菱形证明专题训练

1、菱形证明专题训练绝密启用前乐学教育菱形证明专题训练1. 已知:如图,在四边形ABCD中,ABCD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DFBE,AC平分BAD.求证:四边形ABCD为菱形.【答案】ABCD,BAE=DCF.DFBE,BEF=DFE,AEB=CFD.又AE=CF,AEBCFD,AB=CD.ABCD,四边形ABCD是平行四边形.AC平分BAD,BAE=DAF.又BAE=DCF,DAF=DCF,AD=CD,四边形ABCD是菱形.2. 如图，矩形ABCD中，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若COB=60，FO=FC.

2、求证:(1)四边形EBFD是菱形;【答案】连接OD.点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，B,D,O三点共线且BD=DO=CO=AO.在矩形ABCD中，ABDC，AB=DC，FCO=EAO.在CFO和AEO中，CFOAEO，FO=EO.又BO=DO，四边形BEFD是平行四边形.BO=CO，COB=60，COB是等边三角形.OCB=60.FCO=DCB-OCB=30.FO=FC，FOC=FCO=30.FOB=FOC+COB=90.EFBD.平行四边形EBFD是菱形.(2)MBOE=32.【答案】BO=BC，点B在线段OC的垂直平分线上.FO=FC，点F在线段OC的垂直平分线上.BF是线段OC的垂

3、直平分线.FMO=OMB=90.OBM=30.OF=BF.FOC=30，FM=OF.BM=BF-MF=2OF-OF=OF.即FO=EO，BMOE=32.3. 如图,在ABC中,ABC=90,BD为AC边上的中线,过点C作CEBD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证:四边形BGFD是菱形.【答案】FGBD,BD=FG,四边形BGFD是平行四边形.CFBD,AGBD,CFAG.又ABC=90,点D是AC的中点,BD=DF=AC,平行四边形BGFD是菱形.4. 如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DEAC,CEBD,连接OE.求证

4、:OE=BC.【答案】DEAC,CEBD,四边形OCED是平行四边形.四边形ABCD是菱形,ACBD,OB=OD,BOC=COD=90,四边形OCED是矩形,ODE=90,OB=OD,BOC=ODE=90,BC=,OE=,DE=OC.OE=BC.5. 2015兰州中考,25(9分)如图,四边形ABCD中,ABCD,ABCD,BD=AC.(1)求证:AD=BC;【答案】作BMAC,BM交DC的延长线于点M,则ACD=BMD.1分ABCD,BMAC,四边形ABMC为平行四边形.2分AC=BM.BD=AC,BM=BD.BDM=BMD.BDC=ACD.在BDC和ACD中,BDCACD.4分BC=AD.

5、5分(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.【答案】连接EG,GF,FH,HE.6分E,H为AB,BD的中点,EH=AD.同理FG=AD,EG=BC,FH=BC.BC=AD,EG=FG=FH=EH.8分四边形EGFH为菱形,EF与GH互相垂直平分.9分6. 2015长春中考,18(7分)如图,CE是ABC外角ACD的平分线,AFCD交CE于点F,FGAC交CD于点G,求证:四边形ACGF是菱形.【答案】因为AFCD,FGAC,所以四边形ACGF是平行四边形,又因为ACE=ECG,ECG=AFC,所以ACE=AFC,所以AC=AF,由得四边

6、形ACGF是菱形.7. 2010上海中考，23已知梯形ABCD中，ADBC，ABAD(如图所示)，BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.(1)在图中，用尺规作BAD的平分线AE(保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED是菱形；【答案】BAEDAE，DAEBEA，BAEBEA，ABBEAD，ADBE，四边形ABED的平行四边形，又ABAD，四边形ABED为菱形(2)ABC60，EC2BE，求证：EDDC.【答案】过D作DFAE，则DFCF1，C30，而DEC60，EDC90，EDDC.8. 2010沈阳中考，19如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，点E，F分别为边AB，AD的

7、中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形.【答案】点E，F分别为AB，AD的中点AEAB，AFAD(2分)又四边形ABCD是菱形ABADAEAF(4分)又菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点OO为BD的中点OE，OF是ABD的中位线(6分)OEAD，OFAB四边形AEOF是平行四边形(8分)AEAF四边形AEOF是菱形(10分)9. 2010安徽中考，20如图，ADFE，点B,C在AD上，12，BFBC.(1)求证：四边形BCEF是菱形；【答案】ADFE，FEB2.12，FEB1.BFEFBFBC，BCEF.四边形BCEF是平行四边形BFBC，四边形BCEF是菱形(5分)(2)

