分类加法计数原理与分步乘法计数原理1

1、计数原理计数原理 水若长流能成河，水若长流能成河， 山以积石方为山以积石方为 高高 从甲地到乙地有从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有条路，从乙地到丁地有2条路；条路； 从甲地到丙地有从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有条路，从丙地到丁地有4条路，条路， 问：从甲地到丁地有多少种走法？问：从甲地到丁地有多少种走法？ 要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理 导入新课导入新课 甲地甲地 乙地乙地 丙地丙地丁地丁地 从甲地到乙地，可以乘火车，从甲地到乙地，可以乘火车， 也可以乘汽车，一天中，火车有也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车班，汽车 有有2班那

2、么一天中，乘坐这些交通工具从班那么一天中，乘坐这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的走法？甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 因为一天中乘火车有因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有种走法，乘汽车有2种走法，每种走法，每 一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：325（种）（种） 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理 2.2.在填写高考志愿表时在填写高考志愿表时, ,一名高中毕业生了解到一名高中毕业生了解到 A,BA,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业, ,具具 体情况如下体情况如下: : A大学大学B

3、大学大学 生物学生物学 化学化学 医学医学 物理学物理学 工程学工程学 数学数学 会计学会计学 信息技术学信息技术学 法学法学 如果这名同学只能选一个专业如果这名同学只能选一个专业, ,那么他共有多少种那么他共有多少种 选择呢选择呢? ? 3：在填写高考志愿表时在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解一名高中毕业生了解 到到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专三所大学各有一些自己感兴趣的强项专 业业,具体情况如下具体情况如下: A大学大学B大学大学 生物学生物学 化学化学 医学医学 物理学物理学 工程学工程学 数学数学 会计学会计学 信息技术学信息技术学 法学法学 如果这名同学只能选一

4、个专业如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种那么他共有多少种 选择呢选择呢? C大学大学 机械制造机械制造 建筑学建筑学 广告学广告学 汉语言文学汉语言文学 韩语韩语 N=5+4+5=14(种种) 思考 你能说说这些问题的特征吗？ 你还能举一些生活中类似的例子吗？ 你能得到什么结论？ 1、分类计数原理、分类计数原理 （加法原理）（加法原理） 做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有n类类 办法办法,在第一类办法中有在第一类办法中有m1种不同的种不同的 方法方法,在第二类办法中有在第二类办法中有m2种不同的种不同的 方法，方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn 种不同的方法。那

5、么完成这件事共种不同的方法。那么完成这件事共 有有N=m1+m2+mn 种不同的方法。种不同的方法。 有有60种取法。种取法。 因此取法种数共有因此取法种数共有 40+60=100（种）（种） 例例1：两个袋子里分别装有两个袋子里分别装有40个红球，个红球，60个白个白 球，从中任取一个球，有多少种取法？球，从中任取一个球，有多少种取法？ 解：取一个球的方法可以分成两类：解：取一个球的方法可以分成两类： 一类是从装白球的袋子里取一个白球一类是从装白球的袋子里取一个白球 有有40种取法；种取法； 另一类是从装红球的袋子里取一个红球另一类是从装红球的袋子里取一个红球 60个 个 40个 个 问题问

6、题4：如图：如图,由由A村去村去B村的道路有村的道路有3 条，由条，由B村去村去C村的道路有村的道路有2条。从条。从A村村 经经B村去村去C村，共有多少种不同的走法村，共有多少种不同的走法? A村村 B村村C村村 北北 南南 中中 北北 南南 解：解： 从从A村经村经 B村去村去C村有村有2步步, 第一步第一步, 由由A村去村去B村有村有3种方法种方法, 第二步第二步, 由由B村去村去C村有村有2种方法种方法, 所以所以 从从A村经村经 B村去村去C村共有村共有 3 2 = 6 种不同的方法种不同的方法。 问题问题5：用前6个大写英文字母和19个阿拉伯 数字,以A1,A2,B1,B2的方式给教

