勾股定理与几何最值问题

1、勾股定理与几何最值问题 你对刚才动画是怎样你对刚才动画是怎样 理解的？看了之后你想理解的？看了之后你想 到了什么？到了什么？ 我思考我思考,我进步我进步 没有思考，就没有进步没有思考，就没有进步 勾股定理与几何最值问题 小村民中小村民中 李艳玲李艳玲 勾股定理与几何最值问题 数学的灵魂是什么？数学的灵魂是什么？ 数学思想数学思想 勾股定理与几何最值问题 数学家的智慧：数学家的智慧： 有人提出了这样一个问题：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前假设在你面前 有有 煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开 水，应当怎样去做？水，应当怎样去做？” 勾股定理与几何最值

2、问题 这就是这就是 匈牙利著名数学家罗莎匈牙利著名数学家罗莎彼彼 得在他的名得在他的名 著著无穷的玩艺无穷的玩艺中，通过一个生动有趣的笑话，中，通过一个生动有趣的笑话， 来说明数学家是如何用来说明数学家是如何用化归化归的思想方法解题的。的思想方法解题的。 追问：追问：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶如果其他的条件都没有变化，只是水壶 中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？” 物理学家的答案：物理学家的答案：“点燃点燃 煤气，再把水壶放上去。煤气，再把水壶放上去。” 数学家的答案：数学家的答案：“只须把水壶中的水倒掉，问题就只须把水壶中的水倒掉，

3、问题就 转化为前面所说的问题了转化为前面所说的问题了”。 数学家的智慧：数学家的智慧： 勾股定理与几何最值问题 所谓所谓化归思想化归思想，就是将一个较为复杂的问，就是将一个较为复杂的问 题通过转化变形，使其归结为另一个较为简题通过转化变形，使其归结为另一个较为简 单的问题，从而使问题得到解决单的问题，从而使问题得到解决 常用的化归方法有：立体问题转化为平面常用的化归方法有：立体问题转化为平面 问题；折线问题转化为直线问题；多元问题转问题；折线问题转化为直线问题；多元问题转 化为一元问题，高次问题转化为低次问题化为一元问题，高次问题转化为低次问题 勾股定理与几何最值问题 立体图形中的最短距离问题

4、立体图形中的最短距离问题 勾股定理与几何最值问题 蚂蚁怎样走最近蚂蚁怎样走最近 立体图形中的最值 立体图形中的最值 问题问题1 1 勾股定理与几何最值问题 A B 10 1010 B CA 1010 立体图形中的最值 立体图形中的最值 小结：小结： 把正方体表面展开，就把立体图形中的问题把正方体表面展开，就把立体图形中的问题 转化为平面问题解决。转化为平面问题解决。 问题问题1 1 勾股定理与几何最值问题 拓展拓展1 1：正方体：正方体 长方体长方体 把问题把问题1中的正方体变为长方体，中的正方体变为长方体， 长方体的长为长方体的长为4cm,宽为宽为2cm，高为，高为 1cm的长方体，蚂蚁从的

5、长方体，蚂蚁从A到到B沿着表沿着表 面需要爬行的最短路程又是多少呢？面需要爬行的最短路程又是多少呢？ A B 勾股定理与几何最值问题 (1)经过前面和上底面经过前面和上底面; (2)经过前面和右侧面经过前面和右侧面; (3)经过左侧面和上底面经过左侧面和上底面. A B 2 4 A B 1 C 4 2 1 B C A 4 2 1 B CA 勾股定理与几何最值问题 没有归纳总结没有归纳总结,就没有提高就没有提高 问题拓展问题拓展： 设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为a a、 b b、c c，且，且a ab bc c，则小蚂蚁从，则小蚂蚁从A A爬到爬到B B 的最短路径是的最短

6、路径是 提示：提示： ；比较比较 的大小的大小 2 +a 2 2 （b+c）b+c）、 2 +c 2 2 （a a+ +b b） 2 +b 2 2 （a a+ +c c）、 22 ()abc 即比较即比较abab、bcbc、acac的大小。的大小。 勾股定理与几何最值问题 拓展拓展2 2 长方体长方体 圆柱体圆柱体 如图所示，有一个高为如图所示，有一个高为12cm，底面半径为，底面半径为3cm的圆柱，的圆柱， 在圆柱下底面的在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到圆柱上底面点有一只蚂蚁，它想吃到圆柱上底面 上与上与A点相对的点相对的B点处的食物，问这只蚂蚁沿着侧面需点处的食物，问这只蚂蚁沿着侧面

