第1讲：数形结合法与数学建模思想(初三)

1、决胜中考2014 学生 九数(春季班）数学思维训练 第1讲：数形结合法与数学建模思想 （ 8份）1 数形结合法：是数学中的重要思想方法之一，特点是通过几何图形、函数图像更直观的展示位置关系与数量关系；求解这类问题的关键是把“形”、“数”相结合与相互转化。在初中学习范围内十分重要，它为高中、大学等后续学习奠定基础，也是中考每年必考的一种思想方法，涉及的题型、题量的分值配备高达30多分。2 数学建模：是初中数学中解决一些同类变式题型的基本方法，广泛应用于三角函数、列方程解应用题、相似三角形、图形变换等知识，加强对常见数学模型的识记，有助于学生对所学知识进行系统归类，增强识图与应用数学的能力。3 数

2、形结合法在初中范围内的运用 1、代数问题通过构造几何图形给予解决【例1】当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ；【例2】已知，,且恒成立，则的最小值等于 【例3】请计算：（1）、tan= (2)、sin= 【例4】如图,为线段上一动点,分别过点、作，连接、，已知,设。(1)用含的代数式表示的长；(2)请问点满足什么条件时, 的值最小?EDCBA(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值. 变式议练一：1、若，且，则有理数，的大小关系是 ；2、在平面直角坐标系中，已知A(-1，-2), B(4,2), C(1,m),当m= 时，CA+CB有最小值。3、4、函数的最小值是 2、几何

3、问题的代数解法【例5】将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为 【例6】是的内切圆，与边、的切点分别为、，,，,则 ， ， 。 变式议练二：1、的斜边为13，面积为30，则两直角边的和等于 。2、已知AB是半径为1的的弦，AB的长是方程：的一个根，则AOB的度数是 。3 在平面直角坐标系中的广泛运用【例7】（黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足（1）求点、点的坐标（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围【例8】已知点A,C都在双曲线：上，点B,

4、D都在x轴上，AOB,BCD都是等边三角形，则点D 的坐标是 变式议练三：关于x的方程：有且只有两个不同实根，则a的取值范围是 4 初中数学常见数学模型及其运用 基本模型1：等腰三角形中，为底边上任意一点，。结论：证明思路：（1）面积恒等法 （2）截长补短法【例9】在中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G，一等腰直角三角形按如图所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B。（1）在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，让后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到如图位置时，一条仍与AC在一条直线上

5、，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E，此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE、DF与CG之间满足的数量关系，让后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到如图所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否成立？ 变式练习四：1、等边三角形边长为4，则该三角形内任意一点到三边的距离之和为 。2、如图：在矩形中，已知，是边上任意一点，于，于，那么的值为 ；基本模型2：“”型，“”型，斜射影模型若： 若： 若：则： ； 则： ； 则： ；【例10】（重庆）如图：正方形中，是延长线上的一点，交于，交对角线于，如，。求

6、的长。【例11】如图：在RtABC中，C=90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上， DEEB。 （1）求证：AC是BDE的外接圆的切线； （2）若AD=6，AE=，求BC的长； 变式练习五：如图，平行四边形中，、是的三等分点，延长线交于，延长线交于，则 ； 基本模型3：【例12】已知如图，正方形与正方形边长均为。是正方形的中心，正方形绕点旋转，求两个正方形重叠部分（图中阴影）的面积。结论：1、；2、阴影正方形 变式练习六：1、（变换基本图形中一个）把正方形换成足够大的矩形，圆心角为的扇形，直角三角形时，上述结论仍然成立。2（德州中考题）如图：已知中，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于

7、点、，给出以下五个结论：、；、；、是等腰直角三角形；、；、四边形AEPF；当在内绕顶点旋转时（不与、重合），上述结论中始终正确的是（ ）、 、 、 、 基本模型4：【例13】如图，、两个小镇在河流的同侧，分别到河的距离为，且，现在要在河边建一自来水厂，向、两镇供水，铺设水管的费用为每千米万元，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？变式练习七：1、（黄冈）如图：为的直径，点在上，为 的中点，是上的一个动点，则的最小值为（ ）、 、 、 、2、如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线。（1）实验与探究：由图观察易知（0，2）关于直线的对称点（2，0）

8、，请在图中分别标明（5，3），（，）关于直线的对称点、的位置，并写出他们的坐标： 、 ；（2）归纳与发现：结合图形观察以上点的坐标特征你会发现：坐标平面内任一点（，）关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为 ；（3）运用与拓广：已知两点（，）、（，），试在直线上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标 中考加油站-家庭作业（1） 科目： 数学 姓名： 家长签字： 1、如图：把沿着PQ的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则此三角形移动的距离是（ ）A、 B、 C、1 D、2、如图：以边长为1的正方形的顶点为圆心，为半径的弧交对角线于点，是上任意一点，于点，于点，则 ；3、如图：为正方形的边上一点，为上的动点，则的最小值等于 ；4、如图：二次函数的图像经过点（，），且顶点的横坐标为，该