89 199756.9

23、4 199867.36加权平均 199978.1318.13 T200088.56217.12 200198.91326.73 合计51.988.66 2021/3/11 40 直线趋势预测模型（直线趋势预测模型（4） l计算过程 tx bRa n RT b xxxT xxxR 63.042.3 42.363.0 3 7 89.4 3 7 63.0 39 89.466.8 3 66.8)32( 321 1 89.4)32( 321 1 987 321 所以有 即有 2021/3/11 41 抛物线趋势预测模型抛物线趋势预测模型 l首先将时间序列划分为等距的三组，若项数大于15，则 每组数据取5

24、项加权平均；若数据项数在915之间，则 每组取3项加权平均。 l设近、中、远期三组数据的平均值的坐标点分别 为 、 。 l抛物线趋势预测的数学模型为： ),( 11 RtM),( 和 ),( 3322 TtMStM 2 ctbtax 2021/3/11 42 5项加权平均预测模型项加权平均预测模型 l将坐标点的值代入到预测模型，得到： cbRa c n n RT b n STR c cnbnaT c n b n aS cbaR 15 3 11 3 73 5 )5( )2(2 ) 3 4 () 3 4 ( ) 6 73 ( 6 73 ) 3 11 ( 3 11 2 2 2 2 即有 2021/3

25、/11 43 3项加权平均预测模型（项加权平均预测模型（1） l将坐标点的值代入到预测模型，得到： cbRa c n n RT b n STR c cnbnaT c n b n aS cbaR 6 3 7 3 53 3 )3( )2(2 ) 3 2 () 3 2 ( ) 6 53 ( 6 53 ) 3 7 ( 3 7 2 2 2 2 即有 2021/3/11 44 3项加权平均预测模型（项加权平均预测模型（2） l例 观察年份时 序(t)观察值(x)权数wwx加权平均 1992141141 R19932512102 19943593177 199546632053.3 1996572172 S

26、19976772154 19987823246 199988547278.7 2000986186 T200110852170 200211823246 合 计50283.7 2021/3/11 45 3项加权平均预测模型（项加权平均预测模型（3） l计算过程 2 22 6375.0875.11625.29 625.29)6375.0(6875.11 3 7 3 .536 3 7 875.11)6375.0( 3 5113 311 3 .537 .83 3 53 3 6375.0 )311( )7 .7827 .833 .53(2 )3( )2(2 7 .837 .783 .53 ttx cb

27、Ra c n n RT b n STR c TSR 所以有 即有 2021/3/11 46 季节变动法预测季节变动法预测 l季节变动预测的基本思路是：首先根据时间序列的实际 值，观察不同年份的季或月有无明显的周期波动，以判 断该序列是否存在季节变动；然后设法消除趋势变动和 剩余变动的影响，以测定季节变动；最后求出季节指数， 结合预测模型进行预测。 l季节变动预测必须收集三年以上的资料。 l季节变动预测的方法有： 简单平均法 季节比例法 2021/3/11 47 简单平均法（简单平均法（1） l简单平均法也称做同月（季）平均法，即通过对若干年 份的资料数据求出同月（季）的平均水平，然后对比各 月

28、（季）的季节指数表明季节变动程度，结合预测模型 进行预测。 l简单平均法的具体步骤是： 根据各年份资料求出每月（季）平均数； 计算全时期月（季）总平均数； 求出月（季）季节指数； 进行预测。 2021/3/11 48 月（季）季节指数的计算月（季）季节指数的计算 lSI表示月（季）季节指数， 表示各月（季）平均数， 表示全时期总月（季）平均数 %100 X x SI i i i x X 2021/3/11 49 简单平均法（简单平均法（2） l例：若假定2002年全年预计销量为30000，则全年月平均销量为2500。 月 年199920002001合计月平均季节指数预测值 1801203205

29、2017313.7342.5 212020040072024019.0475 3200350700125041733.1827.5 45008501500285095075.31882.5 58001500240047001567124.33107.5 6250045006800138004600364.89120 7240064007200160005333422.910572.5 860090015003000100079.31982.5 9200400600120040031.7792.5 1010025040075025019.8495 11601002003601209.5237.5

30、 124080110230776.1152.5 合计760015650221304538012611200.002500 2021/3/11 50 季节比例法（季节比例法（1） l季节比例法是为了消除趋势变动和剩余变动的影响，利 用各月（季）的实际值与趋势值之比计算季节指数来分 析和确定各月（季）预测值的一种方法。 l季节比例法的基本步骤是： 求趋势值 计算各期的趋势比率 计算季节指数 进行预测 2021/3/11 51 季节比例法（季节比例法（2） l例：根据下表时间序列预测2002年各季度销售量。 观察年分时序（t）观察值（x）t2tx趋势值趋势比率（TI） 1999 13213225.0

31、91.28 21843626.210.69 32196327.330.77 4391615628.451.37 2000 5362518029.371.22 6213612630.690.68 7244916831.810.75 8446435232.931.34 2001 9398135134.051.15 102510025035.170.71 112812130836.290.77 124814457637.411.28 合计783756502598 2021/3/11 52 季节比例法（季节比例法（3） l计算过程 第一步：求趋势值 假定各季度销售量呈直线趋势变化，根据最小二乘法建立直线趋势 预测模型 ，利用上表中数据可求得 即有直线趋势预测数学模型 btax t 97.23 12 78 12.1 12 375 12.1 7865012 37578259812 )( 222 n t b n x a