7、室的座位编 号. A 1 2 3 4 5 6 A1 A2 A3 A4 A5 A6 6种B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9种 6 9 =54 思考思考3：你能类比分类加法计数原理，概：你能类比分类加法计数原理，概 括出第二种计数原理吗？括出第二种计数原理吗？ 2、分步计数原理、分步计数原理 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n个个 步骤，做第一步有步骤，做第一步有m1种不同的方法，种不同的方法， 做第二步有做第二步有m2种不同的方法，种不同的方法， 做第做第n步有步有mn种不同的方法，那么完种不同的方法，那么完 成这件事有成这件事有N=m1m2mn种不种不 同的方法同的

8、方法。 （乘法原理）（乘法原理） 分步加法计数原理和分类乘法分步加法计数原理和分类乘法 计数原理的共同点：计数原理的共同点： 计算做一件事情完成它的所计算做一件事情完成它的所 有不同方法种数的问题。有不同方法种数的问题。 思考思考4:4:你能说说分类加法原理与分你能说说分类加法原理与分 步乘法原理两个原理的异同点？步乘法原理两个原理的异同点？ 完成一件事，共有完成一件事，共有 n n类方案，关键词类方案，关键词 “分类分类” 区别区别1 1 完成一件事，共分完成一件事，共分n n 个步骤，关键词个步骤，关键词 “分步分步” 区别区别2 2 区别区别3 3 每类方案的任何一个每类方案的任何一个

9、方法方法都能独立地完成都能独立地完成 这件事情这件事情 任何一步都不能独立完成任何一步都不能独立完成 这件事，这件事，只有各个步骤都只有各个步骤都 完成了，才能完成这件事完成了，才能完成这件事 相加相加相乘相乘 例例2： 两个袋子里分别装有两个袋子里分别装有40个红球与个红球与60个白球，个白球， 从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？ 60个 个40个个 解：取一个白球和一个红球可以分成解：取一个白球和一个红球可以分成 两步来完成：两步来完成： 第一步从装白球的袋子里取一个白球第一步从装白球的袋子里取一个白球， 第二步从装红球的袋子里取一个红球，第二

10、步从装红球的袋子里取一个红球， 例例1 1：书架的第书架的第1 1层放有层放有4 4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2 2 层放有层放有3 3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3 3层放有层放有2 2本不同的体本不同的体 育书，育书， （1 1）从书架上任取从书架上任取1 1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？ 解解： （1 1）从书架上任取一本书，有三类方法：）从书架上任取一本书，有三类方法： 第第1 1类办法是：从第类办法是：从第1 1层取层取1 1本计算机书，有本计算机书，有4 4种方法；种方法； 第第2 2类办法是：从第类办法是：从第2 2层取层取1 1本文艺

11、书，有本文艺书，有3 3种方法；种方法； 第第3 3类办法是：从第类办法是：从第3 3层取层取1 1本体育书，有本体育书，有2 2种方法；种方法； 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是：根据分类加法计数原理，不同取法的种数是： 4329N 答：从书架上任取答：从书架上任取1 1本书，有本书，有9 9种不同的取法种不同的取法. . 例例1 1 书架的第书架的第1 1层放有层放有4 4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2 2层放层放 有有3 3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3 3层放有层放有2 2本不同的体育书，本不同的体育书， （2 2）从书架的第从书架的第1 1，2 2，3 3层

12、各取层各取1 1本书，有多少种不本书，有多少种不 同的取法？同的取法？ 解：解：（2 2）从书架的）从书架的1 1、2 2、3 3层各取层各取1 1本书，可以分本书，可以分3 3步来完成：步来完成： 第第1 1步：从第步：从第1 1层取层取1 1本计算机书，有本计算机书，有4 4种方法；种方法； 第第2 2步：从第步：从第2 2层取层取1 1本文艺书，有本文艺书，有3 3种方法；种方法； 第第3 3步：从第步：从第3 3层取层取1 1本体育书，有本体育书，有2 2种方法；种方法； 根据分步乘法计数原理，从书架的根据分步乘法计数原理，从书架的1 1、2 2、3 3层各取层各取1 1本书，本书，