8、若ABBCCD，求证：ACFBDE.【答案】EFBC，ABBCCD，ADFE，四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形，AFBE，FCED.(8分)又AC2BCBD，(9分)ACFBDE.(10分)10. 2013长沙中考，24如图，在ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，AND90，连接CM交DN于点O.(1)求证：ABNCDM；【答案】ABNCDM，ABCD，BNBCADDM，ABNCDM(SAS).(2)过点C作CEMN于点E，交DN于点P，若PE1，12，求AN的长.【答案】M，O分别为AD，ND的中点，ANMO且AN2MO，MODAND90，即平行四边形CDMN是菱形，在Rt

9、MOD与RtNEC中，12，MDNC，RtMODRtNEC，MONE.根据菱形的性质可知，MNDCND，1CND，所以MNDCND230，所以在RtENP中NEPEtan30，即AN2.11. 如图,在ABC中,A=90,AHBC于点H,B的平分线交AC于点D,交AH于点E,DFBC于点F,求证:四边形AEFD是菱形.【答案】ABD=FBD,BD=BD,BAD=DFB=90,ABDFBD,AD=DF,AB=FB.又ABE=FBE,BE=BE,ABEFBE.BAE=BFE.又BAE=90-ABC=C,BFE=C,EFAD.DFBC,AHBC,AEDF.四边形AEFD是平行四边形.又AD=DF,四

10、边形AEFD是菱形.12. 2012南宁中考,25如图,已知矩形纸片ABCD,AD2,AB4,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.图1图2(1)如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；【答案】证法一：证明：在矩形ABCD中,CDAB13(1分)由折叠可知：AGEG,1223EFEG(2分)EFAG四边形AGEF是菱形(3分)证法二：证明：连接AF,由折叠可知OAOE,AGEG(1分)在矩形ABCD中,ABCDAEFEAGAOGEOFAOGEOF(ASA)(2分)AGEF四边形AGEF是菱形(3分)(2)如图2,当AED

11、的外接圆与BC相切于点N时,求证,点N是线段BC的中点；【答案】证明：连接ON,O是RtADE外接圆圆心.O与BC相切于点NONBC(4分)在矩形ABCD中,DCBC,ABBCCDONAB(5分)OAOECNNB即N为BC的中点(6分)(3)如图2,在第2问的条件下,求折痕FG的长.【答案】解法一：过点O作OMAB于点M,则四边形OMBN是矩形设O半径为x,则OAOEONx(7分)AB4,AD2AM4x由第2问得,NBOM1在RtAOM中,OA2AM2OM2x2(4x)212x(8分)AM4FEOOAM又FOEOMA90RtEFORtAOM(9分)OFFG2OF(10分)解法二：延长NO交AD

12、于点M四边形ABNM是矩形AMBNAD1O为RtADE外接圆圆心OAOEON设ON为x,则OM4x(7分)在RtAMO中,AM2OM2OA2即12(4x)2x2x(8分)OM4FGAE,MNDCFEOMOAAMOEOF90EOFOMA(9分)OFFG2OF(10分)13. 2013葫芦岛中考,20(本小题满分8分)如图,四边形ABCD中,ADBC,BAAD,BC=DC,BECD于点E.(1)求证:ABDEBD;【答案】如图,ADBC,1=DBC.BC=DC,2=DBC.1=2.2分又BAD=BED=90,BD=BD,ABDEBD.4分(2)过点E作EFDA,交BD于点F,连接AF.求证:四边形

13、AFED是菱形.【答案】由第1问得,AD=ED,1=2.EFDA,1=3,2=3.EF=ED.5分EF=AD.6分四边形AFED是平行四边形.又AD=ED.四边形AFED是菱形.8分14. 2013贵阳中考，20已知：如图，在菱形ABCD中，F为BC上的任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AEEC；【答案】证明：连接AC.BD是菱形ABCD的对角线，BD垂直平分AC.AEEC.(2)当ABC60，CEF60时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由.【答案】点F是线段BC的中点.理由：菱形ABCD中，ABBC，又ABC60.ABC是等边三角形，BAC60.AEEC，CEF

