小专题椭圆----斜率之积是定值

1、椭圆一个性质的应用2 2性质如图1，椭圆冷爲 1 (a b 0)上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A、B连线a bPA、PB与坐标轴不平行，则直线PA、PB的斜率之积kpA kpB为定值b2-a图i证明 设 P(x, y) , A(xi, yi)，则 B( xb yj .2 2 所以笃与1a b2X122y1 .21ab2222由得xX12yy1ab222.2所以y2y12b,xX1a22b2所以kPBy y1y y1y2y122为疋值x 为x 为xX1a这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质 属性，因而能简洁解决问题，下举例说明.一、证明直

2、线垂直1 , A,B是其左、右顶点,动点 M满足MB AB，连结AM交椭2X例1如图2,已知椭圆一4圆于点P .求证：MO PB .1设M (2, y),由性质知kPA kPB-,2kMA kPB直线MA, MO的斜率分别为kMA - , kMo -,2a 4a 21所以kMAkMO2*AJ图3将代入得kMO kpB1 ,所以MO PB .例2 如图3, PQ是椭圆不过中心的弦，Ai、A为长轴的两端点,AiP与Q A相交于 M， P A与AiQ相交于点 N,则 MN丄A1A2.证明设 M (xi, yi) , N (X2, y2).由性质知kpA, kpA2b22，即 kMA1 kNA,ab2

3、2 a，所以yixiay2b22 aX2ab2b2y2y1b2kQAIkQA22 ,即 kMA2 kNAi2，所以2aaX2axiaa比较与得(Xi a)(x2 a)(X2a)(xia),所以 a(x2 xi) a(X| x2),所以x-1x2.所以MN丄x轴，即MN丄AiA2.、证明直线定向上的两点,交于点M,在.求证：直线 MN的斜率为定值.如图4,已知A(2, i),C, D是椭圆E上异于直线AD, BC相交于点证明 设M (xm , yM ) , N(Xn, yN)，由性质知1即 kMA kNB21即 kNA kMB2所以企汇XM 2 XN 2i2, yMyNyMyN i12 (XM

4、XN 2xM2Xn 4)yM1Yn11,Ym YnYmYn 11(XM XN 2XM2XN4)XM2XN222由一得YmYn(XmXn )所以kMN1即直线MN的斜率为定值1 .三、证明点的纵坐标之积为定值如图5,已知椭圆c： x4+3= i，过椭圆43C的右焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点，点B关于坐标原点的对称点为P,直线PA PB分别交椭圆记M, N两点的纵坐标分别为 yM, yN,求证：yM yN为定值.zZ加NI0 /y图5C的右准线I于M , N两点.证明当直线AB的斜率k不存在时，易得yM yN= 9.33当直线AB的斜率k存在时，由性质知 kpAk= 4,所以kpA= 4.设 A(xi, yi), B(x2, y2)，贝卩 P( X2, y2), 所以直线PA的方程为y+ y2= 4(x+ x2), 因为右准线I的方程为x 4 ,3所以 yM = 4k(x2 + 4) y2,因为A,F,B三点共线，所以直线AB的斜率k= ?x2?所以3?x2 + 4?x2 1?yM =花y2.因为直线PB的方程为y=匕，所以yN= 4.X2X2?x2+ 4?x2 1? 4诡 所以 yMyN= 3 X.X2X2x2 y2 又因为：+ * = 1，所以 4y2= 12 3x2,43?X2 + 4?X2 1?+ 4 x2所以 yMyN = 3X= 9