13、不同取法的种数是：不同取法的种数是： 4 3 224N 答：从书架的答：从书架的1 1、2 2、3 3层各取层各取1 1本书，有本书，有2424种不同的取种不同的取 法。法。 例例2 2 书架的第书架的第1 1层放有层放有4 4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2 2层放层放 有有3 3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3 3层放有层放有2 2本不同的体育书，本不同的体育书， （3 3）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不 同的取法？同的取法？ 解：解： 从书架上任取两本不同学科的书，有三类方法：从书架上任取两本不同学科的书，有三类方法： 第

14、一类方法：取计算机书和文艺书第一类方法：取计算机书和文艺书 该方法分两步完成，共该方法分两步完成，共4*3=12种方法种方法 第二类方法：取计算机书和体育书第二类方法：取计算机书和体育书 该方法分两步完成，共该方法分两步完成，共4*2=8种方法种方法 第三类方法：取文艺书和体育书第三类方法：取文艺书和体育书 该方法分两步完成，共该方法分两步完成，共3*2=6种方法种方法 所以共有所以共有12+8+6=26种方法。种方法。 例例2:2:要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3 3幅不同的画中选出幅不同的画中选出2 2 幅幅, ,分别挂在左、右两边墙上的指定位置分别挂在左、右两边墙上的指定位置, , 问共有

15、多少种不同的挂法问共有多少种不同的挂法? ? 练习练习3 3：甲、乙、丙：甲、乙、丙3 3个班各有三好学生个班各有三好学生3 3， 5 5，2 2名，现准备推选两名来自不同班的三名，现准备推选两名来自不同班的三 好学生去参加校三好学生代表大会，共有好学生去参加校三好学生代表大会，共有 多少种不同的推选方法？多少种不同的推选方法？ 例例3 3：如图如图, ,要给地图要给地图A A、B B、C C、D D四个四个 区域分别涂上区域分别涂上3 3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种, , 允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次, ,但相邻区域但相邻区域 必须涂不同的颜色必须涂不同的颜色,

16、,不同的涂色方案有不同的涂色方案有 多少种？多少种？ 解解: 按地图按地图A、B、C、D四个区域依次分四个区域依次分 四步完成四步完成, 第一步第一步, m1 = 3 种种, 第二步第二步, m2 = 2 种种, 第三步第三步, m3 = 1 种种, 第四步第四步, m4 = 1 种种, 所以根据乘法原理所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案得到不同的涂色方案 种数共有种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。种。 例例3：如图：如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域四个区域 分别涂上分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种允许同一种 颜色使用多次颜色使用多次,但

17、相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？ 若用若用4色，结果又怎色，结果又怎 样呢？样呢？ 答答:涂色方案种数是涂色方案种数是 4322 = 48 思考：思考： 例例4 4：小明写了三封：小明写了三封不同的不同的信，到邮局信，到邮局 去寄时，发现有并排四只去寄时，发现有并排四只不同的不同的邮筒，邮筒， 那么他不同的投信方法有多少种？那么他不同的投信方法有多少种？ 一个三位密码锁一个三位密码锁,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成十个数字组成,可以设置多少种三位数的可以设置多少种三位数的 密码密

18、码(各位上的数字允许重复各位上的数字允许重复)?首位数字不为首位数字不为0的的 密码数是多少密码数是多少?首位数字是首位数字是0的密码数又是多少的密码数又是多少? 分析分析: 按密码位数按密码位数,从左到右从左到右 依次设置第一位、第二位、第三依次设置第一位、第二位、第三 位位, 需分为三步完成需分为三步完成; 第一步第一步, m1 = 10; 第二步第二步, m2 = 10; 第三步第三步, m3 = 10. 根据乘法原理根据乘法原理, 共可以设置共可以设置 N = 101010 = 103 种三位数的密码。种三位数的密码。 练习 联系联系 区别一区别一 完成一件事情共有完成一件事情共有n类

19、类 办法，关键词是办法，关键词是“分类分类” 完成一件事情完成一件事情,共分共分n个个 步骤，关键词是步骤，关键词是“分步分步” 区别二区别二 每类办法都能每类办法都能独立完成独立完成 这件事情。这件事情。 每一步得到的只是中间结果，每一步得到的只是中间结果， 任何一步都任何一步都不能独立完成不能独立完成 这件事情这件事情，缺少任何一步也，缺少任何一步也 不能完成这件事情，只有每不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这个步骤完成了，才能完成这 件事情。件事情。 分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。完

