课件版本二几何与代数14

1、1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解 本节先将二阶、三阶线性方程组的本节先将二阶、三阶线性方程组的Cramer法法 则推广到则推广到n阶线性方程组；然后介绍求解一般线阶线性方程组；然后介绍求解一般线 性方程组的性方程组的Gauss消元法及相应的初等行变换。消元法及相应的初等行变换。 设含设含n个变量、由个变量、由n个方程个方程构成的线性方程组构成的线性方程组 则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组; 此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组. 注：齐次注：齐次线性方程组，主要关注它线性方程组，主要关注它是否有非零是否有非零 解解，如何求出全部非零解；

2、，如何求出全部非零解；非齐次非齐次线性方程组，线性方程组， 则是它则是它何时有解何时有解，如何求解。，如何求解。 一、一、 Cramer法则法则 1. 定理定理1.2：如果由含如果由含n个变量、个变量、n个方程构成的线个方程构成的线 性方程组性方程组 的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即 则线性方程组则线性方程组(1)有唯一解有唯一解 其中其中Dj是把系数行列式是把系数行列式D中第中第j列的元素用方程列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即阶行列式，即 证明证明: 先证明先证明(2)是是(1)的解；再证明解唯一。的解；再证明解唯一。 将

3、行列式将行列式Dj按第按第j列展开：列展开： 将将 代入代入(1)的第的第i 个方程左边，得个方程左边，得 将将 代入代入(1)的第的第i 个方程左边，得个方程左边，得 代入代入Dj 提出提出bj 展开定理展开定理 所以所以(2)满足满足(1)的每个方程，是的每个方程，是(1)的解。的解。 对对(1)的任意一组解的任意一组解 用用D中第中第j列元素的代数余子式列元素的代数余子式 ，依，依 次乘方程组次乘方程组(1)的的n个方程，得个方程，得 是解是解 将将n个方程依次相加，并提出个方程依次相加，并提出 ，得，得 根据展开定理及其推论，得根据展开定理及其推论，得 即方程组即方程组(1)的任意一组

4、解均可唯一表示为：的任意一组解均可唯一表示为： 解唯一解唯一 例例1. 用用Cramer法则解线性方程组法则解线性方程组 解解: 2. 推论推论1.4：如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 有非零解，则其系数行列式为零。有非零解，则其系数行列式为零。 说明说明(1). Cramer法则要求线性方程组满足法则要求线性方程组满足2个个 条件，条件，一是方程个数等于变量个数；二是系数行一是方程个数等于变量个数；二是系数行 列式非零。列式非零。 说明说明(2). Cramer法则可以应用求解齐次线性方法则可以应用求解齐次线性方 程组。程组。 （用反证法证明）（用反证法证明） 说明说明(3). 推论推论

5、1.4的等价命题：如果齐次线性方的等价命题：如果齐次线性方 程组程组(3)的系数行列式非零，则方程组只有唯一零的系数行列式非零，则方程组只有唯一零 解。解。 说明说明(4). 可以证明，推论可以证明，推论1.4的逆命题也成立，的逆命题也成立， 即如果系数行列式为零，则方程组即如果系数行列式为零，则方程组(3)有非零解。有非零解。 例例2. 参数参数取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组 有非零解？有非零解？ 解：解：首先计算方程组的系数行列式首先计算方程组的系数行列式 根据说明根据说明(4)， D = 0时，齐次方程组有非零解。时，齐次方程组有非零解。 所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时

6、齐次方程组有非零解. 注注1：Cramer法则建立了线性方程组的解和它法则建立了线性方程组的解和它 的系数与常数项之间的关系。对于阶数较大的线的系数与常数项之间的关系。对于阶数较大的线 性方程组，它需要很大的计算量，故性方程组，它需要很大的计算量，故Cramer法则法则 主要用于理论推导。主要用于理论推导。 注注2：Cramer法则用于求解满足法则用于求解满足 (1) 方程数方程数 = 变量数变量数 (2) 系数行列式非零系数行列式非零 的线性方程组。如果上面有一个条件不能满足，的线性方程组。如果上面有一个条件不能满足， 就无法使用，对于一般的线性方程组问题，需要就无法使用，对于一般的线性方程