7、需 要爬行的最短路程为多少厘米？要爬行的最短路程为多少厘米？( 的值取的值取3) A B 立体图形中的最值 立体图形中的最值 A B 勾股定理与几何最值问题 没有归纳总结没有归纳总结,就没有提高就没有提高 立体图形上两点间的最短立体图形上两点间的最短 问题一般都是通过把立体图问题一般都是通过把立体图 形的表面展开成平面图形，形的表面展开成平面图形， 再利用再利用“两点间距离最短两点间距离最短” 的方法解决。的方法解决。 方法指导：方法指导： 勾股定理与几何最值问题 聪明的葛藤聪明的葛藤 葛藤是一种刁钻的植物，它自葛藤是一种刁钻的植物，它自 己腰杆不硬，为了得到阳光的沐己腰杆不硬，为了得到阳光的

8、沐 浴，常常会选择高大的树木为依浴，常常会选择高大的树木为依 托，缠绕其树干盘旋而上。如图托，缠绕其树干盘旋而上。如图 (1)(1)所示。所示。 葛藤又是一种聪明的植物，葛藤又是一种聪明的植物， 它绕树干攀升的路线，总是沿着它绕树干攀升的路线，总是沿着 最短路径最短路径螺旋线前进的。若螺旋线前进的。若 将树干的侧面展开成一个平面，将树干的侧面展开成一个平面， 如图（如图（2 2），可清楚的看出葛藤），可清楚的看出葛藤 在这个平面上是沿直线上升的。在这个平面上是沿直线上升的。 （1） （2） 数学奇闻 勾股定理与几何最值问题 A B C 20尺 37=21（尺） 聪明的葛藤 勾股定理与几何最值问

9、题 生活中常会遇到最短距离问题，建设生活中常会遇到最短距离问题，建设 中常常会遇到最佳位置的选择问题。中常常会遇到最佳位置的选择问题。 例如例如: 将军饮马（古代将军饮马（古代)问题，问题， 抽水站的最佳位置，抽水站的最佳位置， 建桥问题建桥问题 这些问题都可以化归为：这些问题都可以化归为： 平面中线段和的最值问题。平面中线段和的最值问题。 勾股定理与几何最值问题 问题问题. 如图，在河边有A、B两个村 庄，要在河边建立水泵站，为节约材 料，要使它到两个村庄的距离最短， 请你确定水泵站的位置？ A B 河边 平面图形中的线段最值平面图形中的线段最值 勾股定理与几何最值问题 进一步思考（将军饮马

10、）如图，在河 边有A、B两个村庄，要在河边建立水泵站， 为节约材料，要使它到两个村庄的距离最 短，请你确定水泵站的位置？ C 河边 A1 A B 利用对称：将利用对称：将 两条线段的和两条线段的和 转化到一条直转化到一条直 线上线上，运用两，运用两 点之间线段最点之间线段最 短求最小值短求最小值 平面图形中的最值平面图形中的最值 同侧两点向异侧转化同侧两点向异侧转化 勾股定理与几何最值问题 活动二活动二 如图，河流与公路所夹的角是一个锐角，某公如图，河流与公路所夹的角是一个锐角，某公 司司A A在锐角内现在要在河边建一个码头在锐角内现在要在河边建一个码头C C，在公路边，在公路边D D修修 建

11、一个仓库，工人们从公司出发，先到建一个仓库，工人们从公司出发，先到 河边的码头卸货，河边的码头卸货， 再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A A处，问处，问 仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短 河流 公路 A 公司 B C 平面图形中的最值平面图形中的最值 勾股定理与几何最值问题 河流 公路 A 公司 A1 A2 c D 活动二活动二 抽象成数学模型：抽象成数学模型： 点点A A在在MONMON内，在边内，在边MOMO和和NONO上各找一点上各找一点B B、C C使使 AC+AB+BCAC

12、+AB+BC（即（即ABCABC的周长）的距离最短。的周长）的距离最短。 利用对称：将三利用对称：将三 角形三边和，角形三边和，转转 化到一条直线上化到一条直线上， 用两点之间线段用两点之间线段 最短求最小值最短求最小值 勾股定理与几何最值问题 例：如图正方形ABCD中，AB=8，E是BC的上的点， BE=3，点P是对角线BD上一动点， （1）则EP+PC的最小值为 。 A B E C D P P 勾股定理与几何最值问题 例1：如图正方形ABCD中，AB=8，E是BC的上的点， BE=3，点P是对角线BD上一动点，F是CD上的点， （2）若CF=6，则EP+PF的最小值为 。 A B E C