20、成一件事情的不同方法的种数的问题。 区别三区别三 各类办法是互斥的、各类办法是互斥的、 并列的、独立的并列的、独立的 各步之间是相关联的各步之间是相关联的 分类计数与分步计数原理的区别和联系：分类计数与分步计数原理的区别和联系： A B m1 m2 mn . AB m1m2mn 点评点评: : 乘法原理看成乘法原理看成“串联电路串联电路” 加法原理看成加法原理看成“并联电路并联电路”; 1 1、从、从5 5名同学中选出正副班长各一名，则不同的任职名同学中选出正副班长各一名，则不同的任职 方案有多少种？方案有多少种？ 2 2、三层书架上，上层放着、三层书架上，上层放着1010本不同的语文书，中层

21、本不同的语文书，中层 放着放着9 9本不同的数学书，下层放着本不同的数学书，下层放着8 8本不同的英语书，本不同的英语书， （1 1）从书架上任取一本，有多少种取法？）从书架上任取一本，有多少种取法？ （2 2）从书架上任取语数外各一本，有多少种取法？）从书架上任取语数外各一本，有多少种取法？ 3 3、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两 位数共有多少个？位数共有多少个？ 4某中学的一幢某中学的一幢5层教学楼共有层教学楼共有3处楼梯，问从处楼梯，问从1楼到楼到 5楼共有多少种不同的走法？楼共有多少种不同的走法？ 判断下列用分类判断下列用分类 还

22、是分步原理，并说出式子还是分步原理，并说出式子 分步分步 5 54 4 分类分类 10+9+810+9+8 分步分步 10109 98 8 分类分类( (按十位分按十位分) 8+7+6+5+4+3+2+1) 8+7+6+5+4+3+2+1 分步分步 3 33 33 33 3 练习练习 某班级有男三好学生某班级有男三好学生5人人,女三好学生女三好学生4人人 (1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖, 有多少种不同有多少种不同 的选法？的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参从中任选男、女三好学生各一人去参 加座谈会加座谈会,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？ 练习：练习：某城市

23、电话号码由某城市电话号码由8位位 组成，其中从左边算起的第组成，其中从左边算起的第1位只位只 用用6或或8，其余，其余7位可以从前位可以从前10个自个自 然数然数0，1，2，,9中任意选取，中任意选取， 允许数字重复。试问：该城市最允许数字重复。试问：该城市最 多可装电话多少？多可装电话多少？ 练习：由数字练习：由数字1，2，3，4，5， 6可以组成多少个四位数？（各可以组成多少个四位数？（各 位上的数字不重复）位上的数字不重复） 6 5 4 3=360（个）（个） 练习：一种号码锁有练习：一种号码锁有4个拨号个拨号 盘，每个拨号盘上有从盘，每个拨号盘上有从0到到9共共10 个数字，个数字，

24、这这4个拨号盘可以组成个拨号盘可以组成 多少个四位数字的号码？多少个四位数字的号码？ 10 10 10 10=10 4 有些较复杂的问题往往不是单纯有些较复杂的问题往往不是单纯 的的“分类分类”“”“分步分步”可以解决的，可以解决的， 而要将而要将“分类分类”“”“分步分步”结合起来结合起来 运用一般是先运用一般是先“分类分类”，然后再，然后再 在每一类中在每一类中“分步分步”， 综合应用分综合应用分 类计数原理和分步计数原理请看类计数原理和分步计数原理请看 下面的例题：下面的例题： 注意注意 从甲地到乙从甲地到乙 地有地有3条路，条路， 从乙地到丁地从乙地到丁地 有有2条路；从条路；从 甲地到丙地有甲地到丙地有 3条路，从丙条路，从丙 地到丁地有地到丁地有4 条路，问：从条路，问：从 甲地到丁地有甲地到丁地有 多少种走法？多少种走法？ 甲甲 乙乙 丙丙