7、组问题，需要 寻找新的求解方法。寻找新的求解方法。 二、二、Gauss消元法消元法 由由n个变量、个变量、m个方程构成的线性方程组个方程构成的线性方程组 线性方程组线性方程组(4)如果有解，称为是如果有解，称为是相容的相容的；如果；如果 没有解，称为是没有解，称为是不相容的不相容的。 线性方程组所有解构成的集合称为方程组的线性方程组所有解构成的集合称为方程组的解解 集合集合；具有相同解集合的方程组称为是；具有相同解集合的方程组称为是同解的同解的。 消元法引例消元法引例 例例3. 求解线性方程组求解线性方程组 解：解：消元过程消元过程 得到阶梯形方程组，再回代求解，得得到阶梯形方程组，再回代求解

8、，得 方法小结：方法小结： 1. 上述解方程组的方法称为上述解方程组的方法称为Gauss消元法消元法，该，该 方法理论上可以求任意线性方程组的解；方法理论上可以求任意线性方程组的解； 2. 对线性方程组进行的消元过程，用到如下三对线性方程组进行的消元过程，用到如下三 种变换：种变换： （1）交换方程次序；交换方程次序； （2）以非零数乘某个方程；以非零数乘某个方程； （3）一个方程的一个方程的k倍加到另一个方程上。倍加到另一个方程上。 （与相互替换）（与相互替换） （以替换）（以替换） （以替换）（以替换） 3. 上述三种变换都是可逆的。上述三种变换都是可逆的。 对线性方程组进行的这三种变换统

9、称为对线性方程组进行的这三种变换统称为线性方线性方 程组的初等变换程组的初等变换。 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程 组与变换后的方程组是同解的，故这三种变换是组与变换后的方程组是同解的，故这三种变换是 同解变换同解变换。 在用在用Gauss消元法求解线性方程组的过程中，消元法求解线性方程组的过程中， 参与运算的只是方程组的系数和常数项。参与运算的只是方程组的系数和常数项。 为了更好地描述线性方程组的求解过程，需要为了更好地描述线性方程组的求解过程，需要 引入新的工具。引入新的工具。 三、矩阵及其初等行变换三、矩阵及其初等行变换 1. 矩阵定义矩

10、阵定义 由由 个数个数 排成的排成的 行行 列的数表列的数表 称为称为mn 阶阶矩阵矩阵，其中，其中aij 称为称为矩阵的元素矩阵的元素。 矩阵用大写字母表示：矩阵用大写字母表示： 实矩阵实矩阵与与复矩阵复矩阵 行数与列数都等于行数与列数都等于n 的矩阵，称为的矩阵，称为n 阶方阵阶方阵或或n 阶矩阵阶矩阵； 2. 特殊矩阵特殊矩阵 只有一行的矩阵称为只有一行的矩阵称为行矩阵行矩阵或或行向量行向量；只有一；只有一 列的矩阵称为列的矩阵称为列矩阵列矩阵或或列向量列向量； 例如例如是一个是一个3 阶方阵。阶方阵。 n维维行矩阵行矩阵 n维列维列矩阵矩阵 11阶阶矩阵矩阵 具有相同行数、列数的矩阵称

11、为具有相同行数、列数的矩阵称为同型矩阵同型矩阵；如；如 果两个矩阵是同型的，并且对应位置的元素也相果两个矩阵是同型的，并且对应位置的元素也相 同，则称它们是同，则称它们是相等的相等的。 3. 矩阵相等矩阵相等 4. 线性方程组的系数矩阵与增广矩阵线性方程组的系数矩阵与增广矩阵 由由n个变量、个变量、m个方程构成的线性方程组个方程构成的线性方程组 系数矩阵系数矩阵 增广（系数）矩阵增广（系数）矩阵 说明：说明：Gauss消元法实际上只需要消元法实际上只需要方程组的系数方程组的系数 和常数项参与运算，即通过对增广矩阵的操作就和常数项参与运算，即通过对增广矩阵的操作就 可以求解。类似方程组的初等变换

12、，定义矩阵的可以求解。类似方程组的初等变换，定义矩阵的 初等行变换。初等行变换。 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换: 5. 矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换 （1）交换矩阵两行（交换交换矩阵两行（交换i, j两行，记为两行，记为rirj）；）； （2）用非零数乘矩阵某行（用非零数乘矩阵某行（k乘乘i行，记为行，记为kri）；）； （3）矩阵某行乘以常数，再加到另一行（矩阵某行乘以常数，再加到另一行（k乘乘j行行 后加到后加到i行，记为行，记为ri + krj）。）。 注：注：利用矩阵的初等行变换，利用矩阵的初等行变换，Gauss消元法的求消元法的求 解过程，可以