13、D P F 勾股定理与几何最值问题 例1：如图正方形ABCD中，AB=8，E是BC的上的点， BE=3，F是CD上的点， (3)则AFF的最小值为 。 A B E C D F 勾股定理与几何最值问题 (4)如图，如图正方形ABCD中，AB=8， DAC的平分线交DC于点F ，若点M 、N 分别是AD和AF 上的动点，则NM+ND 的最 小值是 。 M N F 勾股定理与几何最值问题 A O B PM N A1 B1 勾股定理与几何最值问题 2、如图，等边三 角形ABC的边长为6， AD是BC边中线, M 是AD上一动点,E 是AC边上一点，若 AE=2，EM+CM最小 值是 。 方法总结：求两

14、条线段和最小时，做其中一个定点 关于直线的对称点，连接对称点与另一个定点， 与这条直线的交点即为所求做的动点，利用 轴对称的性质转化为把两条线段之和转化为一条线 段。 勾股定理与几何最值问题 2 2、如图，在锐角、如图，在锐角 ABCABC中，中，AB=4AB=4 BAC=45BAC=45，BAC BAC 的平分线交的平分线交 BCBC于于D D， M M、N N分别是分别是ADAD和上和上 的动点，则的动点，则BM+MNBM+MN的的 最小值是最小值是 。 2 总结：求一条线段的最小值通常作垂线，利用垂线段最短。 在“练一练”第二题综合运用轴对称的性质和垂线段最短。 勾股定理与几何最值问题

15、活动一：活动一： 甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现 在要在小河上架一座桥，使得这两村之间在要在小河上架一座桥，使得这两村之间 的行程最短，桥应修在何处？的行程最短，桥应修在何处？ 平面图形中的最值平面图形中的最值 勾股定理与几何最值问题 活动一：活动一： 甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现 在要在小河上架一座桥，使得这两村之间在要在小河上架一座桥，使得这两村之间 的行程最短，桥应修在何处？的行程最短，桥应修在何处？ 平面图形中的最值平面图形中的最值 B A 勾股定理与几何最值问题 B A B1 c D 活动一：活动一： 甲、

16、乙两村之间隔一条河，如图所示现甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现 在要在小河上架一座桥，使得这两村之间在要在小河上架一座桥，使得这两村之间 的行程最短，桥应修在何处？的行程最短，桥应修在何处？ 利用平移：将折利用平移：将折 线和的最小值，线和的最小值， 转化到一条直线转化到一条直线 上上，用两点之间，用两点之间 线段最短求最小线段最短求最小 值值 勾股定理与几何最值问题 活动二活动二 抽象成数学模型：抽象成数学模型： 点点A A在在MONMON内，在边内，在边MOMO和和NONO上各找一点上各找一点B B、C C使使 AC+AB+BCAC+AB+BC（即（即ABCABC的周长）的距离最短。的周

17、长）的距离最短。 N M A 公司 B C O 提示一：提示一：求三角形求三角形 周长的最小值可转周长的最小值可转 化为一条直线上化为一条直线上 勾股定理与几何最值问题 活动三活动三：根据上述原理回答：在两条互相垂直根据上述原理回答：在两条互相垂直 的公路的公路a a、b b旁有两个居民小区旁有两个居民小区A A、B B，现要在这，现要在这 两条公路旁建立两奶站向两居民区供奶，应建两条公路旁建立两奶站向两居民区供奶，应建 在何处，使得两居民小区在何处，使得两居民小区A A、B B与这两个奶站所与这两个奶站所 围成的四边形的周长最小？围成的四边形的周长最小？ 我思考我思考,我进步我进步 变式思考

18、变式思考 活跃思维活跃思维 B A 公路a 公路b C D 勾股定理与几何最值问题 活动三活动三 抽象成数学模型：在直线抽象成数学模型：在直线a a和直线和直线b b上各找一点上各找一点 C C、D D，使，使AB+AD+CD+BCAB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。（即围成的四边形）的最小值。 我思考我思考,我进步我进步 变式思考变式思考 活跃思维活跃思维 B A 公路a 公路b C D 提示一：提示一：AB为定值，为定值， 只需求折线只需求折线AD、CD、 BC和的最小值。和的最小值。 勾股定理与几何最值问题 我思考我思考,我进步我进步 变式思考变式思考 活跃思维活跃思维 B A 公路a 公路b B1 A1 C D 利用对称：三利用对称：三 边和边和转化到一转化到一 条直线上条直线上，用，用 两点之间线段两点之间线段 最短求最小值最短求最小值 活动四活动四 抽象成数学模型：在直线抽象成数学模型：在直线a a和直线和直线b b上各找一点