14、60，EAC30.AF是ABC的角平分线.AF交BC于点F，AF是ABC的BC边上的中线.点F是线段BC的中点.15. 2012上海中考,23已知：如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,BAFDAE,AE与BD交于点G.(1)求证：BEDF；【答案】四边形ABCD为菱形,ABADBCCD,ABDADBCBDCDB,ABEADFBAFDAE,且BAFBAEEAF,DAEDAFEAFBAEDAF.ABEADF(ASA).BEDF.(2)当时,求证：四边形BEFG是平行四边形.【答案】在菱形ABCD中,ADBC,DAEBEA,ADBEBD.AGDEGB.又,BEDF,GFBE.DGF

15、DBC.DBCCDB,DGFGDF,GFDF,BEGF.BEGF,四边形BEFG是平行四边形.16. 2013乌鲁木齐中考,19如图,在ABC中,ACB90,CDAB于D,AE平分BAC,分别与BC,CD交于E,F,EHAB于H,连接FH.求证：四边形CFHE是菱形.【答案】AE平分BAC,CAEEAH,而ACB90,CDAB,CEACAEAFDEAH90,又APDCFE,CFECEF,CFCE.又AE平分BAC,ACB90.EHAB,CEEH,CFEHCE,CDAB,EHAB,CFEH,四边形CFHE是菱形.17. 如图所示,在菱形ABCD中,CEAB于点E,CFAD于点F,求证:AE=AF

16、.【答案】证法1：如图所示,连接AC,四边形ABCD是菱形,AC平分BAD,即BAC=DAC.在ACE和ACF中,AEC=AFC=90,BAC=DAC,AC=AC,ACEACF(AAS),AE=AF.证法2：四边形ABCD是菱形,BC=DC=AD=AB,B=D.又在BCE和DCF中,BEC=DFC=90,BCEDCF(AAS),BE=DF,AE=AF.18. 2013南宁中考，23如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点.(1)求证：ABECDF；【答案】在菱形ABCD中，ABBCCDDA(或ABCD，BCDA).BD.点E，F分别是边BC，AD的中点，BEDF.

17、ABECDF.(2)若B60，AB4，求线段AE的长.【答案】解法一：ABBC，B60，ABC是等边三角形.点E是BC边的中点.AEBC.在RtABE中，sinB.AEABsinB4.解法二：ABBC，B60，ABC是等边三角形.点E是BC边的中点，AEBC.BAE30.在RtABE中，BEAB2.AE.19. 2012温州中考,19(本题8分)如图,ABC中,B90,AB6cm,BC8cm,将ABC沿射线BC方向平移10cm,得到DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD.求证：四边形ACFD是菱形.【答案】法一：B90,AB6cm,BC8cm.AC10cm.由平移变换的性质得CF

18、AD10cm,DFAC,ADCFACDF,四边形ACFD是菱形.法二：由平移变换的性质得ADCF,ADCF10cm,四边形ACFD是平行四边形,B90,AB6cm,BC8cm,AC10cm,ACCF,ACFD是菱形.20. 2011兰州中考，27(本小题满分12分)已知：如图17所示的一张矩形纸片ABCD(ADAB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F.分别连接AF和CE.(1)求证：四边形AFCE是菱形；【答案】由题意可知OAOC，EFAO.ADBC，AEOCFO，EAOFCO，AOECOF，AECF，又AECF，四边形AECF是平行四边形(2分

19、)ACEF，四边形AECF是菱形.(4分)(2)若AE10cm，ABF的面积为24cm2，求ABF的周长；【答案】四边形AECF是菱形，AFAE10cm.设ABa，BFb，ABF的面积为24cm2,a2b2100，ab48(6分)(ab)2196，ab14或ab14(不合题意，舍去)(7分)ABF的周长为ab1024cm(8分)(3)在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2ACAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.【答案】存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点(9分)证明：AEPAOE90，EAOEAP，AOEAEP，AE2AOAP(11分)四边形AECF是菱形，AOAC，AE2ACAP，2AE2ACAP.(12分)21. 2013营口中考,19如图,ABC中,AB=AC,AD是ABC一个外角的平分线,且BAC=ACD.(1)求证:ABCCDA;【答案】AB=AC,B=ACB又FAC是ABC的一个外角,FAC=B+ACBFAC=2ACB2分又AD是FAC的角平分线,FAC=2CAD,ACB=CAD3分又AC=CA,BAC=DCAABCCDA4分(2)若ACB=60,求证:四边形ABCD是菱形.【答案】BAC=ACDABCD5分又ACB=CAD,ADBC.四边形ABCD是平行四边形.6分AB=AC,ACB=60,等腰三角形ABC是等