13、通过对增广矩阵的初等行变换进行。解过程，可以通过对增广矩阵的初等行变换进行。 （分析消元过程结束时的增广矩阵，和回代（分析消元过程结束时的增广矩阵，和回代 过程结束时的增广矩阵形式）过程结束时的增广矩阵形式） 6. 阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵 满足下列条件的矩阵满足下列条件的矩阵A称为称为阶梯形矩阵阶梯形矩阵 （1）若）若A有零行有零行(元素全为零的行元素全为零的行)，则零行位，则零行位 于最下方于最下方; （2）非零行的非零首元）非零行的非零首元 (自左至右第一个不为自左至右第一个不为 零的元，称为零的元，称为主元主元) 列标随行标的递增而递增。列标随行标的递增而递

14、增。 1 1 0 0 4 0 1 0 2 2 0 0 0 2 3 0 0 0 0 4 1 1 2 0 4 0 1 3 2 2 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 , 阶梯形矩阵阶梯形矩阵 满足以下条件的满足以下条件的阶梯矩阵阶梯矩阵称为称为简化阶梯形矩阵简化阶梯形矩阵 （1）A的每个非零首元均为的每个非零首元均为1; （2）非零首元所在列其余元素均为）非零首元所在列其余元素均为0。 1 0 2 0 1 0 1 3 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 简化阶梯形矩阵简化阶梯形矩阵 说明：说明：对阶梯形对阶梯形矩阵继续进行初等行变换（相矩阵继续进行初等行变换（相 当于当于Gauss

15、消元法的回代过程），最终阶梯形矩阵消元法的回代过程），最终阶梯形矩阵 化为简化阶梯形矩阵。化为简化阶梯形矩阵。 例例4. 用用Gauss消元法求解方程组消元法求解方程组（教材（教材P33例例1.22） 例例5. 讨论方程组解的情况讨论方程组解的情况 （教材（教材P34例例1.23） 线性方程组线性方程组Ax = b增广矩阵增广矩阵A, b 阶梯形方程组阶梯形方程组A1x = b1阶梯形增广阵阶梯形增广阵A1, b1 简化阶梯形简化阶梯形A2, b2解的方程形式解的方程形式A2x = b2 对应对应 初等变换消元初等变换消元 初等行变换初等行变换 回代求解回代求解 初等行变换初等行变换 注：注：

16、Gauss消元法的求解过程，与增广矩阵的初消元法的求解过程，与增广矩阵的初 等行变换，是完全对应的。等行变换，是完全对应的。 注：注：对增广矩阵的每一次初等行变换，都等于对增广矩阵的每一次初等行变换，都等于 对方程组的一次初等变换，不改变方程组的解；对方程组的一次初等变换，不改变方程组的解； 当增广矩阵经过连续的初等行变换，化为阶梯形当增广矩阵经过连续的初等行变换，化为阶梯形 矩阵时，相应的方程组也成为阶梯形方程组。矩阵时，相应的方程组也成为阶梯形方程组。 2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0 = 1 x1 x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2

17、x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 主元主元 自由变量自由变量 阶梯形线性阶梯形线性 方程组三种方程组三种 基本类型基本类型 阶梯形方程组（阶梯形方程组（A阶梯数阶梯数r1，A, b阶梯数阶梯数r2） 2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0 = 1 x1 x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 0 = 0 无解无解 唯一解唯一解 无穷多解无穷多解 2 3 4 1 0 2 1 2 0 0 0 1 2 1 2 8 0 2 1 1 0 0 1 5 1 2 1 1 2 0 0 1 4 3 0 0 0 0 0 解的数目解的数目 Ax = bAx = b A, b A, b r2 = r1+1 r2 = r1 = n r2 = r1 n 四、齐次线性方程组有非零解充分条件四、齐次线性方程组有非零解充分条件 1. 定理定理1.4：当当m n时，含时，含n个变量、个变量、m个方程的齐个方程的齐 次线性方程组必有非零解。次线性方程组必有非零解。 证：证：对方程组的系数矩阵进行对方程组的系数矩阵进行初等行变换初等行变换，化化 为阶梯形矩阵为阶梯形矩阵，相应的方程组也成为阶梯形方程，